Что такое параллельная математика
Параллельность прямых
Определение параллельности прямых
Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.
Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.
Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.
Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.
На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.
Свойства и признаки параллельных прямых
Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.
Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.
Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:
∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.
Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.
А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.
Задача 1
Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.
Решение
Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.
Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.
Задача 2
Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.
Решение
Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.
Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.
Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.
Хокинг, математика и струны: три ключевых теории о параллельных мирах
Параллельные вселенные — это миры, которые гипотетически существуют одновременно с нашим, но не обязательно похожи на него. Есть предположения, что там действуют другие законы природы или события принимают альтернативные исходы: если в нашем мире подброшенная монета упала орлом вверх, то в другой реальности — решкой.
Научные гипотезы, содержащие конкретные обоснования существования параллельных вселенных, появились только в XX веке, но философы рассуждали на эту тему еще в античности. В V веке до нашей эры в Древней Греции возникла теория атомизма. Согласно этой теории любая материя состоит из химически неделимых частиц — атомов, хаотичное столкновение которых образует параллельные миры. Философ Хрисипп, живший в III веке до нашей эры, предполагал, что Вселенная постоянно умирает и возрождается, то есть одновременно существует бесконечное множество ее состояний.
Первым физиком, который высказал предположение о существовании параллельных реальностей, стал австрийский ученый Эрвин Шредингер. В 1952 году в Дублине он прочел лекцию по квантовой механике и ввел понятие суперпозиции — явления, при котором частица одновременно находится в нескольких разных состояниях.
Позже идею о мультивселенных стали использовать писатели-фантасты. Одна из первых книг на эту тему — роман Майкла Муркока «Расколотые миры» (1963). Чтобы разобраться, могут ли параллельные миры существовать на самом деле, а не только в литературе и кино, мы рассмотрели основные теории и поговорили с российскими физиками.
Теории параллельных Вселенных
Теория Хартла — Хокинга
В 1983 году физики Стивен Хокинг и Джеймс Хартл выпустили научную работу, посвященную новой теории возникновения Вселенной. С помощью квантовой механики ученые пытались объяснить, как мир мог появиться из ничего и что было до Планковской эпохи — самого раннего этапа в его развитии.
Стивен Хокинг посвятил почти всю свою научную карьеру космологии — разделу астрономии, изучающему появление и эволюцию Вселенной. Помимо исследовательских работ, он выпустил несколько научно-популярных книг на эту тему — «Краткая история времени», «Черные дыры и молодые вселенные», «Мир в ореховой скорлупке».
Согласно теории Хартла — Хокинга изначально наш мир находился в космологической сингулярности. Это состояние, для которого характерны бесконечно высокие плотность и температура вещества. В результате Большого взрыва Вселенная расширилась, образовались галактики, звезды, планеты. Она продолжает безгранично расширяться до сих пор.
Описывая мир, Хокинг и Хартл рассматривали Вселенную как квантовую систему, которая одновременно находится в бесконечном множестве состояний. Наша реальность — лишь одно из них. Помимо нее существуют параллельные миры, которые отображают все возможные исходы любых происходивших событий.
Идея, согласно которой система может находиться в нескольких состояниях в одно и то же время, объясняется мысленным экспериментом Эрвина Шредингера — одного из основателей квантовой механики. Ученый привел пример с кошкой в непрозрачном ящике рядом с атомом радиоактивного вещества, который с одной и той же вероятностью может распасться или не распасться, и устройством, которое убивает или не убивает животное в зависимости от состояния частицы. Для наблюдателя, пока тот не откроет ящик, кошка будет в равной степени живой и мертвой, то есть одновременно находиться в двух состояниях.
Математическая гипотеза Тегмарка
Астрофизик и профессор Массачусетского технологического института **Макс Тегмарк выдвинул гипотезу о том, что наш физический мир — это математическая структура: набор физических постоянных (например, число Авогадро, массы элементарных частиц) и уравнений, описывающих фундаментальные законы природы.
Ученый считает, что все непротиворечивые математические структуры, которые можно вычислить, существуют физически. Например, в нашем мире гравитационная постоянная равна 6,67430 (15) × 10−11 Н × м² / кг−2. В параллельной вселенной это значение может быть другим, а значит, меняются решения связанных с ним уравнений.
Объединяя свою и другие теории, Тегмарк предлагает четырехуровневую классификацию миров:
Теория струн
В 1970 году Йоитиро Намбу, Хольгер Нильсен и Леонард Сасскинд независимо друг от друга выдвинули предположение о том, что не все физические частицы можно считать точечными из-за нетипичного характера их взаимодействия. Исследователи предложили рассматривать некоторые элементарные частицы (например, пионы, которые по массе меньше атома) как тонкие протяженные нити — так называемые квантовые струны.
В 1984–1986 годах произошла суперструнная революция: физики поняли, что теорией струн гипотетически можно описать взаимодействие всех элементарных частиц, а не только пионов. Возникла идея, что квантовые нити колеблются с разными частотами и задают свойства материи, как привычные нам атомы.
Согласно общепринятой теории относительности Вселенная включает в себя четыре измерения, среди которых длина, ширина, глубина и время. По теории струн измерений может быть 6, 10 и даже 26. Но мы осознаем только четыре из них. Остальные измерения сворачиваются, но в них могут помещаться параллельные вселенные. Эта концепция в упрощенной визуальной форме отражена в фильме Кристофера Нолана «Интерстеллар» (2014).
Михаил Иванов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики МФТИ:
«Тема параллельных миров-вселенных в художественной и научной литературе переплетена с темой множественности миров-областей в пределах одной вселенной. Если рассматривать область якобы нашей вселенной, но отстающую от нас более чем на 14 млрд световых лет (это больше расстояния, которое свет может пройти с момента Большого взрыва к настоящему времени), тут уже возможно говорить о параллельных мирах.
Исторически одним из первых источников идеи мультивселенных была многомерная геометрия. Если в пространстве больше трех измерений, в нем можно представить несколько параллельных или пересекающихся гиперплоскостей, на каждой из которых действует обычная трехмерная физика. Восходят эти идеи минимум к XIX веку.
В современной науке основные источники идеи о мультивселенных — общая теория относительности и квантовая теория.
Общая теория относительности (ОТО) описывает, как геометрия пространства-времени, которая проявляется в виде гравитационных полей, изменяется со временем и взаимодействует с материей. В ней можно сконструировать решения основных уравнений так, чтобы черная дыра оказалась воротами в параллельный мир. Но это требует существования экзотических видов материи, которые едва ли возможны.
Можно применить обобщения ОТО к многомерному пространству и прийти к допущению, что в нем живут трехмерные браны (от слова мембрана), на поверхности которых размещаются параллельные вселенные. Можно модифицировать теорию так, чтобы пространство эволюционировало, порождая практически не связанные друг с другом области, в которых законы физики будут различаться.
В квантовой теории есть концептуальные проблемы, связанные с тем, что она состоит из двух разных частей. Первая — физика того, что происходит в замкнутой системе, обособленной от внешних взаимодействий. Вторая — теория измерений, описывающая взаимодействия системы с измерительным прибором.
Последнюю старались свести к физике замкнутых систем, включая в нее измерительный прибор. Но каждый раз теория измерений возникала снова, на другом уровне: вместо измерения состояния квантовой частицы приходилось рассматривать измерение состояния стрелки прибора или даже экспериментатора. В 1957 году американский физик Хью Эверетт III заметил, что теорию измерений можно исключить из квантовой механики, но тогда окажется, что в каждом эксперименте реализуются одновременно все возможные исходы. Это позволило проинтерпретировать теорию так, что Вселенная ветвится на варианты. В них происходит все, что в принципе могло бы произойти».
Существуют ли параллельные вселенные
Идею о существовании других реальностей в научном сообществе воспринимают неоднозначно. Сторонники этой концепции — Стивен Хокинг, американские физики-теоретики Брайан Грин и Ли Смолин, американский космолог Александр Виленкин.
Аргументы за:
Против идеи о параллельных вселенных выступают британский космолог Джордж Эллис, американские физики-теоретики Стивен Вайнберг и Дэвид Гросс. Их главный аргумент в том, что она ненаучна в целом. Ни одну из описанных выше теорий невозможно опровергнуть экспериментально, а значит, и доказать.
Михаил Иванов:
«В обозримом будущем мы едва ли сможем доказать существование параллельных вселенных. Многие теории основаны больше на игре ума, чем на экспериментальных фактах. Доказательство других порой требует ускорения элементарных частиц до энергии Планка (500 кг в тротиловом эквиваленте) или наблюдения за ними в течение миллиардов лет.
Более важный вопрос — удастся ли нам сформулировать квантовую теорию гравитации. Есть вероятность, что с ней мы сможем создавать параллельные вселенные, даже если раньше их не существовало».
В интервью для журнала Scientific American Джордж Эллис объяснил, что, по его мнению, ученые предложили идею о параллельных вселенных как универсальное объяснение природы нашего существования. Эту концепцию нельзя назвать неправильной, но она носит чисто философский, а не научный характер.
Станислав Алексеев, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела релятивистской астрофизики Государственного астрономического института имени П. К. Штернберга:
«У идеи о существовании параллельных вселенных есть несколько причин. Например, наличие черных дыр — каналов, через которые гипотетически энергия попадает из нашего мира в другой. Противоположные им белые дыры, существование которых не доказано, но допускается, могут быть источниками излучения из параллельных вселенных.
С точки зрения космологии, наличие других вселенных — возможность нарушить закон сохранения энергии, показав каналы, через которые она может убывать и прибывать. Это могло бы объяснить проблему космических лучей, энергия которых выше теоретического верхнего предела, без нарушения лоренц-инвариантности — свойства физической величины оставаться неизменной при преобразованиях.
Для доказательства или выбора одной из вышеописанных теорий не хватает экспериментальных, наблюдательных данных. В настоящее время во всех проектах общая теория относительности (ОТО) подтверждается с высокой точностью, но возможно, что в будущем удастся экспериментально выйти за ее границы».
Как современная наука изучает возможность существования параллельных Вселенных
В 1998 году во время наблюдения за сверхновыми звездами была обнаружена темная энергия. Это форма энергии, которая заполняет пустое пространство и действует противоположно гравитации, то есть отталкивает тела, а не притягивает их. За счет нее Вселенная расширяется с ускорением.
Ученые из Даремского и Сиднейского университетов создали компьютерную модель развития Вселенной и пришли к выводу, что в нашем мире относительно мало темной энергии. Согласно теориям возникновения Вселенной, ее должно было быть настолько много, что галактики и звезды не могли сформироваться, а жизнь не появилась бы.
В 2015 году в научном издании The International Journal of Physics вышла статья ученого А. А. Антонова о том, что темная энергия может быть признаком существования других вселенных. Для проверки этой и других теорий, связанных с темной энергией, ученые Национальной лаборатории имени Лоуренса в Беркли, США, создали прибор Dark Energy Spectroscopic Instrument, который исследует электромагнитные спектры далеких галактик. Впервые он начал работу в 2019 году.
Урок 45 Бесплатно Параллельные прямые
На этом уроке разберем один из случаев взаимного расположения прямых на плоскости, узнаем, какие прямые называют параллельными.
Дадим представление об основных свойствах и признаках параллельных прямых.
Рассмотрим, с помощью каких инструментов и какими способами можно построить их на плоскости.
Убедимся на примерах в том, что знания о параллельных прямых используются во многих областях нашей жизни.
Параллельные прямые
Из всех известных нам линий самой простой на первый взгляд является прямая линия.
Прямая линия бесконечна, то есть не имеет начала и конца.
Следовательно, изобразить на плоскости мы можем только часть прямой, а общий вид ее мы можем только представить.
Прямую обозначают любой строчной латинской буквой и читают как «прямая а». Но прямая может быть обозначена двумя прописными латинскими буквами, которые располагаются на разных концах прямой, и читают её как «прямая АВ».
Прямая линия имеет такие характерные особенности:
Через две произвольные точки можно провести прямую и притом только одну.
Через произвольную точку можно провести бесконечное множество прямых.
Две не совпадающие прямые на плоскости или пересекаются, или не пересекаются.
Прямые, лежащие в одной плоскости и непересекающиеся на всем своем протяжении, называются параллельными прямыми.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Слово «параллельность» («параллелос») с греческого языка переводится как «идущие рядом».
Термин «параллельность» использовали еще за долго до того, как параллельные прямые приобрели свое определение.
В древности знак для обозначения параллельных прямых имел вид знака, известного нам сегодня, как знак равенства «=».
Например, параллельность прямых а и d записывали так: «а = d».
Но в 1557 году Роберт Рекорд для обозначения равенства ввел знак «равно» в том виде, в котором он сегодня известен нам «=».
Чтобы избежать недоразумений и путаницы, символ параллельности был перевернут вертикально, его стали обозначать «||»
Сейчас параллельность прямых а и d записывают так: «а||d».
Принято считать, что между параллельными прямыми угол равен нулю.
Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными друг другу.
Отрезки AB и CD параллельны (AB||CD).
Отрезки OM и CD не являются параллельными.
Лучи, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными друг другу.
Луч а и b параллельны (а||b).
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, луча и прямой.
Необходимо понимать, что нельзя считать отрезки и лучи параллельными друг другу только за то, что они не пересекаются.
Приведем пример непересекающихся отрезков и лучей, которые вовсе не параллельны друг другу.
Как мы можем заметить, отрезок АВ не пересекает луч (а), но он и не параллелен ему.
Таким образом, отрезки и лучи, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, будут являться параллельными друг другу и этим прямым.
Выясним некоторые признаки и свойства параллельных прямых.
Рассмотрим аксиому параллельности прямых:
Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой, параллельной данной.
Таким образом, расстояние между параллельными прямыми везде одинаково, а длина отрезка перпендикуляра, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.
Подобную ситуацию можно представить, вспомнив железнодорожный путь (рельсы и шпалы) или шведскую лестницу.
Рассмотрим некоторые признаки параллельных прямых:
1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они между собой параллельны
Если а||с и b||с, то а||b.
2. Если две прямые перпендикулярны третьей, то эти две прямые параллельны друг другу.
Если а⊥с и b⊥с, то а||b.
Перейдем к знакомству со свойствами параллельных прямых.
1. Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.
Если c||b и а⊥с, то а⊥b.
2. Если несколько параллельных прямых пересечь прямой, то эта прямая пересечет каждую из параллельных прямых, причем под одним и тем же углом.
∠1 = ∠2 = ∠3
Части параллельных прямых, замкнутые между другими параллельными прямыми, равны.
Если а||b и d||c, а⊥с, b⊥c, b⊥d, a⊥d, то отрезки AB = CD и AC = BD.
Верно и обратное утверждение, если противоположные части четырех пересекающихся прямых равны, то эти части параллельны.
Подобную ситуацию можно представить, вспомнив четырехугольную столешницу или табурет.
Существуют другие признаки и свойства параллельных прямых, но они будут рассмотрены вами позже.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Главный труд древнегреческого математика Евклида «Начала» (300 лет до н.э.) является первым дошедшим до наших дней теоретическим трактатом по математике, он содержит основы античной геометрии и математики.
В «Началах» Евклид обобщил все ранее известные достижения древнегреческой математики и создал основу для ее дальнейшего изучения и развития.
Главное научное и историческое значение данной работы Евклида заключается в попытках построения теории геометрии на основе аксиом и логических рассуждений.
Изложение материала ведется от общего к частному: определения и аксиомы, далее постулаты, затем задачи и теоремы.
Евклид делает понятия аксиома и постулат различными, но это различие неясно.
Особый интерес и внимание у математиков всех времен и народов вызывала пятая аксиома о параллельных прямых, описанная в первой из тринадцати книг «Начала».
Пятый постулат Евклида о параллельных прямых, в отличие от остальных простых и элементарных для понимания постулатов, казался громоздким и, на первый взгляд, не очень очевидным.
В связи с этим многие математики пытались доказать недоказуемое и вывести постулат из разряда аксиом и представить как теорему.
Любые доказательства сводились к появлению только лишь более простых формулировок постулата.
За два тысячелетия было огромное множество попыток доказать пятый постулат, но каждая из них содержала утверждение, которое невозможно было доказать без использования того самого постулата.
Научные труды «Начала» оказали заметное влияние на развитие теории математики вплоть до наших дней.
Книга была переведена на множество языков.
В современных источниках приводится другая формулировка постулата о параллельных прямых, которая равносильна постулату Евклида.
Принадлежит она Птолемею Проклу: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной»
Существуют и другие эквивалентные формулировки.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации