Что такое чевиана в треугольнике

Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина — точка, точка — вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B1C1
через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B1CD и B1AC1. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B1 между ними.

Углы B1CD и B1AC1 равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA1 и BC1A1 подобны, так как углы CA1D и BA1C1 равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA1 равен углу BC1A1, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C1D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Треугольники AKB1 и CNB1
подобны по острому углу.

Теперь перемножим равенства:

что и требовалось доказать.

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Подставляем в это соотношение известные данные:

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

сумма AB и BC равна 13;

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Источник

Свойства конкурентных Чевиан треугольника

Каждому школьнику известно, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Я заинтересовался: а будет ли это свойство выполняться для любых трех конкурентных чевиан.

1. Если чевианами являются медианы, то ответ очевиден, так как два равновеликих треугольника с общей высотой имеют равные стороны, к которым эта сторона проведена.

Правда в этом утверждении участвует много треугольников, площади которых нужно сравнивать, и возникает желание уменьшить их число. Этого можно добиться, если сначала установить следующий критерий: точка G внутри треугольника ABC принадлежит медиане AD тогда и только тогда, когда [ABG] = [CAG], где [Ф] здесь и далее обозначает площадь фигуры Ф.

Чтобы доказать это утверждение, опустим из вершин B и C треугольников ABG и CAG высоты BK и CL на прямую AD, содержащую их общую сторону AD. Нам нужно установить, что точка G принадлежит медиане AD тогда и только тогда, когда равны треугольники DBK и CLD (а они подобны при любом выборе точки G, так как прямые CL и BK перпендикулярны прямой AM и, следовательно, параллельны).

Доказанный критерий «о мотыльке с равновеликими крыльями» позволяет нам доказать, что, точка G внутри треугольника ABC является точкой пересечения медиан тогда и только тогда, когда равновеликими являются треугольники ABG. BCG и CAG.

Ясно, что если с тремя конкурентными чевианами четыре каких-то маленьких треугольника равновелики, то эти чевианы являются медианами треугольника. Достаточно ли равенства площадей трех любых таких треугольников для того, чтобы точка G оказалась точкой пересечения медиан треугольника?

Рассмотрим три случая.

1. Если три равновеликих треугольника являются соседними и, например, u = z = v, то AD – медиана треугольника ABC, так как GD медиана треугольника BGC. Но треугольник BCE составлен из трех равновеликих треугольников, и поэтому [CBG] = 2[CGE]. Но эта пара треугольников имеет общую вершину и, тем самым, одинаковые высоты. Поэтому BG = 2GE. По теореме о медианах отсюда заключаем, что G – точка пересечения медиан треугольника ABC.

2. Если только два равновеликих треугольника являются соседними (например, u = z = y), то GD – медиана треугольника GBC, то есть D – середина BC. Так как u = y, то y = w = x = u = w = x, то есть [DAB] = [EAB]. Но эта пара треугольников имеет общую сторону AB и поэтому высоты этих треугольников, к ней проведенные, равны. Таким образом, DE║AB, то есть DE – средняя линия треугольника ABC, и поэтому DE – медиана.

3. Пусть теперь у одного из «трилистников» на рис. 3 три «лопасти» равновелики: u = w = v = a. Заметим, что

[GBD]:[GDC] = BD:DC = [ABD]:[ADC], то есть

Аналогично, рассуждая, заключаем, что числа x, y, z, u, v, w удовлетворяют системе уравнений

(*) которая в рассматриваемом случае выглядит так:

Перемножая эти уравнения, имеем: xyz = a3. Сравнивая эти три пары дробей, из системы заключаем, что az + a2 = xy + ax, ax + a2 = yz + ay, ay + a2 = xz + az.

Сложим эти равенства и получим xy + xz + yz = 3a2

Умножая первое уравнение на z, второе на – x, а третье – на y, а затем, складывая полученные равенства, найдем, что a(x2 + y2 + z2) + a2(x + y + z) =

Используя алгебраическое тождество x2 + y2 + z2 = (x + y+ z)2 – 2(xy +xz + yz), из последнего равенства, с учетом полученного выше равенства, заключаем, что x + y + z = 3a и тем самым числа x, y, z удовлетворяют системе уравнений x + y + z = 3a, xy + xz + yz = 3a2. xyz = a3.

Следовательно, по теореме Виета числа x, y, z являются корнями уравнения третьей степени t3 – 3at2 + 3a2t – a3 = 0, то есть уравнения (t – a)3 = 0. Отсюда уже следует, что x = y = z = a.

