Что характеризует момент импульса
Лекция №5. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.1. Динамика поступательного движения твердого тела.
Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.
Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс
Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.
4.2. Момент импульса. Момент силы.
Момент силы. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F называется моментом силы материальнойточки относительно некоторого центра
Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.
Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:
Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс m υ называется моментом импульса материальной точки относительно некоторого центра
Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.
Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.
Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы
4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.
Запишем уравнения движения частиц:
Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим
Преобразуем данные уравнения
Сложим эти уравнения и получим
В последнем уравнении:
Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде
4.4. Закон сохранения момента импульса.
закон сохранения момента импульса.
Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.
Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.
Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.
4.5. Момент инерции.
Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:
Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.
Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:
где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.
4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности
Существуют два свойства момента инерции:
1) Теорема Штейнера: момент инерции тела Iz относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:
2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси:
Закон сохранения момента импульса: формула, применение и особенности
При решении задач на движение тел в пространстве часто используют формулы сохранения кинетической энергии и импульса. Оказывается, что аналогичные выражения существуют и для вращающихся тел. В данной статье подробно рассматривается закон сохранения момента импульса (формулы соответствующие также приводятся) и дается пример решения задачи.
Процесс вращения и момент импульса
Перед тем как перейти к рассмотрению формулы закона сохранения момента импульса, необходимо познакомиться с этим физическим понятием. Проще всего его можно ввести, если воспользоваться рисунком ниже.
Вам будет интересно: Нарративный анализ: понятие и применение
На рисунке видно, что на конце вектора r¯, направленного от оси вращения и перпендикулярного ей, имеется некоторая материальная точка массой m. Эта точка движется по окружности названного радиуса с линейной скоростью v¯. Из физики известно, что произведение массы на линейную скорость называется импульсом (p¯). Теперь стоит ввести новую величину:
Вам будет интересно: Сульфат стронция: нахождение в природе, растворимость, применение
Здесь векторная величина L¯ представляет собой момент импульса. Чтобы перейти к скалярной форме записи, необходимо знать модули соответствующих значений r¯ и p¯, а также угол θ между ними. Скалярная формула для L имеет вид:
L = r*m*v*sin(θ) = r*p*sin(θ).
На рисунке выше угол θ является прямым, поэтому можно просто записать:
Из записанных выражений следует, что единицей измерения для L будут кг*м2/с.
Направление вектора момента импульса
Поскольку рассматриваемая величина является вектором (результат векторного произведения), то она будет иметь определенное направление. Из свойств произведения двух векторов следует, что их результат даст третий вектор, перпендикулярный плоскости, образованной первыми двумя. При этом направлен он будет таким образом, что если смотреть с его конца, то тело будет вращаться против часовой стрелки.
Результат применения этого правила показан на рисунке в предыдущем пункте. Из него видно, что L¯ направлен вверх, поскольку, если смотреть на тело сверху, его движение будет происходить против хода стрелки часов. При решении задач важно учитывать направление во время перехода к скалярной форме записи. Так, рассмотренный момент импульса считается положительным. Если бы тело вращалось по часовой стрелке, тогда в скалярной формуле перед L следовало бы поставить знак минуса (-L).
Аналогия с линейным импульсом
Вам будет интересно: Самые старые горы в мире: где находятся, фото, названия
В итоге формула для момента импульса преобразуется в следующую форму записи:
L¯ = I *ω¯, где ω¯= v¯/r и I=m*r2.
Выражение демонстрирует, что направление момента импульса L¯ и угловой скорости ω¯ совпадают для системы, состоящей из вращающейся материальной точки. Особый интерес представляет величина I. Ниже она рассмотрена подробнее.
Момент инерции тела
Введенная величина I характеризует «сопротивляемость» тела любому изменению скорости его вращения. То есть она играет точно такую же роль, что и инерция тела при линейном перемещении объекта. По сути I для кругового движения с физической точки зрения означает то же самое, что и масса при линейном движении.
Как было показано, для материальной точки с массой m, вращающейся вокруг оси на расстоянии от нее r, момент инерции рассчитать просто (I = m*r2), однако для любых других тел этот расчет будет несколько сложным, поскольку предполагает использование интеграла.
Для тела произвольной формы I можно определить при помощи следующего выражения:
Вам будет интересно: Архаический период Древней Греции (IX–VIII вв. до н.э.)
Выражения выше означают, что для вычисления момента инерции следует разбить все тело на бесконечно малые объемы dV, умножить их на квадрат расстояния до оси вращения и на плотность и просуммировать.
Для тел разной формы эта задача решена. Ниже приводятся данные для некоторых из них.
Материальная точка: I = m*r2.
Диск или цилиндр: I = 1/2*m*r2.
Стержень длиной l, закрепленный по центру: I = 1/12*m*l2.
Момент инерции зависит от распределенной массы тела относительно оси вращения: чем дальше от оси будет находиться большая часть массы, тем больше будет I для системы.
Изменение момента импульса во времени
Рассматривая момент импульса и закон сохранения момента импульса в физике, можно решить простую проблему: определить, как и за счет чего он будет изменяться во времени. Для этого следует взять производную по dt:
dL¯/dt = d(r¯*m*v¯)/dt = m*v¯*dr¯/dt+r*m*dv¯/dt.
Первое слагаемое здесь равно нулю, поскольку dr¯/dt = v¯ и произведение векторов v¯*v¯ = 0 (sin(0) = 0). Второе же слагаемое может быть переписано следующим образом:
dL¯/dt =r*m*a¯, где ускорение a = dv¯/dt, откуда:
Величина M¯, согласно определению, называется моментом силы. Она характеризует действие силы F¯ на материальную точку массой m, расположенную на расстоянии r от оси вращения.
Какие моменты сил могут изменить L¯ системы?
Существует два вида моментов сил M¯: внешние и внутренние. Первые связаны с силовым воздействием на элементы системы со стороны любых внешних сил, вторые же возникают за счет взаимодействия частей системы.
Согласно третьему закону Ньютона, любой силе действия соответствует направленная противоположно сила противодействия. Это означает, что суммарный момент силы любых взаимодействий внутри системы всегда равен нулю, то есть он не может повлиять на изменения момента импульса.
Величина L¯ может измениться только за счет внешних моментов сил.
Формула закона сохранения момента импульса
Формула для записи выражения сохранения величины L¯ в случае, если сумма внешних моментов сил равна нулю, имеет следующий вид:
Любые изменения момента инерции системы пропорционально отражаются на изменении угловой скорости таким образом, что произведение I*ω не меняет своего значения.
Применение закона сохранения момента импульса находит себя в целом ряде процессов и явлений, которые кратко охарактеризованы ниже.
Примеры использования закона сохранения величины L¯
Следующие примеры закона сохранения момента импульса имеют важное значение для соответствующих сфер деятельности.
Решение задачи на закон сохранения L¯
Учеными установлено, что через несколько миллиардов лет Солнце, исчерпав энергетические запасы, превратится в «белого карлика». Необходимо рассчитать, с какой скоростью оно будет вращаться вокруг оси.
Для начала необходимо выписать значения необходимых величин, которые можно взять из литературы. Итак, сейчас данная звезда имеет радиус 696 000 км и один оборот вокруг своей оси делает за 25,4 земных суток (значение для области экватора). Когда она подойдет к концу своего эволюционного пути, то сожмется до размеров 7000 км (порядка радиуса Земли).
L = I*ω = 2/5*m*r12*ω1 = 2/5*m*r22*ω2.
ω2 = (r1/r2)2*ω1 = (696000000/7000000)2*2*3,1416/(25,4*24*3600)= 0,0283 рад/с.
То есть в конце своего жизненного цикла данная звезда будет делать один оборот вокруг своей оси быстрее, чем за 222 секунды.
Импульс и момент импульса в физике: формулы, описывающие закон сохранения этих величин
Задачи с движущимися телами в физике, когда скорость много меньше световой, решаются с помощью законов ньютоновской, или классической механики. В ней одним из важных понятий является импульс. Основные формулы импульса в физике приводятся в данной статье.
Импульс или количество движения?
Вам будет интересно: Ярославский политехнический университет (ЯГТУ): сведения, факты, поступление
Под количеством движения понимают произведение скорости перемещения тела на инерционный коэффициент, то есть на массу. Соответствующая формула имеет вид:
Вам будет интересно: Формулировка третьего закона Ньютона: примеры, связь с ускорением системы и с ее импульсом
Изменение величины p¯
Понятие о количестве движения в настоящее время используют реже, чем об импульсе. И связан этот факт непосредственно с законами ньютоновской механики. Запишем его в форме, которая приводится в школьных учебниках по физике:
Заменим ускорение a¯ на соответствующее выражение с производной скорости, получим:
Перенося dt из знаменателя правой части равенства в числитель левой, получаем:
Мы получили интересный результат: помимо того, что действующая сила F¯ приводит к ускорению тела (см. первую формулу этого пункта), она также изменяет количество его движения. Произведение силы на время, которое стоит в левой части, называется импульсом силы. Он оказывается равным изменению величины p¯. Поэтому последнее выражение называют также формулой импульса в физике.
Закон сохранения импульса
Формулы в физике, которые описывают сохранение величины p¯, могут быть приведены в нескольких вариантах. Прежде чем их записывать, ответим на вопрос о том, когда сохраняется импульс.
Обратимся к выражению из предыдущего пункта:
Оно говорит о том, что если сумма внешних сил, оказывающих воздействие на систему, равна нулю (закрытая система, F¯= 0), тогда dp¯= 0, то есть никакого изменения количества движения не будет происходить:
Это выражение является общим для импульса тела и закона сохранения импульса в физике. Отметим два важных момента, о которых следует знать, чтобы с успехом применять это выражение на практике:
Упругое и неупругое взаимодействие двух тел
Частным случаем использования формулы импульса в физике и его сохранения является движение двух тел, которые сталкиваются друг с другом. Рассмотрим два принципиально разных случая, о которых упоминалось в пункте выше.
m1*v1 + m2*v2 = m1*u1 + m2*u2
Здесь важно помнить, что знак скорости должен подставляться с учетом ее направления вдоль рассматриваемой оси (противоположные скорости имеют разные знаки). Эта формула показывает, что при условии известного начального состояния системы (величины m1, v1, m2, v2) в конечном состоянии (после столкновения) имеется две неизвестных (u1, u2). Найти их можно, если воспользоваться соответствующим законом сохранения кинетической энергии:
m1*v12 + m2*v22 = m1*u12 + m2*u22
m1*v1 + m2*v2 = (m1 + m2)*u
Как видно, речь идет всего об одной неизвестной (u), поэтому для ее определения достаточно этого одного равенства.
Импульс тела во время движения по окружности
Все, что было сказано выше об импульсе, относится к линейным перемещениям тел. Как быть в случае вращения объектов вокруг оси? Для этого в физике введено другое понятие, которое аналогично линейному импульсу. Оно называется моментом импульса. Формула в физике для него принимает следующий вид:
Закон сохранения L¯
Формула для L¯, которая приведена выше, является определением этой величины. На практике же предпочитают использовать несколько иное выражение. Не будем вдаваться в подробности его получения (это несложно, и каждый может проделать это самостоятельно), а приведем его сразу:
Если на вращающую систему не действуют никакие внешние силы (в действительности момент сил), то произведение I на ω¯ будет сохраняться независимо от процессов, происходящих внутри системы. То есть закон сохранения для L¯ имеет вид:
Примером его проявления является выступление спортсменов в фигурном катании, когда они совершают вращения на льду.
Савельев И.В. Курс общей физики, том I
Загрузить всю книгу 
Титульный лист
Главная редакция физико-математической литературы
Механика, колебания и волны,
КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ, ТОМ I
Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.
Предисловие к четвертому изданию
При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.
Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.
Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.
Ноябрь 1969 г. И. Савельев
Из предисловия к четвертому изданию
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.
При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.
Момент импульса
Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения.
Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).
Моментом импульса L материальной точки относительно произвольной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r этой материальной точки, проведенного из точки О, на величину ее импульса Р(рис. 6):
(Дж•с),
где 
– радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, 
– импульс частицы.
Если твердое тело, вращающееся вокруг некоторой неподвижной оси z, представить в виде совокупности элементарных масс, и спроектировать моменты импульсов всех этих элементарных масс на это направление, получим момент импульса тела Lz относительно этой оси (Lz – скалярная величина).
В случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии, векторы L и ω имеют одинаковое направление и тогда:
= I 
.(1)
Продифференцируем выражение (1) по времени:
Таким образом, производная по времени от момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси:
dL/ dt = M (3)
Из уравнения (3) видно, что если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса тела остается постоянным.
Если M = 0, то: dL/dt = 0 ⇒ L = const. (4)
Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса:
момент импульса замкнутой системы тел не меняется со временем, причем это утверждение справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.
Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол.