Что такое основание геометрического тела

Геометрические тела.

Геометрическое тело — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной

Геометрическое тело возможно выделить замкнутой поверхностью, т.е. его границей.

Еще геометрическим телом можно назвать компактное множество точек, и 2 точки из множества

возможно соединить отрезком, этот отрезок целиком проходит внутри границы тела, это указывает на то,

что геометрическое тело состоит из множества внутренних точек.

Наружная граница геометрического тела является его гранью, у тела может быть одна либо несколько

граней. Множество плоских граней определяет множество вершин и ребер геометрического тела.

Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Тела вращения.

Тела вращения — это объёмные тела, которые возникают следствием вращения плоской геометрической

фигуры, которая ограничена кривой, вокруг оси. Эта ось лежит в той же плоскости.

Если вращать контуры фигур, образуется поверхность вращения (к примеру, сфера, которая

образовывается из окружности), а если вращать заполненные контуры – возникают тела (шар, который

Шар — образуется из полукруга, вращением вокруг диаметра разреза.

Цилиндр — образуется из прямоугольника, вращая его вокруг одной из

Площадью боковой поверхности цилиндра берут площадь его развертки:

вокруг одного из катетов.

Площадью боковой поверхности конуса берут площадь ее развертки:

Площадь полной поверхности конуса:

Тор (тороид) — образуется из окружности, вращая ее вокруг прямой, которая не

Многогранники.

Многогранник или полиэдр — зачастую замкнутая поверхность, состоящая из многоугольников. Ее,

бывает, зовут тело, которое ограничено этой поверхностью.

Многогранник – тело, у которого граница, это объединение ограниченного количества многоугольников.

Есть 5 видов правильных многогранников:

Тетраэдр
Гексаэдр (куб)
Додекаэдр

Правильным многогранником является многогранник, с гранями из правильных равных многоугольников,

также, каждый двугранный угол имеет одинаковое значение.

Однако существуют другие многогранники – все многогранные углы равны, а грани – правильные, при этом

разноименные правильные многоугольники. Такие многогранники являются

равноугольно-полуправильными многогранниками.

усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный

додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосододекаэдр,

ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, «плосконосый» (курносый) куб, «плосконосый»

получить правильные звездчатые многогранники.

Таких многогранников существует только 4, еще их зовут телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл

малый додекаэдр, и назвал его «колючий» либо «еж», и большой додекаэдр. Пуансо открыл другие 2

правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый

Источник

Геометрические тела.

Геометрическое тело — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной

Геометрическое тело возможно выделить замкнутой поверхностью, т.е. его границей.

Еще геометрическим телом можно назвать компактное множество точек, и 2 точки из множества

возможно соединить отрезком, этот отрезок целиком проходит внутри границы тела, это указывает на то,

что геометрическое тело состоит из множества внутренних точек.

Наружная граница геометрического тела является его гранью, у тела может быть одна либо несколько

граней. Множество плоских граней определяет множество вершин и ребер геометрического тела.

Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Тела вращения.

Тела вращения — это объёмные тела, которые возникают следствием вращения плоской геометрической

фигуры, которая ограничена кривой, вокруг оси. Эта ось лежит в той же плоскости.

Если вращать контуры фигур, образуется поверхность вращения (к примеру, сфера, которая

образовывается из окружности), а если вращать заполненные контуры – возникают тела (шар, который

Шар — образуется из полукруга, вращением вокруг диаметра разреза.

Цилиндр — образуется из прямоугольника, вращая его вокруг одной из

Площадью боковой поверхности цилиндра берут площадь его развертки:

вокруг одного из катетов.

Площадью боковой поверхности конуса берут площадь ее развертки:

Площадь полной поверхности конуса:

Тор (тороид) — образуется из окружности, вращая ее вокруг прямой, которая не

Многогранники.

Многогранник или полиэдр — зачастую замкнутая поверхность, состоящая из многоугольников. Ее,

бывает, зовут тело, которое ограничено этой поверхностью.

Многогранник – тело, у которого граница, это объединение ограниченного количества многоугольников.

Есть 5 видов правильных многогранников:

Тетраэдр
Гексаэдр (куб)
Додекаэдр

Правильным многогранником является многогранник, с гранями из правильных равных многоугольников,

также, каждый двугранный угол имеет одинаковое значение.

Однако существуют другие многогранники – все многогранные углы равны, а грани – правильные, при этом

разноименные правильные многоугольники. Такие многогранники являются

равноугольно-полуправильными многогранниками.

усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный

додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосододекаэдр,

ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, «плосконосый» (курносый) куб, «плосконосый»

получить правильные звездчатые многогранники.

Таких многогранников существует только 4, еще их зовут телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл

малый додекаэдр, и назвал его «колючий» либо «еж», и большой додекаэдр. Пуансо открыл другие 2

правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый

Источник

Основные геометрические фигуры

Основные понятия

Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.

Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.

Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.

Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.

Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.

Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.

Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.

Примеры объемных геометрических фигур:

Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.

Прямоугольник

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.

Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.

Найти площадь квадрата легко:

Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.

Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

Как найти площадь трапеции:

S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.

Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.

P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.

Общие формулы расчета площади фигур:

Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Треугольник

Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.

Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.

P = 3 × a, где a — длина стороны.

Круг — это множество точек на плоскости, которые удалены от центра на равном радиусу расстоянии.

Окружность — это граница круга.

Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.

Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.

Формулы площади круга:

Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.

L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Источник

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО. МНОГОГРАННИК

Определение: Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется геометрическим телом.

Граница – поверхность геометрического тела.

Пространственная область – внутренняя область геометрического тела.

Определение: Многогранником называется геометрическое тело, поверхностью которого является конечное число многоугольников, каждая сторона любого многоугольника является стороной двух и только двух граней, не лежащих в одной плоскости. Многоугольники – грани многогранника.

Вершины и стороны граней – вершины и ребра многогранника.

Многогранники классифицируются по числу граней: тетраэдр(четырехгранник), пентаэдр (пятигранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник).

Определение: Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Определение: Многогранник, две грани которого многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям, а остальные грани – параллелограммы, называется призмой. Многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям – основания призмы. Параллелограммы – боковые грани призмы.

Стороны параллелограммов, соединяющие соответствующие вершины оснований призмы – боковые ребра призмы.

Свойства:

Основания призмы равны и параллельны.

Боковые ребра призмы равны и параллельны.

Определение: Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям (Рис.1.), в противном случае призма называется наклонной (Рис. 2.).

Рис.1. Рис. 2. Рис.3.

Призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной, … в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.

Определение: Перпендикуляр, проведенный из какой—либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (Рис. 3.).

Замечание: Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Определение: Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Замечание: Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Справка:

1. Правильный четырехугольник – квадрат;

2. Правильный треугольник – равносторонний треугольник;

3. Правильный шестиугольник.

Определение: Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом (Рис. 1.).

Определение: Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям (Рис. 2.).

Определение: Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. (Рис. 3.)

Определение: Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются линейными размерами (измерениями) прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота). (Рис. 3.)

Определение: Прямоугольный параллелепипед, все линейные размеры которого равны между собой, называется кубом. (Рис. 4.)

Свойства:

Упражнения:

a) 8, 9, 12;

B) 12, 16, 21.

Справка: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

ПОВЕРХНОСТЬ ПРИЗМЫ

Определение: Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Определение: Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Определение: Перпендикулярным сечением призмы называется многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее ребрам.

Теорема: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.

Дано:

А А₁ = l;

l ^ КLMNP;

Доказать:

Следствие: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.

; ;

Упражнения:

Дана наклонная треугольная призма, две боковые грани которой взаимно перпендикулярны, их общее ребро равно 9,6 см и находится на расстоянии 4,8 см и 14 см от двух других рёбер. Найти площадь боковой поверхности призмы.

7. Найти площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, стороны основания которого равны 8 дм и 12 дм и образуют угол 30°, а боковое ребро равно 6 дм.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 10 см и 17 см, одна из диагоналей основания равна 21 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Определить площадь полной поверхности параллелепипеда.

ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМОВ

Определение: Многогранники, имеющие равные объёмы, называются равновеликими.

Определение: За единицу объёма принимается объём куба, ребро которого равно единице длины.

ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

Теорема: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров.

– линейные размеры (измерения)

Теорема: Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

Дано:

– основание призмы;

; ;

ОБЪЁМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ

Теорема: Объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призмы на её боковое ребро.

Дано:

— наклонная призма;

— боковое ребро;

— перпендикулярное сечение;

Доказать:

Следствие: Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

Упражнения:

1. В наклонном параллелепипеде стороны перпендикулярного сечения, равные 3 см и 4 см, образуют между собой угол 30°. Боковое ребро параллелепипеда равно 1 дм. Найти объём параллелепипеда.

2. Основанием призмы является правильный треугольник со стороной 4 см. Боковое ребро призмы равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти объём призмы и площадь перпендикулярного сечения призмы.

7. Дан наклонный параллелепипед, основание которого – квадрат со стороной 5 дм. Найти объём параллелепипеда, если одно из боковых рёбер образует с каждой прилежащей стороной основания угол 60 ° и равно 1 м.

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 1 м, а основание 1 м 20 см. Боковое ребро призмы равно высоте основания, опущенной на его боковую сторону. Найти площадь полной поверхности призмы.

Рис. 1. Рис. 2.

Упражнения:

.

; .

; ; ; ; .

; , следовательно, .

— равносторонний треугольник, значит, .

; .

по трём сторонам, следовательно, .

;

; ;

;

.

.

Ответ: .

Замечание: Площадь боковой поверхности неправильнойусечённой пирамиды вычисляется по определению, каксумма площадей её боковых граней.

Упражнения:

ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ

Теорема: Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на её высоту.

Дано:

SО ^ АВС; SО = h.

Доказать:

9. ОБЪЁМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

Дано:

.

Упражнения:

ЦИЛИНДР. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется прямым круговым цилиндром.

Определение: Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

AB – ось симметрии, высота цилиндра;AB = H;

AD– радиус основания цилиндра;AD = R.

Определение: Расстояние между плоскостями оснований является высотой прямого кругового цилиндра.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Два круга являются основаниями прямого кругового цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований, называется образующей прямого кругового цилиндра.

Определение: Прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности основания цилиндра, а другая – его высоте, называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Определение: Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Сечения цилиндра.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг.

Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси – овал.

Теорема: Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S_бок. = 2πRH, где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

Определение: Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

Рассмотрим п-угольную прямую призму. При п→∞ периметр многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к длине окружности основания цилиндра, площадь многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к площади круга, являющегося основанием цилиндра. Объём п-угольной прямой призмы будет стремиться к объёму прямого кругового цилиндра.

Определение: Призма называется вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра.

Определение: Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания призмы.

Упражнения:

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найти: высоту, радиус основания, площадь основания цилиндра.

Квадрат со стороной, равной а, вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне. Ось удалена от квадрата на расстояние, равное стороне квадрата. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

11. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

12. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №1.

14. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №2.

Рис. №1. Рис. №2.

КОНУС. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ КОНУСА.

Конус (с греческого «konos»)– сосновая шишка.

Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, называется прямым круговым конусом.

Определение: Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Определение: Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор круга, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса.

Сечения конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Определение: Осевым сечением конуса называется сечение, проходящее через ось конуса.

Вывод: Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конусаможно найти по формуле:

S_бок. = πRL, где R – радиус основания, L – длина образующей.

Площадь полной поверхности конусанаходится по формуле:

Объём кругового конуса равен V = 1/3 πR 2 H, где R – радиус основания, Н – высота конуса.

Определение: Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

Определение: Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Упражнения:

1. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 120 ° и боковой стороной в 20 см вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти высоту конуса, если площадь его боковой поверхности равна 427,2 см 2 и образующая – 17 см.

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вращается вокруг оси, параллельной гипотенузе и проходящей через вершину прямого угла. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Определение: Усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между его основанием и сечением, параллельным основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям, называется прямым круговым усечённым конусом.

Определение: Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями.

Определение: Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями.

Задача: Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны: r = 5, R = 7, Н = Ö60. Найдите образующую усеченного конуса.

Определение: Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Задача: Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус верхнего основания, высота и образующая: R = 6, Н = 4, L = 5.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S_бок = π(R + r)L,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, L – длина образующей.

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S_полн. = πR 2 + πr 2 + π(R + r)L,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, L– длина образующей.

Объём усечённого конусаможно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2 ),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

Упражнения:

Из истории возникновения.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра, называется шаром.

Определение: Радиусом сферы (шара) называется отрезок, соединяющий центр сферы (шара) с любой её точкой.

Определение: Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две любые её точки.

Определение: Диаметром сферы называется хорда, проходящая через её центр.

Сечение шара плоскостью.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сечение, проходящее через центр шара, называется диаметральным сечением (большим кругом).

Касательная плоскость к сфере.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

2. Объем шара:

Упражнения:

Площади многоугольников

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник