Что такое экстремумы функции и как их находить
Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений
Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки
Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.
Рассмотрим график непрерывной функции (рисунок снизу).
Определение. Точка x 1 области определения функции f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) > f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум.
Определение. Точка x 2 области определения функции f(x) называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.
Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Пример 1. Рассмотрим функцию 
.
В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.
Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее:
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 2. Найти экстремумы функции 
.
Решение. Найдём производную функции:
.
Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:
.
Так как для любых значений «икса» знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:
.
То есть, точка x = 3 является точкой минимума.
Найдём значение функции в точке минимума:
.
Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Локальный характер экстремумов функции
Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, 
.
Ищем экстремумы функции вместе
Пример 3. Найти экстремумы функции 
и построить её график.
Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная 
существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых 
, т.е. 
, откуда 
и 
. Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: 
. Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.
Для интервала 
контрольной точкой может служить 
: находим 
. Взяв в интервале 
точку 
, получим 
, а взяв в интервале 
точку 
, имеем 
. Итак, в интервалах и 
, а в интервале 
. Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке 
экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале 
), а в точке 
функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: 
, а 
. В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .
Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При 
получим уравнение 
, корни которого 
и 
, т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 4. Найти экстремумы функции 
и построить её график.
Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки 
, т.е. 
.
Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как 
. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала 
.
Находим производную 
и критические точки функции:
1) 
;
2) 
,
но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.
Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: 
и 
. Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку 
. Для этого найдём вторую производную 
и определим её знак при : получим 
. Так как 
и 
, то является точкой минимума функции, при этом 
.
Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:
(здесь символом 
обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично 
означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если 
, то 
. Далее, находим
,
т.е. если 
, то 
.
Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 5. Найти экстремумы функции 
.
Пример 6. Найти экстремумы функции 
.
Пример 7. Найти экстремумы функции 
.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Продолжаем искать экстремумы функции вместе
Пример 8. Найти экстремумы функции 
.
Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство 
, то из 
получаем 
.
Найдём первую производную функции:
Найдём критические точки функции:
Точки 
и 
не могут быть точками экстремума, так как находятся на границе области определения функции. В точке 
производная функции меняет знак с плюса на минус, а в точке 
— с минуса на плюс. Следовательно, — точка максимума, а точка — точка минимума функции.
Найдём значения функции в этих точках:
Таким образом, экстремумы функции:
.
Пример 9. Найти экстремумы функции 
.
Решение. Найдём область определения функции.
Найдём первую производную функции:
Найдём критические точки функции:
Таким образом, у данной функции две критические точки: 
и 
. Определим значения производной в критических точках. При переходе через точку производная функции продолжает убывать (сохраняет знак минус), а при переходе через точку — начинает возрастать (меняет знак с минуса на плюс). Следовательно, — точка минимума функции.
Найдём значение функции в точке минимума:
Таким образом, минимум функции:
.
Пример 10. Найти экстремумы функции 
.
Решение. Найдём первую производную функции:
.
Найдём критические точки функции:
.
Так как для любого действительного x должно выполняться условие 
, то
.
Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку. Определим значения производной в критической точке. При переходе через точку 
производная функции начинает убывать (меняет знак с плюса на минус). Следовательно, — точка максимума функции.
Найдём значение функции в точке максимума:
.
Таким образом, максимум функции:
.
Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы
Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Возрастание и убывание функции на интервале
Точки экстремума, экстремумы функции
Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
Алгоритм для нахождения точек экстремума
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
После чего необходимо найти производную:
Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
Перейдем к вычислению минимумов:
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
Второй признак экстремума функции
Для начала находим область определения. Получаем, что
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
Третье достаточное условие экстремума
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.
Что такое экстремумы функции: критические точки максимума и минимума
Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.
Что такое экстремум?
В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.
Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:
Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.
Это интересно! Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения
Экстремумы производной функции
Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.
Производная функция
Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.
Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.
Это интересно! Как определить определенные интегралы от нуля, константы и с доказательством
Острый экстремум
Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.
Острый экстремум Важно! Процесс нахождения точек острого экстремума функции называется дифференцированием и используется как в школьном курсе изучения алгебры и начала анализа, так и в ходе освоения высшей математики в университете.
Экстремальное значение функции
Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.
Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:
Экстремальное значение функции Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.
Необходимое условие экстремума функции
Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.
Точки минимума и максимума
Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.
Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.