Что такое оператор гамильтона

Оператор Гамильтона и его применения

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

ЛЕКЦИЯ 9

Вклад гештальтизма в развитие психологии

Гештальтизм оставил заметный след в современной психологии и оказал влияние на отношения к проблемам перцепции, научения, мышления, изучения личности, мотивации поведения, а также на развитие социальной психологии. Недавние работы, являющиеся продолжением исследований гештальтистов, позволяют предположить, что их движение еще в состоянии внести вклад в развитие науки.

Гештальт-психология, в отличие от своего главного конкурирующего научного движения – бихевиоризма, многое сохранила от своей первоначальной оригинальности, благодаря чему ее основные принципы не растворились полностью в главном направлении психологической мысли. Гештальтизм продолжал поощрять интерес к сознательному опыту даже в те годы, когда в психологии доминировали идеи бихевиоризма.

Интерес гештальтистов к сознательному опыту был не таким, как у Вундта и Титченера, он строился на основе новейших феноменологических взглядов. Современные приверженцы гештальтизма убеждены, что опыт сознания по-прежнему должен изучаться. Однако, они признают, что он не может исследоваться с той же точностью и объективностью, как обычное поведение.

В настоящее время феноменологический подход в психологии шире распространен в Европе, чем в США, но его влияние на американскую психологию можно проследить на примере ее гуманистического движения. Многие аспекты современной когнитивной психологии обязаны своим происхождением работам Вертхеймера, Коффки и Келера и тому научному движению, которое они основали около 90 лет тому назад.

Оператор Гамильтона и его применения. Дифференциальные операции второго порядка. Потенциальные поля и их свойства. Соленоидальные поля и их свойства. Гармонические поля. Уравнение Лапласа. Свойства гармонических функций.

Все дифференциальные операции векторного анализа можно весьма значительно алгебраизировать при помощи оператора Гамильтона – символического вектора Ñ (читается – «набла»), определяемого равенством

(8.1)

Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается в соответствии с правилами векторной алгебры.

1) Произведение Ñ на скалярную функцию u(x,y,z) дает градиент этой функции:

(8.2)

2) При помощи оператора Гамильтона, можно обобщить понятие производной по направлению. Вспомним, что для производной скалярного поля u по направлению единичного вектора b справедлива формула

.

Введем скалярный дифференциальный символ:

. (8.3)

Тогда производную по направлению можно записать в виде

. (8.4)

В такой записи, под b можно понимать любой вектор, не обязательно единичный.

3) По аналогии с понятием производной по направлению от скалярной функции, можно ввести понятие производной по направлению вектора b от векторной функции a:

. (8.4)

4) Скалярное произведение Ñ на векторную функцию a дает дивергенцию этой функции:

(8.5)

5) Векторное произведение Ñ на векторную функцию a дает ротор этой функции:

(8.6)

Таким образом, оператор Гамильтона и дифференциальные операции связаны следующим образом:

Пользуясь вектором Ñ, нужно помнить, что он является дифференциальным оператором, действующим на все функции, стоящие справа от него. Поэтому при преобразовании выражений, в которые входит Ñ, нужно учитывать не только правила векторной алгебры, но и правила дифференциального исчисления. Например, дифференциал произведения двух функций u и v равен

.

В соответствии с этим пишут

. (8.7)

Здесь знаком «¯» отмечен тот множитель, к которому оператор Ñ должен применяться. Аналогично можно получить

. (8.8)

. (8.9)

Целесообразность введения символического оператора Ñ состоит в том, что с его помощью удобно получать и записывать различные формулы векторного анализа. В частности,

, (8.10)

, (8.11)

, (8.12)

Замечание. Для вывода формулы (8.11) следует воспользоваться формулой двойного векторного произведения:

. (8.13)

Для вывода формулы (8.12) следует предварительно найти Ñ(ac), где c=const. Поскольку c´rota=c´(Ñ´a)=Ñ(ac)–(cÑ)a, то

. (8.14)

Тогда и, далее, следует воспользоваться формулой (8.14).

Источник

Гамильтониан. Оператор энергии.

Напомним основные постулаты квантовой механики, связанные с эрмитовыми операторами:

Оператор, связанный с измерением энергии, в квантовой механике называется оператором Гамильтона или Гамильтонианом. Конкретный вид матрицы Гамильтониана зависит от деталей рассматриваемой системы. Если это система с двумя состояниями типа кубита с двумя базисными векторами, то Гамильтониан имеет вид квадратной матрицы 2х2. В общем случае он может быть и бесконечномерной матрицей.

В классической механике энергия частицы складывается из кинетической \( \displaystyle T\) и потенциальной \( \displaystyle V\). Кинетическая энергия равна:

\( \displaystyle T = \frac<2>= \frac<2m>\) где \( \displaystyle p = mv\) — импульс.

Квантовомеханический аналог получается простой заменой числового значения импульса на оператор:

Сам оператор импульса в квантовомеханическом случае выражается через оператор взятия производной:

Мы получили оператор Гамильтона в координатном базисе:

Его собственные векторы также бесконечномерные — это функции от координаты x. Аппроксимируя вторую производную квадратной матрицей и прибавляя дискретизированную функцию потенциала \( \displaystyle V\) получим конечномерную матрицу, аппроксимирующую Гамильтониан:

Все что остается — это выбрать конкретный вид функции потенциала и найти на компьютере собственные векторы и собственные значения данной матрицы.

Давайте возьмем квадратичный потенциал \( \displaystyle V = kx^2\), отвечающий линейной силе в классическом случае (пружина, маятник). Система известна как гармонический осциллятор. Найдя собственные значения мы получим, что они отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии, причем первый энергетический уровень не нулевой. Квантовый гармонический осциллятор, в отличие от классического, оказывается не может не совершать колебания (иметь нулевую энергию).

Мы наблюдаем эффект квантования. Измеренная энергия не может принимать любое значение, а только одно из разрешенных, дискретных.

Численные величины собственных значений оператора Гамильтона зависят от вида функции потенциальной энергии. Возьмем, например, второй популярный пример — потенциал в виде прямоугольной ямы.

Каждому собственному значению (энергетическому уровню) соответствует собственный вектор — волновая функция в которую перейдет вектор состояния после измерения данного собственного значения (энергии). Несколько собственных функций, соответствующих нескольким первым собственным значениям Гамильтониана с прямоугольным потенциалом приведены на рисунке.

Из рисунка понятно почему квантовомеханический вектор состояния исторически получил название волновой функции. Аналогично можно найти и спектр атома водорода взяв за \( \displaystyle V(x) \) кулоновский потенциал притяжения электрона и протона:

Оператор Гамильтона выделяется среди других эрмитовых операторов тем, что он является генератором эволюции во времени вектора состояния (поэтому он входит в уравнение Шредингера). В связи с этим ряд высказываний касательно времени можно сформулировать используя Гамильтониан. Так утверждение, что величина сохраняется означает ее неизменность с течением времени. На языке оператора Гамильтона данный факт преобразуется в:

Если данный эрмитов оператор коммутирует с Гамильтонианом, то физическая величина, представляемая данным оператором, сохраняется.

То есть, если \( \displaystyle [A,H]=AH-HA=0\), то \( \displaystyle A\) сохраняется.

Тривиальный случай — это закон сохранения энергии, поскольку любой оператор коммутирует сам с собой:

\( \displaystyle [H,H]=0 \Rightarrow\) энергия сохраняется.

Источник

Оператор Гамильтона

Список значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи. Если вы попали сюда из другой статьи Википедии, пожалуйста, вернитесь и уточните ссылку так, чтобы она указывала на статью.

Полезное

Смотреть что такое «Оператор Гамильтона» в других словарях:

оператор Гамильтона — набла набла оператор вектор (потенциального поля) — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность Синонимы набланабла операторвектор (потенциального поля) EN del … Справочник технического переводчика

оператор Гамильтона — pilnutinės energijos operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hamilton operator vok. Hamilton Operator, m rus. оператор Гамильтона, m; оператор полной энергии, m pranc. opérateur de l’énergie totale, m; opérateur hamiltonien, m … Fizikos terminų žodynas

оператор Гамильтона — Hamiltono operatorius statusas T sritis chemija apibrėžtis Kvantmechaninis diferencialinis operatorius, apibūdinantis fizikinės sistemos būsenos kitimą. atitikmenys: angl. del operator; hamiltonian; Hamiltonian operator; nabla operator rus.… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Оператор набла — (оператор Гамильтона) векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом … Википедия

Оператор (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Оператор. Квантовая механика … Википедия

оператор полной энергии — pilnutinės energijos operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hamilton operator vok. Hamilton Operator, m rus. оператор Гамильтона, m; оператор полной энергии, m pranc. opérateur de l’énergie totale, m; opérateur hamiltonien, m … Fizikos terminų žodynas

