Что характеризует поток напряженности

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Источник

Что характеризует поток напряженности

Итак, на примерах мы показали, что, если силовые линии однородного электрического поля напряженностью пронизывают некоторую площадку S, то поток вектора напряженности (раньше мы называли число силовых линий через площадку) будет определяться формулой:

Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф_Е через эту поверхность.

В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .

Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.

Для рисунка 2.6 – поверхность А₁ окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е. Поверхность А₂ – окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь. Общий поток через поверхность А равен нулю.

Для рисунка 2.7 – поток будет не равен нулю, если суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Для этой конфигурации поток через поверхность А отрицательный (подсчитайте число силовых линий).

Таким образом, поток вектора напряженности зависит от заряда. В этом смысл теоремы Остроградского-Гаусса.

Источник

Поток вектора напряженности электростатического поля

Понятие потока вектора напряженности электростатического поля

Полноценно описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакуумной среде можно с помощью эксперимента, подтверждением которого служит закон Кулона, и принципа суперпозиции. При этом есть возможность представить свойства электростатического поля в обобщенном виде без применения утверждения о кулоновском поле точечного заряда. В этом случае целесообразно обратиться к теореме, которая была выведена немецким ученым К. Гауссом, определяющей поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность.

Поток вектора представляет собой поверхностный интеграл от нормальной составляющей этого вектора.

Представим, что через некую площадь S проходят силовые линии однородного электрического поля, напряженность которого равна:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Тогда поток напряженности или количество силовых линий, проходящих через площадку, будет рассчитываться по формуле:

Где En является произведением вектора \(\vec\) и нормали \(\vec\) к данной площадке.

Поток вектора напряженности \(\Phi _\) через заданную поверхность представляет собой полное число силовых линий, которые проходят через эту поверхность площадью S.

Формула расчета

Утверждение можно записать в векторной форме. Тогда уравнение будет являться скалярным произведением двух векторов:

Где вектор \(\vec\) равен:

Таким образом, поток вектора \(\vec\) является скалярной величиной, которая в зависимости от угла α может обладать положительным или отрицательным значением. Утверждения можно представить схематично.

На первом изображении поверхность А1 расположена вокруг положительного заряда, поток направлен наружу, то есть:

Поверхность А2 окружает отрицательный заряд, поток направлен внутрь, то есть:

Общий поток А обладает нулевым значением.

На втором рисунке при условии отличия суммарного заряда внутри поверхности от нуля, поток также не равен нулю. В данной системе поток через поверхность А характеризуется отрицательной величиной. Таким образом, поток вектора напряженности связан с зарядом. В этом заключается смысл теоремы Островского-Гаусса.

Доказательство теоремы Гаусса

Согласно данной закономерности, поток вектора напряженности электростатического поля сквозь произвольную поверхность определяют поток вектора. В единицах измерения СИ \(\Phi _\) = 1 В´м. Вначале необходимо выполнить расчет потока вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, которая охватывает точечный заряд q, размещенный в ее центральной точке. Формула будет иметь следующий вид:

Уравнение применимо в случае замкнутой поверхности разной формы. Если выделить сферу с помощью произвольной замкнутой поверхности, то каждая линия напряженности, которая пронизывает сферу, будет проходить через эту поверхность.

Можно представить, что заряд q охватывает какая-то замкнутая поверхность. В случае, когда линии напряженности будут выходить из поверхности, поток станет положительным. Если линии напряженности входят в поверхность, то поток напряженности будет обладать отрицательным значением. Нечетное количество пересечений в процессе расчета потока приводят к одному пересечению.

В виде формулы утверждение можно записать в следующем виде:

Данную теорему вывел математически для векторного поля любой природы русский математик М.В. Остроградский, а затем независимо от него для электростатического поля — К. Гаусс. В случае, когда заряд не проходит через замкнутую поверхность, то поток будет иметь нулевое значение. Можно представить произвольную поверхность, окруженную N зарядами, тогда

Поток вектора напряженности:

Представленное уравнение демонстрирует поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность, которая включает совокупность N зарядов, для электростатического поля в вакуумной среде. Для общего случая характерно распределение электрических зарядов с объемной плотностью r, которая неодинакова в разных точках пространства. В таком случае теорема Гаусса будет иметь следующий вид:

Когда поле Е определяется конфигурацией всех зарядов, поток вектора Е через произвольную замкнутую поверхность S зависит от алгебраической суммы зарядов, которые расположены внутри поверхности S. При передвижении зарядов без пересечения поверхности S поток вектора Е сквозь эту поверхность останется прежним.

Применение теоремы Гаусса

Решения формул можно получить с помощью интегрирования уравнения:

Где V является объемом, для которого r не равен нулю.

Но, благодаря использованию теоремы Гаусса, решение задач упрощается. Однако данный метод не всегда можно применить. Он эффективен лишь для ситуаций, когда поле характеризуется специальной симметрией:

Условия применения теоремы Гаусса:

В случае, когда данные условия не выполнимы, расчет Е поля производят другими методами, к примеру, ДИ-дифференцирование и интегрирование. При дискретном распределении зарядов формула будет иметь следующий вид:

Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Можно представить бесконечную плоскость. Она заряжена с поверхностной плотностью зарядов:

Линии напряженности расположены перпендикулярно относительно плоскости и направлены в обе стороны от плоскости. Поверхность цилиндра можно представить в роли замкнутой поверхности. Основания этой фигуры находятся параллельно по отношению к бесконечной плоскости, а ее ось — перпендикулярна плоскости.

Образующие цилиндрической фигуры расположены параллельно, относительно линий напряженности:

Поток вектора напряженности через боковую поверхность равен нулю, а полный поток через цилиндр определяется совокупностью потоков, которые проходят через его основания. Для основания:

Заряд, который заключен внутри постоянной замкнутой поверхности, определяется, как:

Численная характеристика потока равна:

Согласно теореме Гаусса:

Исходя из данного уравнения, следует:

Напряжение электростатического поля, которое образовано с помощью равномерно заряженной бесконечной плоскости, составляет:

В этом случае напряжение электростатического поля не определяется длиной цилиндра. При любом расстоянии от плоскости напряжение будет одинаково по модулю. Поле равномерно заряженной плоскости отличается однородностью.

Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля двух разноименно заряженных плоскостей, которые бесконечно параллельны друг относительно друга

Схематичное представление таких плоскостей представлено на рисунке. Можно представить, что левая плоскость заряжена e + s, а правая с – s.

Суммарное поле можно рассчитать с помощью определения суперпозиции полей, каждую из которых создают плоскости:

Таким образом, определяется результирующая напряженность поля в области, отделяющей две плоскости. За пределами рассматриваемого объема, который ограничен этими плоскостями, результирующая напряженность поля будет равна нулю.

Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля равномерно заряженной сферической поверхности

Можно представить сферу, которая равномерно заряжена и обладает радиусом R. Поверхностная плотность заряда равна +s. Для данного поля характерна сферическая симметрия и радиальное направление линий напряженности. Мысленно можно выделить сферу, радиус которой равен r, а центр совпадает с центральной точкой заряженной сферы. Предположим, что r>R. В этом случае справедлива формула:

Рисунок демонстрирует график зависимости E = f (r)

Пример расчета напряженности поля объемно заряженного шара

Допустим, что шарообразный объект обладает радиусом R. Шар равномерно заряжен, а объемная плотность заряда составляет:

Для данного поля характерна сферическая симметрия. Можно представить сферу замкнутой поверхностью. Когда r>R,

В случае, когда r \(q_=q\left( \frac>\right)^<3>\)

Данное уравнение справедливо, так как заряды относятся, как объемы, а объемы, как кубы радиусов. В таком случае, исходя из теоремы Гаусса, следует уравнение:

График демонстрирует зависимость E = f (r)

Внутри шара, который заряжен равномерно, напряженность увеличивается линейно с расстоянием r от его центра. Вне шара напряженность будет уменьшаться обратно пропорционально r2.

Пример расчета напряженности поля бесконечного круглого цилиндра, который заряжен и обладает линейной плотностью заряда I

Имеется объект цилиндрической формы с радиусом R. Линии напряженности обладают одинаковой густотой и направлены вдоль радиусов круговых сечений цилиндра. Замкнутая поверхность будет представлена в виде цилиндра, радиус которого равен r, а высота — h. Поток вектора через торцы фигуры обладает нулевым значением, а через боковые поверхности составляет:

Следует учитывать, что:

В случае, когда l > 0, получаем E > 0, то есть вектор Е будет ориентирован от цилиндра. Если l

Источник

Теорема Гаусса

Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.

Поток вектора напряженности

Δ Φ = E Δ S cos α = E n Δ S.

Φ = ∑ ∆ Φ i = ∑ E m ∆ S i

Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.

Теорема Гаусса. Доказательство

Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.

Уравнение Гаусса имеет вид:

Φ = 1 ε 0 ∑ q в н у т р

где R является радиусом сферы.

Так, мы доказали теорему Гаусса.

Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).

Применение теоремы Гаусса

Если r ≥ R , то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2 π r l . Применим закон Гаусса и получим:

В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:

Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.

Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.

К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).

При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.

Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:

Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.

Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.

Источник

Электростатика: элементы учебной физики

Лекция 5. Напряжённость электрического поля

Понятие электрического поля оказалось плодотворным потому, что удалось ввести количественные характеристики, которые позволяют решать конкретные физические задачи. К ним в первую очередь относятся напряжённость и потенциал электрического поля.

Экспериментальные исследования учащихся должны показать, что напряжённость реально может быть измерена и что эта величина действительно характеризует электрическое поле. Относительно новое для школьников – один и тот же прибор, электростатический динамометр, при соответствующей градуировке может быть использован в качестве измерителя и силы, и напряжённости. Однако это вовсе не значит, что этим прибором можно измерить любую электростатическую величину: ни при какой градуировке электростатического динамометра не удастся получить прибор, измеряющий, скажем, потенциал электрического поля.

Принципиально важно экспериментальное обоснование принципа суперпозиции электрических полей. Такое обоснование можно было бы осуществить уже при введении понятия электрического поля, но предпочтительнее сделать это, когда учащиеся будут ознакомлены с понятием напряжённости.

5.1. Напряжённость электрического поля. Силовой характеристикой электрического поля является вектор напряжённости электрического поля E, равный отношению вектора силы, действующей в данной точке поля на пробный положительный заряд, к величине этого заряда:

( 5.1)

Напряжённость в системе единиц СИ выражается в ньютонах на кулон (Н/Кл).

5.2. Напряжённость электрического поля точечного заряда. Во многих задачах электростатики размерами заряженных тел по сравнению с расстояниями до точек наблюдения можно пренебречь. В таких случаях говорят о точечных зарядах. Понятно, что на самом деле никаких точечных зарядов или заряженных точек в природе не существует, — это просто удобная абстракция.

Закон Кулона, как вы знаете, справедлив именно для точечных зарядов. Непосредственно из закона Кулона следует, что модуль вектора напряжённости электрического поля точечного заряда Q:

где R – расстояние до точки наблюдения, q – пробный положительный заряд.

5.3. Силовые линии электростатического поля. Фарадей, который ввёл понятие электрического поля, внутренним взором видел заряды, окружённые полями. Изображать их он стал линиями, вдоль которых на пробный заряд со стороны поля действуют силы. Силовые линии электростатического поля часто называют линиями напряжённости, т.к. вектор напряжённости электрического поля в любой точке такой линии касателен к ней. Вместо пробного заряда для построения силовых линий удобнее использовать электрический диполь.

Введя в электрическое поле положительный пробный заряд на нити, по его отклонению от положения равновесия определим направление напряжённости поля. Уберём заряд и вместо него в ту же точку внесём диполь. При этом обнаружим, что он повернулся своим положительным полюсом в направлении вектора напряжённости электрического поля. Используя диполь, нетрудно экспериментально доказать, что электрическое поле можно характеризовать силовыми линиями, т.е. такими линиями, в каждой точке которых напряжённость поля является касательной к ним.

Для этого создадим произвольное электрическое поле, введём в него диполь и отметим положение его положительного и отрицательного полюсов. Переместим диполь так, чтобы его, например, отрицательный полюс совпал с точкой, в которой находился положительный. Многократно повторяя эту операцию, получим совокупность точек. Соединив эти точки плавной линией, получим силовую линию исследуемого электростатического поля.

Опыт показывает, что через каждую точку поля проходит только одна силовая линия. Если бы было не так, то в точке пересечения двух силовых линий одного поля на заряд действовали бы разные силы.

Повторяя описанные выше действия, построим семейство силовых линий так, чтобы их начальные точки находились на поверхности заряженного тела на равных расстояниях друг от друга. Обнаружим, что силовые линии располагаются с различной густотой. Внесём в поле пробный заряд на нити в области с максимальной и минимальной густотой силовых линий и обнаружим, что в этих областях напряжённость электрического поля соответственно максимальна и минимальна.

Силовые линии сгущаются возле зарядов, т.е. там, где модуль вектора напряжённости электрического поля больше. Значит, густота силовых линий определяется напряжённостью поля. Семейство силовых линий в принципе может полностью охарактеризовать электрическое поле.

Проделанные опыты показывают, что силовые линии начинаются или заканчиваются на зарядах, идут в бесконечность или выходят из неё. В электростатическом поле замкнутых силовых линий нет.

5.4. Принцип суперпозиции напряжённостей электростатических полей. Из принципа суперпозиции полей следует, что сила, действующая на пробный заряд со стороны других зарядов, равна геометрической сумме всех действующих на заряд сил по отдельности. Но если это так, то напряжённости электрических полей, равные отношениям сил к величине пробного заряда, складываются подобно силам.

Таким образом, для электрических полей справедлив принцип суперпозиции в следующей формулировке: напряжённость результирующего электрического поля есть геометрическая (векторная) сумма напряжённостей полей, создаваемых отдельными зарядами:

E = E₁ + E₂ + E₃ + … (5.3)

Применение принципа суперпозиции для напряжённостей позволяет существенно облегчить решение многих задач электростатики.

5.5. Поток вектора напряжённости электрического поля. Представим себе точечный положительный заряд Q, находящийся в центре сферической поверхности 1 радиусом r. В точках этой поверхности напряжённость электрического поля Так как площадь

поэтому характеризует электрическое поле в целом. Эта величина получила название потока вектора напряжённости электрического поля.

Поток напряжённости через концентрические сферические поверхности 1 и 2 одинаков. Так как он характеризует поле заряда в целом, нужно, чтобы он оставался тем же и для произвольной замкнутой поверхности 3. Но для неё вектор напряжённости уже не является нормалью к элементу поверхности. Поэтому для определения потока вектора E через элемент поверхности вместо площади этого элемента следует брать площадь его проекции на плоскость, перпендикулярную вектору E. Условимся поток считать положительным, если вектор напряжённости выходит из замкнутой поверхности, и отрицательным, если он входит в неё. Если заряд находится вне замкнутой поверхности 4, то поток напряжённости через неё равен нулю. Дело в том, что входящий внутрь области поток по модулю равен выходящему.

5.6. Теорема Гаусса. Мысленно переместим заряд из центра сферической поверхности в любую точку внутри неё. Очевидно, поток вектора напряжённости электрического поля от этого не изменится, т.к., по самому определению, он один и тот же для любой замкнутой поверхности, окружающей заряд. Разместим внутри этой поверхности не один, а несколько в общем случае различных зарядов. По принципу суперпозиции электрические поля этих зарядов не влияют друг на друга, значит, потоки, созданные каждым зарядом по отдельности, остаются неизменными. Результирующий поток, очевидно, равен сумме потоков от всех зарядов.

Это и есть теорема Гаусса: поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную:

Если алгебраическая сумма зарядов внутри замкнутой поверхности равна нулю, то поток напряжённости электрического поля через эту поверхность также равен нулю. Это понятно, поскольку положительные заряды внутри поверхности создают положительный поток, а отрицательные – равный ему по модулю отрицательный.

5.7. Поверхностная плотность заряда. Если проводящему телу сообщить заряд, то он будет распределён по его поверхности. В общем случае на участках поверхности одинаковой площади окажутся разные заряды. Отношение заряда Q к площади поверхности S, на которой он распределён, называется поверхностной плотностью заряда

Поверхностная плотность заряда выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м 2 ).

5.8. Напряжённость электрического поля заряженного шара. Используя теорему Гаусса, нетрудно определить напряжённость электрического поля, созданного заряженным проводящим шаром. Действительно, если на поверхности сферы радиусом r > R, центр которой совпадает с центром шара, равномерно распределён заряд Q, то поток вектора E через сферическую поверхность радиусом r, согласно теореме Гаусса, равен:

Отсюда напряжённость электрического поля на расстоянии r от центра заряженной сферы равна

Сравнивая (5.7) с (5.2), приходим к выводу, что напряжённость электрического поля заряженного шара равна напряжённости такого же точечного заряда, расположенного в центре шара.

5.9. Напряжённость электрического поля заряженной плоскости. Рассмотрим бесконечную плоскость, заряженную равномерно с поверхностной плотностью заряда . Электрическое поле такой поверхности однородно, причём силовые линии перпендикулярны поверхности. Чтобы найти напряжённость поля, воспользуемся теоремой Гаусса. Для этого построим замкнутую цилиндрическую поверхность, ось которой параллельна силовым линиям поля, а основания площадью S находятся по разные стороны от поверхности. Поток напряжённости через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. силовые линии её не пересекают. Поэтому полный поток напряжённости через выбранную поверхность равен сумме потоков через основания цилиндра: N = 2 • ЕS. Полный заряд внутри цилиндра равен Q = S. Согласно теореме Гаусса, Отсюда напряжённость электрического поля

Итак, напряжённость электрического поля заряженной плоскости равна поверхностной плотности заряда, делённой на удвоенное значение электрической постоянной.

5.10. Напряжённость электрического поля разноимённо заряженных параллельных плоскостей. Пусть некоторая плоскость заряжена равномерно с плотностью заряда . Параллельно этой плоскости расположим вторую, с такой же плотностью заряда противоположного знака. Найдём напряжённость электрического поля в этом случае.

Каждая плоскость создаёт поле напряжённостью E’ = /(2₀). Согласно принципу суперпозиции, напряжённость результирующего электрического поля равна сумме напряжённостей этих полей. Так как между плоскостями напряжённости полей имеют одинаковое направление, то результирующая напряжённость Е = 2E’:

Следовательно, напряжённость электрического поля между параллельными плоскостями, несущими равные по модулю разноимённые заряды, равна поверхностной плотности заряда одной из плоскостей, делённой на электрическую постоянную. Вне плоскостей векторы напряжённостей направлены противоположно и, поскольку их модули равны, поле вообще отсутствует. Обратите внимание, что не важно, проводят плоскости электричество или нет.

Исследование 5.1. Напряжённость электрического поля

Проблема. Возможна ли в доступном учебном эксперименте количественная оценка напряжённости электрического поля, создаваемого зарядами на наэлектризованных телах?

Задание. Используя электростатический динамометр, разработайте методику введения понятия напряжённости электрического поля и предложите прибор для измерения напряжённостей.

Вариант выполнения. Проводящему шару сообщите заряд, для определённости положительный. На пробный шарик электростатического динамометра (см. исследование 3.4) также нанесите некоторый заряд. Введите динамометр в электрическое поле заряженного шара и разверните так, чтобы его показания стали максимальны. Это означает, что пробный шарик электростатического динамометра отклоняется в ту же сторону, куда направлена сила, действующая на него со стороны электрического поля.

Прикоснитесь к пробному шарику таким же незаряженным шариком и уберите его: пробный заряд уменьшится в два раза, показания динамометра для того же расстояния до точки наблюдения тоже уменьшаются в два раза.

Повторяя опыт с разными зарядами, убедитесь, что отношение силы f, действующей на пробный заряд q, к величине этого заряда в данной точке поля остаётся постоянным, а при переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняется. Значит, это отношение может характеризовать электрическое поле. Оно и получило название напряжённости электрического поля. Шкалу электростатического динамометра, которым вы пользовались для измерения силы электростатического взаимодействия, можно отградуировать в единицах напряжённости. Тогда допустимо считать этот прибор измерителем напряжённости электрического поля. Градуировку нетрудно осуществить в единицах Н/Кл, если предварительно измерить величину пробного заряда (см. исследование 3.6).

Учащиеся должны понять, каким образом один и тот же прибор превратился из измерителя силы в измеритель напряжённости.

Исследование 5.2. Зависимость напряжённости электрического поля от радиуса заряженного шара

Задание. Разработайте демонстрационный эксперимент, который может служить обоснованием справедливости теоремы Гаусса для электростатических полей.

Зарядите стоящий на диэлектрической подставке небольшой проводящий шар. К нему подведите измеритель напряжённости электрического поля, пробный шарик которого несёт такой же по знаку заряд, как заряд, создающий исследуемое поле. Запомните отклонение стрелки измерителя.

Первый шар с зарядом опустите в полость второго проводящего шара значительно большего диаметра, установленного на диэлектрической подставке. Приближайте этот второй шар к пробному шарику измерителя напряжённости. Оказывается, когда центр второго шара совпадает с точкой, в которой находился центр первого шара, стрелка измерителя отклоняется на первоначальное число делений.

Отсюда следует, что независимо от радиуса заряженного шара на одном и том же расстоянии от его центра напряжённость электрического поля одна и та же. Тем самым теорема Гаусса получила подтверждение в демонстрационном эксперименте.

Понятно, что теорема Гаусса носит общий характер и, строго говоря, не нуждается в обоснованиях, подобных здесь рассмотренному. Но в дидактических целях такое обоснование совершенно необходимо, поскольку оно способствует укреплению в сознании учащихся неразрывной связи физической теории с объективной реальностью.

Исследование 5.3. Суперпозиция электрических полей

Информация. Чтобы убедиться в справедливости принципа суперпозиции электрических полей, нужно уметь определять не только модули сил, действующих на заряды, но и их направления. Делать это с помощью электростатического динамометра неудобно. Кроме того, он не позволяет графически изображать векторы сил. Если на нити подвесить лёгкое заряженное тело, то силу, действующую на него в электрическом поле, можно оценить по отклонению тела из положения равновесия. Но для измерения этого отклонения воспользоваться линейкой не удастся: приближение её к заряженному телу вызывает изменение его положения. Чтобы устранить эту трудность, можно спроецировать заряженное тело на горизонтальную плоскость.

Задание. Разработайте и выполните эксперимент, доказывающий справедливость принципа суперпозиции электрических полей.

Вариант выполнения. К стеклянному баллону маленькой лампочки приклейте тонкую нить с лёгким проводящим шариком небольшого радиуса на конце. Нанесите на шарик пробный заряд. Лампочку закрепите над листом бумаги и включите её. На листе бумаги цифрой 0 отметьте положение тени от шарика, находящегося в положении равновесия. Приблизьте к пробному заряду заряд Q₁ и цифрой 1 отметьте на листе положение тени отклонившегося шарика. Уберите заряд Q₁ и вместо него вблизи пробного шарика расположите заряд Q₂. При этом тень от шарика займёт новое положение 2.

Верните заряд Q₁ в первоначальное положение. Теперь пробный шарик находится в поле сразу двух зарядов и отклоняется от положения равновесия так, что его тень занимает положение 3. Проанализируйте результат эксперимента. Очевидно, при смещении шарика из положения равновесия его тень смещается на величину, пропорциональную силе, действующей на шарик в новом положении равновесия (см. исследование 3.5). При малых отклонениях пробного шарика эту силу приближённо можно считать равной силе, действующей на шарик в исходном положении. Длины отрезков, соединяющих точку 0 с точками 1, 2 и 3, пропорциональны модулям соответствующих сил. Соединив указанные точки векторами, вы обнаружите, что вектор результирующей силы, действующей на пробный заряд, примерно равен сумме векторов сил, действующих на него со стороны каждого заряда по отдельности. Понятно, что точные измерения, выполненные с более совершенными приборами, вместо приближённого дадут точное равенство.

Поразительно единство природы: силы, созданные электрическими полями, складываются так же, как механические! Но если это так, то напряжённости электрических полей, равные отношениям сил к величине пробного заряда, складываются подобно силам. Оставив шары неподвижными, изменяйте их заряды в одинаковое число раз (см. п. 2.6). При этом вы обнаружите, что направление напряжённости результирующего поля остаётся неизменным.

Таким образом, принцип суперпозиции электростатических полей экспериментально обоснован.

Исследование 5.4. Демонстрация принципа суперпозиции напряжённостей

Проблема. Индивидуальный опыт, выполненный в результате предыдущего исследования, не позволяет убедиться в справедливости принципа суперпозиции напряжённостей электростатических полей всему классу непосредственно на уроке. Как решить эту проблему?

Задание. Учитывая возможности кодоскопа, разработайте демонстрационный вариант эксперимента, обосновывающего справедливость принципа суперпозиции, и методику проведения его на уроке.

Вариант выполнения. Из толстой алюминиевой проволоки в изоляции выгните специальный штатив высотой примерно 30 см и поставьте его на конденсор кодоскопа. К верхнему концу штатива привяжите конец тонкой нейлоновой нити длиной примерно 20 см. На нижнем конце нити закрепите шарик диаметром около 3 мм из тонкой алюминиевой фольги. На конденсор кодоскопа на стойках высотой 10 см, изготовленных из полиэтиленовых трубок, поставьте пенопластовые шары диаметром 15–20 мм, обёрнутые тонкой фольгой. Основания стоек лучше сделать из прозрачного оргстекла.

Уберите с конденсора стойки с шарами, включите осветитель кодоскопа и на классной доске получите изображение висящего на нити пробного шарика. Одноимёнными зарядами зарядите пробный шарик и два шара на стойках. На доске мелом отметьте положение пробного шарика. Поставьте на конденсор один из заряженных шаров, отметьте его положение и положение пробного шарика. Уберите первый заряженный шар и в произвольное место поставьте второй, отметив на доске новое положение пробного шарика. Верните в первоначальное положение первый шар, обозначьте результирующее положение пробного шарика, мелом на доске нарисуйте соответствующие векторы сил и предложите учащимся сделать вывод из продемонстрированного опыта.

Исследование 5.5. Плотность заряда на поверхности проводника

Задание. Докажите, что плотность заряда на поверхности проводника, вообще говоря, различна.

Вариант выполнения. Зарядите расположенный на изолирующей подставке проводник цилиндрической формы с остриём и коническим углублением. Пробным шариком на изолирующей ручке, предварительно заземлённым, коснитесь цилиндрической поверхности проводника и поместите его внутрь полого шара, соединённого с электрометром. Если угол отклонения стрелки мал, повторите перенос заряда несколько раз. Запомните показания электрометра, разрядите его и пробный шарик. Попробуйте снять заряд из конического углубления в поверхности проводника, и вы убедитесь, что там он практически отсутствует. Повторите опыт, касаясь пробным шариком теперь уже точки поверхности, расположенной на острие проводника. В этом случае угол отклонения стрелки электрометра будет значительно больше, чем в первом опыте. Так как вблизи острия пробный шарик заряжается до большей величины, то в этой области плотность распределения заряда по поверхности проводника больше.

Зарядите металлический диск, закреплённый за изолирующую ручку в штативе. Проведя опыты, аналогичные описанным, покажите, что плотность заряда во всех точках плоской поверхности диска вдали от его края одинакова, а на краю возрастает.

Исследование 5.6. Напряжённость электрического поля вблизи заряженного проводника

Задание. Поставьте опыт, показывающий, что напряжённость электрического поля вблизи заряженного проводника определяется поверхностной плотностью заряда.

Вариант выполнения. Вблизи проводника сложной формы расположите электростатический динамометр и перемещайте его так, чтобы расстояние до поверхности проводника оставалось постоянным, а сила действовала на шарик динамометра по нормали к поверхности. Опыт должен показать, что там, где на поверхности проводника плотность заряда больше, вблизи этой поверхности больше и напряжённость электрического поля (см. исследование 5.5). Проанализируйте полученные результаты и сделайте соответствующие выводы.

Исследование 5.7. Электрическое поле вблизи заряженных плоскостей

Задание. Прямым экспериментом подтвердите, что равномерно заряженная плоскость даёт электрическое поле по обе стороны от неё, а две параллельно установленные плоскости, несущие равные заряды противоположных знаков, создают электрическое поле только в области между ними.

Вариант выполнения. На нитях подвесьте два одинаковых обёрнутых алюминиевой фольгой пенопластовых шарика так, чтобы они касались металлического диска с противоположных сторон. Зарядите диск от пьезоэлектрического или иного источника. При этом шарики отойдут от диска на равные расстояния, свидетельствуя о том, что электрическое поле существует по обе стороны от заряженного диска.

Точно такой же диск зарядите равным по модулю и противоположным по знаку зарядом. Постепенно приближайте второй диск к первому так, чтобы они оставались параллельными. Вы заметите, что отклонение шарика, находящегося вне дисков, уменьшается, а находящегося между дисками – увеличивается. Наконец, первый шарик касается диска, показывая, что поле вне дисков практически исчезло, а второй шарик отклоняется на угол, примерно в два раза превышающий первоначальный.

Исследование 5.8. Точное подтверждение закона Кулона

На диэлектрической стойке закрепите металлический шар и заключите его между двумя проводящими полусферами, одна из которых имеет отверстие. Через отверстие проводником на изолированной нити соедините шар с полусферами. Зарядите полусферы. За нить удалите проводник. Разомкнув шар и полусферы, разведите полусферы в стороны, разрядите их, а к шару подсоедините чувствительный электрометр: никакого заряда на шаре вы не обнаружите. Значит, эксперимент ещё раз показывает, что на проводнике, находящемся внутри другого проводника, заряда нет.