Что же можно утверждать, если известно, что только два из шести «маленьких треугольников» равновелики?

Решение. Рассмотрим несколько случаев.

Если u = y, то четырехугольник BDEA, как мы убедились выше, является трапецией, и поэтому прямые AC и DE параллельны. Отсюда заключаем, что CF – медиана треугольника ABC. Это следует из того, что отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей, делится этой точкой пополам.

Наконец, если u = x, то из системы (*) легко следует, что одновременно выполняются равенства x + y + z = u + v + w, xy + yz + xz = uv + vw + uw, xyz = uvw.

Поэтому две тройки чисел (x, y, z) и (u, v, w) являются корнями одного и того же уравнения третьей степени с общим корнем x = u. Следовательно, пары чисел y, z и v, w являются корнями одного и того же квадратного уравнения.

Итак, в рассматриваемом случае возможны два варианта: x = u, y = v, z = w и x = u, y = w, z = v. Если y = v, то BE – медиана треугольника AGC и, следовательно, треугольника ABC. Если y = w и z = v, то из первых двух уравнений системы (*) получаем, что x = y = z, и тем самым, все шесть «маленьких треугольников» равновелики. Таким образом, G – точка пересечения медиан треугольника ABC, и если два равновеликих треугольника принадлежат разным «трилистникам», то одна из чевиан (по крайней мере) является медианой треугольника.

Большой интерес вызвала у меня теорема о площади треугольника, образованного тремя неконкурентными чевианами.

Теорема. Точки D, E, F делят стороны треугольника ABC так, что а чевианы AD, BE, CF пересекаются попарно в точках G, H, K

Для доказательства заметим, что для сравнения [GHK] с [ABC] достаточно сравнить каждую из площадей [AGB], [BCH], [CAK] с площадью треугольника ABC. Так как

[GHK] = [ABC] – [AGB] – [BCH] – [CAK]

Рассмотрим треугольник ABG. В четырехугольнике ABDE он является одним из четырех треугольников, на которые разбивают четырехугольник две диагонали. Для площадей таких треугольников имеет место теорема о бабочках, которая утверждает, что

1) Таким образом, все, что рассмотрено и доказано в научных трудах относится к одному виду чевиан – медианам.

2) Мне интересно найти множество точек G для трех произвольных конкурентных чевиан треугольника, для каждой точки которого площади «трилистников» равны. Для этого я провел следующие исследования:

1. Взял произвольный треугольник и провел в нем три медианы. Этот случай не требует особых измерений, так как по теореме известно, что все шесть треугольников равновелики, а значит и площади «трилистников» одинаковы.

2. Взял тот же произвольный треугольник и провел в нем высоты. В этом случае мне пришлось проводить измерения. Я измерил линейкой длины всех отрезков и вычислил площади треугольник по формуле для прямоугольных треугольников, так как чевианы являются высотами. Пришел к выводу, что площади «трилистников» не равны.

4. Беру вновь тот же треугольник и провожу в нем произвольные чевианы, вновь провожу необходимые измерения, вычисляю площади треугольников по формуле Герона. Прихожу к выводу, что и здесь площади «трилистников» не равны. Еще несколько опытов с конкурентными чевианами не изменили моего вывода.

Эти исследования убеждают меня в том, что площади «трилистников» будут равны только в том случае, когда чевианами являются медианы.

Чтобы увидеть, чем же будет являться все множество точек пересечения конкурентных чевиан, я провел следующий эксперимент: все треугольники, а во всех опытах я брал их равными и налаживал их друг на друга. Беспорядочное расположение точек пересечения конкурентных чевиан позволило мне выдвинуть гипотезу, что если построить достаточно много этих точек, то они заполнят все внутреннее пространство треугольника.

После проведенных опытов я пришел к следующим выводам:

1) Множество точек для трех произвольных конкурентных чевиан является сам треугольник, но без границ.

2) Равенство x + y + z = u + y + z имеет место только для одного вида чевиан – медиан.

В дальнейшем я хочу найти и изучить компьютерную программу, с помощью которой можно провести большое количество опытов для произвольных конкурентных чевиан.

Источник

Чевианы треугольника Свойства медиан

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Чевианы треугольника
Свойства медиан

Описание слайда:

С
В
Что вы знаете о медианах треугольника?

Описание слайда:

Что вы знаете о медианах треугольника?
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий его вершину с серединой противолежащей стороны

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины

Медиана треугольника делит его на два равноовеликих треугольника

Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников*
*Сформулируйте последнее утверждение, разделив его на условие и заключение

Описание слайда:

Если
являются медианами
То
делят треугольник на 6
равновеликих треугольников

Описание слайда:

Да, этот признак является достаточным. Необходимо ли в условии равенство площадей всех шести треугольников?

Описание слайда:

Критерий точки медианы

Описание слайда:

Критерий точки медианы
Точка G внутри Δ АВС принадлежит медиане AD
тогда и только тогда, когда SABG=SACG
Доказать:
BD = DC
Доказательство:
Дополнительное построение, BH AD и CK AD.
Рассмотрим прямоугольные Δ BHD и ΔСKD.
В них:
НBD = DCK как накрест лежащие при BH ║CK (BH AD и CK AD) и секущей BC.
ВH=CK как высоты, проведенные к общей стороне AG в треугольниках ΔBAG и ΔCAG, имеющих равную площадь.
Треугольники равны по катету и острому углу. Следовательно BD=DC.
Теорема доказана?
Нет. Докажем обратное утверждение.

Описание слайда:

Дано:
Δ ABC, AD-чевиана,
G AD,
Доказать:
BD = DC
Доказательство:
Дополнительное построение, BH BD и CK AD.
Рассмотрим прямоугольные Δ BHD и ΔСKD.
В них:
НBD = DCK как накрест лежащие при BH CD (BH BD и CK AD) и секущей BC.
BD=DC по условию.
Треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
Следовательно, BH = CK.
SABG = ½ AG * BH
SACG = ½ AG * CK
SABG = SACG
Теорема доказана.
SABG = SACG
Точка G внутри Δ АВС принадлежит медиане AD, тогда и только тогда, когда SABG=SACG

Описание слайда:

Критерий точки медианы
Критерий точки медианы
Критерий
о мотыльке с равновеликими крыльями

Вернёмся к задаче, которую мы не смогли решить.

Описание слайда:

Домашнее задание
Докажите утверждение: если при пересечении трёх чевиан в одной точке образуется три равновеликих треугольника, то чевианы являются медианами.

Описание слайда:

Критерий точки медианы
Что можно утверждать, если все три треугольника
равновеликие?
Точка G является точкой пересечения медиан тогда и только тогда, когда SABG=SCBG=SAGC
Докажите это.
Критерий точки медианы
Критерий
точки пересечения медиан

Описание слайда:

Задача
На каком расстоянии от стороны треугольника, равной 12 см, находится его центр масс, если от стороны, равной 18 см, он находится на расстоянии 4 см?

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

ЖЕНСКИЙ ПОРТАЛ ASKWOMAN.RU. ОТКРОЙ ASKWOMAN.RU ASK WOMAN.RU – ЖЕЛАНИЕ БЫТЬ ОСОБЕННОЙ ASKWOMAN.RU Интернет портал, посвященный женским вопросам и темам.

Развитие магистральных сетей: задачи энергостроительного комплекса

Раздел «Распоряжение земельными участками, находящимися в собственности Ярославской области» Концепции управления государстве

Ведущие идеи построения региональной модели сопровождении одаренных детей

ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕТЕЙ СВЯЗИ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

МЫШЬ. ПРИЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ МЫШЬЮ.

ПРОБЛЕМЫ НАЛОГОВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ НА УРОВНЕ ФИРМЫ

Авторская песня. (бардовская песня)

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5359900 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Минпросвещения сформирует новый федеральный перечень учебников

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти педагоги призеров и победителей олимпиады получат денежные поощрения

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В России предложили учредить День семейного волонтерства

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В Якутии проведут первую в РФ федеральную олимпиаду по родным языкам

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Подробная статья «Вокруг теорем Чевы и Менелая» опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ. Она адресована учителям математики и учащимся старших классов, мотивированным на хорошее знание математики. К ней можно вернуться, если появится желание подробнее разобраться в вопросе. В этой заметке мы приведем краткие сведения из упомянутой статьи и разберём решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно (рис. 1).

а) Если отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке, то

. (1)

б) Если верно равенство (1), то отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке.

На рисунке 1 изображен случай, когда отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А1, B1 или С1 принадлежит стороне треугольника, а две другие — продолжениям сторон треугольника. В этом случае точка пересечения отрезков AА1, BB1 и CС1 лежит вне треугольника (рис. 2).

Как запомнить равенство Чевы?

Обратим внимание на прием запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC, начиная с точки A. От точки A идем к точке B, встречаем точку С1, записываем дробь . Далее от точки В идем к точке С, встречаем точку А1, записываем дробь . Наконец, от точки С идем к точке А, встречаем точку В1, записываем дробь . В случае внешней точки порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» отрезка оказываются вне своих отрезков. В таких случаях говорят, что точка делит отрезок внешним образом.

Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называют чевианой.

Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Чтобы доказать теорему Чевы, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки проводятся аналогично.

Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC.

Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства (1) заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.

Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС1. Прямая АА1 пересекает построенную прямую в точке М, а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА1, — в точке Т. Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ1. Они пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно (рис. 3).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

, и .

Тогда справедливы равенства

.

В параллелограммах ZСTM и ZСRВ отрезки TM, СZ и ВR равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, и верно равенство

.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

При доказательстве утверждения б) используем следующее утверждение. Рис. 3

Лемма 1. Если точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Докажем лемму для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним образом в одном и том же отношении: .

Доказательство. Из равенства следуют равенства и . Последнее из них выполняется лишь при условии, что С1B и С2B равны, т. е. при условии, что точки С1 и С2 совпадают.

Доказательство леммы для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внешним образом проводится аналогично.

Доказательство утверждения б) теоремы Чевы

Пусть теперь верно равенство (1). Докажем, что отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке Z, проведем через эту точку отрезок CС2 (С2 лежит на отрезке AB). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство

. (2)

Из сравнения равенств (1) и (2) заключаем, что , т. е. точки С1 и С2 делят отрезок AB в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки С1 и С2 совпадают. Это означает, что отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит, от того, от какой точки и в каком направлении совершается обход вершин треугольника.

Задание 1. Найдите длину отрезка АN на рисунке 4, на котором указаны длины других отрезков.

Задание 2. Чевианы AM, BN, CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC. Найдите отношение , если , . Рис. 4

Ответ. .

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Приведем доказательство теоремы Чевы из статьи [1]. Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) отношениями отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке O внутри треугольника АВС (рис. 5). Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную AB, и ее точки пересечения с прямыми AA1, BB1 обозначим соответственно A2, B2.

Из подобия двух пар треугольников CB2B1 и ABB1, BAA1 и CA2A1, Рис. 5

, . (3)

Из подобия треугольников BС1O и B2CO, AС1O и A2CO имеем равенства , из которых следует, что

. (4)

Перемножив равенства (3) и (4), получим равенство (1).

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с помощью площадей для внутренней точки. Оно изложено в книге [2] и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде заданий 3 и 4.

Задание 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и основаниями, лежащими на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.

Задание 4. Докажите, что если , то и . Рис. 6

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Пусть отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в точке Z (рис. 6), тогда

, . (5)

Из равенств (5) и второго утверждения задания 4 следует, что или . Аналогично получим, что и . Перемножив три последние равенства, получим:

,

т. е. верно равенство (1), что и требовалось доказать.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Задание 15. Пусть чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разбивают его на 6 треугольников, площади которых равны S1, S2, S3, S4, S5, S6 (рис. 7). Докажите, что . Рис. 7

Задание 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади других треугольников указаны на рисунке 8).

Задание 7. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АNO равна 10 и , (рис. 9).

Задание 8. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АBC равна 88 и , (рис. 9).

Решение. Так как , то обозначим, . Так как , то обозначим , . Из теоремы Чевы следует, что , и тогда . Если , то (рис. 10). У нас три неизвестные величины (x, y и S), поэтому для нахождения S составим три уравнения.

Так как , то = 88. Так как , то , откуда . Так как , то .

Итак, , откуда . Рис. 10

Задание 9. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. , . P — точка пересечения отрезков AL и CK. Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Теорема Менелая

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CВ отмечены точки B1 и A1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C1 (рис. 11).

а) Если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то

. (6)

б) Если верно равенство (7), то точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Рис. 11

Как запомнить равенство Менелая?

Прием запоминания равенства (6) тот же, что и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC — от вершины к вершине, проходя через точки деления (внутренние или внешние).

Задание 10. Докажите, что при записи равенства (6) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.

Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а).

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

I способ. а) Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (6) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l, параллельную прямой А1B1, она пересекает прямую АB в точке M (рис. 12).

Рис. 12

По теореме о пропорциональных отрезках имеем: и .

Тогда верны равенства .

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

Пусть теперь верно равенство (6), докажем, что точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А1B1 пересекаются в точке С2 (рис. 13).

Так как точки А1 B1 и С2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая

. (7)

Из сравнения равенств (6) и (7) имеем , откуда следует, что верны равенства

, , .

Последнее равенство верно лишь при условии , т. е. если точки С1 и С2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано. Рис. 13

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) отношениями длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Из точек A, B и C проведем перпендикуляры АА0, BB0 и СС0 к этой прямой (рис. 14).

Рис. 14

Из подобия трех пар треугольников AA0B1 и CC0B1, CC0A1 и BB0A1, C1B0B и C1A0A (по двум углам) имеем верные равенства

, , ,

перемножив их, получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Идея доказательства заключается в замене отношения длин отрезков из равенства (7) отношениями площадей треугольников.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Соединим точки C и C1. Обозначим площади треугольников S1, S2, S3, S4, S5 (рис. 15).

Тогда справедливы равенства

, , . (8)

Перемножив равенства (8), получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Рис. 15

Подобно тому, как теорема Чевы остается справедливой и в том случае, если точка пересечения чевиан находится вне треугольника, теорема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство утверждения а) для случая внешних точек

Пусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

и .

Тогда верны равенства

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис. 16

Заметим, что приведенное доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну во внешней.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично доказательству, приведенному выше.

Задание 11. В треугольнике АВС точки А1, В1 лежат соответственно на сторонах ВС и AС. P — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. , . Найдите отношение .

Решение. Обозначим , , , (рис. 17). По теореме Менелая для треугольника BCВ1 и секущей PA1 запишем верное равенство:

,

откуда следует, что

. Рис. 17

Ответ. .

Задание 12 (МГУ, заочные подготовительные курсы). В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении , а на стороне АС — точка L, делящая АС в отношении . Точка P пересечения прямых СК и ВL удалена от прямой АВ на расстояние 1,5. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Из точек Р и С опустим перпендикуляры PR и СМ на прямую АВ. Обозначим , , , (рис. 18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL запишем верное равенство: , откуда получим, что , . Рис. 18

Из подобия треугольников КMC и КRP (по двум углам) получим, что , откуда следует, что .

Теперь, зная длину высоты, проведенной к стороне AB треугольника ABС, и площадь этого треугольника, вычислим длину стороны: .

Задание 13. Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как , касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим , , (рис. 19). Так как , то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении . Найдем это отношение. Рис. 19

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: , откуда следует, что .

Ответ. .

Задание 14 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:4. [8]

Решение. а) Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке A1 (рис. 20). По теореме Чевы имеем:

. (9)

Так как АВ1:B1С = АС1:С1B, то из равенства (9) следует, что , то есть CA1 = А1B, что и требовалось доказать. Рис. 20

б) Пусть площадь треугольника AB1O равна S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 4S, а площадь треугольника AOC равна 5S. Тогда площадь треугольника AOB тоже равна 5S, так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO, а их вершины B и C равноудалены от прямой AO. Причём площадь треугольника AOC1 равна S, так как АС1:С1B = 1:4. Тогда площадь треугольника ABB1 равна 6S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 24S, а площадь треугольника ABC равна 30S. Теперь найдём отношение площади четырёхугольника AB1OC1 (2S) к площади треугольника ABC (30S), оно равно 1:15.

Задание 15 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:3. [8]

Задание 16 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

Решение. а) Пусть углы при основании BC равнобедренного треугольника ABC (рис. 21) равны , так как BL биссектриса ABC, то LBC = . Он равен углу LDB при основании BD равнобедренного треугольника BLD. Тогда внешний угол LCB треугольника DCL равен , а внутренний угол LDC, не смежный с ним, равен . Из свойства внешнего угла треугольника следует, что другой внутренний угол треугольника DCL равен – = , то есть треугольник DCL равнобедренный (DC = CL), что и требовалось доказать. Рис. 21

б) Пусть AK — медиана, проведённая к основанию BC равнобедренного треугольника ABC, она является высотой, поэтому BK:BA = cosABC = . Обозначим BK = x, тогда BC = 2x, BA = BС = 6x. Биссектриса BL делит сторону BС в отношении CL:LA = BC:BA = 1:3. Тогда CL = CD = = 1,5x.

По теореме Менелая , откуда, учитывая, что CL = CD, имеем: = .

Задание 17 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

2. Мякишев геометрии треугольника. (Серия «Библиотека «Математическое просвещение»»). М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.

4. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1990, № 3, С. 56–59.

5. Шарыгин Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30.

6. Вавилов и средние линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. — 334 с.

Источник