Гамильтона оператор — набла оператор, ∇ оператор, дифференциальный оператор вида где i, j, k координатные орты. Введён У. Р. Гамильтоном (1853). Если Г. о. применить к скалярной функции φ(x, у, z), понимая ∇φ как произведение вектора на… … Большая советская энциклопедия

ГАМИЛЬТОНА ОПЕРАТОР — набла оператор, С оператор, гамильтониан, символический дифференциальный оператор 1 го порядка, применяемый для записи основных дифференциальных операций векторного анализа. В декартовой прямоугольной системе координат с ортами Г. о. имеет вид:… … Математическая энциклопедия

Источник

Оператор Гамильтона

Смотреть что такое «Оператор Гамильтона» в других словарях:

Оператор Гамильтона — Оператор Гамильтона: Иногда используемое название для оператора набла В квантовой механике гамильтониан См. также Функция Гамильтона … Википедия

оператор Гамильтона — набла набла оператор вектор (потенциального поля) — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность Синонимы набланабла операторвектор (потенциального поля) EN del … Справочник технического переводчика

оператор Гамильтона — pilnutinės energijos operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hamilton operator vok. Hamilton Operator, m rus. оператор Гамильтона, m; оператор полной энергии, m pranc. opérateur de l’énergie totale, m; opérateur hamiltonien, m … Fizikos terminų žodynas

оператор Гамильтона — Hamiltono operatorius statusas T sritis chemija apibrėžtis Kvantmechaninis diferencialinis operatorius, apibūdinantis fizikinės sistemos būsenos kitimą. atitikmenys: angl. del operator; hamiltonian; Hamiltonian operator; nabla operator rus.… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Оператор набла — (оператор Гамильтона) векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом … Википедия

Оператор (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Оператор. Квантовая механика … Википедия

оператор полной энергии — pilnutinės energijos operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hamilton operator vok. Hamilton Operator, m rus. оператор Гамильтона, m; оператор полной энергии, m pranc. opérateur de l’énergie totale, m; opérateur hamiltonien, m … Fizikos terminų žodynas

Гамильтона оператор — набла оператор, ∇ оператор, дифференциальный оператор вида где i, j, k координатные орты. Введён У. Р. Гамильтоном (1853). Если Г. о. применить к скалярной функции φ(x, у, z), понимая ∇φ как произведение вектора на… … Большая советская энциклопедия

ГАМИЛЬТОНА ОПЕРАТОР — набла оператор, С оператор, гамильтониан, символический дифференциальный оператор 1 го порядка, применяемый для записи основных дифференциальных операций векторного анализа. В декартовой прямоугольной системе координат с ортами Г. о. имеет вид:… … Математическая энциклопедия

Источник

Гамильтона оператор

Смотреть что такое «Гамильтона оператор» в других словарях:

Гамильтона оператор — набла оператор, ∇ оператор, дифференциальный оператор вида где i, j, k координатные орты. Введён У. Р. Гамильтоном (1853). Если Г. о. применить к скалярной функции φ(x, у, z), понимая ∇φ как произведение вектора на… … Большая советская энциклопедия

ГАМИЛЬТОНА ОПЕРАТОР — набла оператор, С оператор, гамильтониан, символический дифференциальный оператор 1 го порядка, применяемый для записи основных дифференциальных операций векторного анализа. В декартовой прямоугольной системе координат с ортами Г. о. имеет вид:… … Математическая энциклопедия

Оператор Гамильтона — Оператор Гамильтона: Иногда используемое название для оператора набла В квантовой механике гамильтониан См. также Функция Гамильтона … Википедия

оператор Гамильтона — набла набла оператор вектор (потенциального поля) — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность Синонимы набланабла операторвектор (потенциального поля) EN del … Справочник технического переводчика

Оператор набла — (оператор Гамильтона) векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом … Википедия

Оператор (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Оператор. Квантовая механика … Википедия

оператор Гамильтона — pilnutinės energijos operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hamilton operator vok. Hamilton Operator, m rus. оператор Гамильтона, m; оператор полной энергии, m pranc. opérateur de l’énergie totale, m; opérateur hamiltonien, m … Fizikos terminų žodynas

оператор Гамильтона — Hamiltono operatorius statusas T sritis chemija apibrėžtis Kvantmechaninis diferencialinis operatorius, apibūdinantis fizikinės sistemos būsenos kitimą. atitikmenys: angl. del operator; hamiltonian; Hamiltonian operator; nabla operator rus.… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Источник