Это справедливо потому, что справедлив закон Кулона. Действительно, внутри проводящей равномерно заряженной сферы выберем произвольную точку А и вертикальными конусами вырежем на сфере площадки S₁ и S₂. Из геометрии известно, что Но эти площадки имеют заряды, пропорциональные их величинам: Небольшие площадки создают в точке А поля напряжённостями и отношение которых

Значит, поскольку напряжённости полей, созданных любыми подобными парами площадок на сфере, равны по модулю и противоположно направлены, результирующая напряжённость поля, созданного в точке А всей заряженной сферой, должна быть равна нулю.

Это и показывает эксперимент. Если бы на опыте был обнаружен хотя бы слабый заряд на внутреннем шаре, то оказалась бы неверной формула для напряжённости поля точечного заряда (5.2) и, следовательно, в законе Кулона (3.1) сила взаимодействия между зарядами не была бы обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Так как заряд можно измерить с гораздо более высокой точностью, чем силу взаимодействия между зарядами, а из закона Кулона следует, что поле внутри тела отсутствует независимо от его формы, то рассмотренный эксперимент корректнее доказывает справедливость закона Кулона, чем ранее описанные опыты.

Задание. Разработайте и поставьте доступный вариант рассмотренного эксперимента, с максимальной убедительностью показывающий, что внутри заряженного полого проводника электрическое поле отсутствует.

Вариант выполнения. Чтобы обнаружить электрическое поле, можно воспользоваться явлением электростатической индукции. Внесём в поле два соприкасающихся проводящих тела на изолированных ручках. В них произойдёт перераспределение зарядов. Не удаляя из поля, разъединим эти тела – на них останутся заряды противоположных знаков. Эти заряды можно измерить электрометром, находящимся вне исследуемого поля.

Эксперимент можно поставить так. На подставке из диэлектрика закрепите полый металлический шар. Проводником в хорошей изоляции соедините его с одним из кондукторов электрофорной машины. К шару приблизьте второй кондуктор и приведите машину в действие. При этом возникнут мощные искровые разряды длиной до 10 см. Аккуратно введите внутрь шара одинаковые металлические пластинки на ручках из оргстекла. Приведите пластинки в соприкосновение, затем разъедините, аккуратно достаньте из полости шара и по очереди введите в шар электрометра. Вы обнаружите, что никакого заряда на пластинках нет! Значит, внутри проводящего шара электрическое поле отсутствует, несмотря на то, что шар в целом несёт значительный заряд, сообщаемый ему работающей электрофорной машиной. Повторите опыт, прикоснувшись пробным шариком изнутри к металлу заряженного шара, – вы вновь не обнаружите никакого заряда. Таким образом, весь электрический заряд сосредоточен на поверхности проводящего тела. Объясняется этот результат тем, что справедлив закон Кулона. В свою очередь, этот экспериментальный факт с высокой точностью подтверждает справедливость закона Кулона.

Вопросы для самоконтроля

1. В чём суть методики введения и формирования понятия напряжённости электрического поля?

2. Сравните метод построения силовых линий посредством диполя с методом визуализации электростатического поля мелким порошком, взвешенным в жидком диэлектрике.

3. Изложите методику демонстрации на уроке принципа суперпозиции электростатических полей.

4. Каким экспериментом можно подтвердить справедливость теоремы Гаусса?

5. Как зависят плотность заряда и напряжённость электрического поля от формы проводника?

6. Предложите демонстрационный опыт, прямо показывающий зависимость плотности заряда от площади проводника.

7. В чём дидактическая ценность опыта с обнаружением электрического поля вблизи одной и двух параллельных заряженных проводящих пластин?

8. Нужно ли в школе рассматривать метод точного подтверждения закона Кулона?

Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика: Учеб. пособие: В 3-х кн. Кн. 2. Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.

Демонстрационный эксперимент по физике в старших классах средней школы: Т. 2. Электричество. Оптика. Физика атома: Под ред. А.А.Покровского. – М.: Просвещение, 1972.

Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик Э.Е. Физика: Учеб. для 10 кл. шк. и кл. с углубл. изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.: Просвещение, 1997.

Учебное оборудование для кабинетов физики общеобразовательных учреждений: Под ред. Г.Г.Никифорова. — М.: Дрофа, 2005. (Cм. также «Физика» («ПС») № 10/2005; № 4/2007.)

Продолжение см. в № 22/07

Источник