Что такое правильная простая дробь
ОБЫКНОВЕННАЯ ДРОБЬ
Ключевые слова конспекта: дроби, обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части.
Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.
Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b — где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.
Правильная и неправильная дробь
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.
Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.
Основное свойство дроби
Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
Основное свойство дроби используют при сокращении дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дробей.
Сравнение дробей
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
Арифметические действия с обыкновенными дробями
Сложение и вычитание дробей
При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.
При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!
Общий случай сложения (вычитания) дробей.
Умножение дробей
Деление дробей
Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.
При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.
Нахождение части от целого (дроби от числа)
Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.
Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.
Нахождение целого по его части (числа по его дроби)
Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на знаменатель той же дроби.
Задача нахождения целого по его части по существу является задачей нахождения числа по его дроби. Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь.
Это конспект по теме «Обыкновенная дробь». Выберите дальнейшие действия:
Какую дробь называют правильной в математике
Правильная дробь — что это такое в математике
Дробью в математике называют число, в состав которого входит одна либо несколько равных частей (или долей) от единицы.
Виды дробей в зависимости от формы записи:
Здесь число, которое расположено над чертой, является числителем. Под чертой расположен знаменатель. Числитель представляет собой делимое, а знаменатель играет роль делителя.
Правильная дробь — дробь с числителем, модуль которого меньше по сравнению с модулем знаменателя.
Неправильная дробь — дробь с числителем, модуль которого больше, чем модуль знаменателя, либо равен ему.
Любое число, которое является целым и не равно нулю, можно записать, как неправильную обыкновенную дробь. Знаменатель при этом будет равен 1.
Основное свойство дроби можно сформулировать таким образом: когда числитель и знаменатель, которые принадлежат одной дроби, умножают, либо делят на одно и то же число, дробь не поменяется, изменится лишь ее запись. К примеру:
1 5 = 1 × 2 5 × 2 = 2 10
Чем отличается правильная от неправильной и смешанной, как определить
Правильная дробь отличается тем, что имеет числитель, который меньше знаменателя.
В качестве наглядного примера можно записать правильные дроби:
Заметим, что во всех записанных случаях числитель меньше, чем знаменатель.
По сравнению с неправильной дробью правильная дробь всегда меньше 1. Тогда как неправильная дробь больше, либо равна 1.
Сравнение разных типов дробей:
Действия с правильными дробями, как найти
Правильные дроби можно встретить при решении множества задач по математике. Для них предусмотрены все действия, которые выполняют с обыкновенными дробями.
Приведение к общему знаменателю
Перед тем, как сравнить, сложить или вычесть дроби, требуется выполнить их преобразование. В результате арифметических действий дроби должны пробрести одинаковые знаменатели. К примеру, имеется пара дробей:
В результате знаменатели первой и второй дроби становятся одинаковыми и равными M. Допустимо заменить минимальное единое кратное при решении несложных примеров на какое-либо другое общее кратное. К примеру, таким кратным может стать произведение знаменателей.
Сравнение
С целью сравнения пары обыкновенных дробей необходимо выполнить операцию приведения их к единому знаменателю. Далее следует сравнить числители дробей, которые в итоге получились. Если числитель больше, то и дробь считается больше.
Далее необходимо привести дроби к знаменателю, равному 20.
3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20
Сложение и вычитание
Прибавить одну обыкновенную дробь к другой обыкновенной дроби можно. Но перед этим требуется выполнить приведение этих дробей к единому знаменателю. После такой операции находят сумму числителей, а знаменатели оставляют без изменений.
1 2 + 1 3 = 3 6 + 2 6 = 5 6
НОК знаменателей для 2 и 3 составляет 6. Следует привести дробь 1 2 к знаменателю 6. Чтобы получить такой результат, необходимо выполнить умножение числителя и знаменателя на 3. В результате получим:
Затем требуется привести дробь 1 3 к аналогичному знаменателю. При этом нужно выполнить умножение числителя и знаменателя 2. Получим в итоге:
Похожий алгоритм действий предусмотрен для вычитания дробей. Перед тем, как посчитать их разность, следует привести дроби к общему знаменателю. Далее вычитают числители. Знаменатель при этом не меняется.
1 2 — 1 4 = 2 4 — 1 4 = 1 4
НОК знаменателей 2 и 4 составляет 4. Выполняя приведение дроби 1 2 к знаменателю 4, необходимо найти произведение числителя, знаменателя и числа 2. В результате получим:
Умножение и деление
При умножении двух обыкновенных дробей требуется выполнить умножение их числителей и знаменателей:
Рассмотрим частный случай умножения дроби на натуральное число. Для этого следует найти произведение числителя и данного числа, а знаменатель остается без изменений.
Когда числитель и знаменатель полученной дроби не являются взаимно простыми, необходимо такую дробь сократить:
5 8 · 2 5 = 10 40 = 1 4
В процессе деления одной обыкновенной дроби на другую требуется выполнить умножение первой дроби на дробь, которая является обратной для второй:
Возведение в степень и извлечение корня
Дроби можно возводить в степень. При этом необходимо выполнить арифметическое действие возведения в степень отдельно со знаменателем и числителем этой дроби:
2 3 3 = 2 3 3 3 = 8 27
Из дробей можно извлекать корень. Для того чтобы справиться с подобной задачей, необходимо извлечь заданный корень отдельно из числителя и знаменателя:
Перевод других видов дробей в правильную форму
Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, либо для выполнения обратного действия, требуется соблюдать определенный порядок. Прямой перевод невозможен. Результатом подобной операции будет являться преобразованная запись, которая содержит в себе целую, а также дробную части. Последовательность действий:
С помощью достаточно простого метода удобно переводить числа из одной формы в какую-либо другую. Данный алгоритм можно записать в виде математического уравнения:
n a ÷ b = ( ( n × b ) + a ) ÷ b
Смешанное отношение представляет собой сумму из целого и части. Для того чтобы понять, как преобразовать дроби, следует выполнить сложение в качестве арифметического действия. В процессе первое слагаемое нужно записать в виде неправильной дроби путем деления целого на 1. Далее целесообразно воспользоваться правилом сложения дробей. Выполняется поиск общего знаменателя, дополнительных множителей, сложение в числителе. Формула имеет такой вид:
n a ÷ b = n ÷ 1 + a ÷ b = ( ( n × b ) + a ) ÷ b
Неправильную дробь превратить в обычную можно с помощью перевода ее в смешанную. В процессе выражение записывают в виде суммы натурального числа и правильной дроби:
Более простой способ преобразования дробей заключается в представлении делимого, как суммы дробей. При этом важно, чтобы при делении одной из них не было остатка:
m ÷ n = ( k + c ) ÷ n = k ÷ n + c ÷ n
Примеры задач с решением
В учебнике 100 листов. Ученик прочел ½ от общего количества страниц. Необходимо определить число листов, которые прочитал ученик.
Ответ: ученик прочитал 50 листов в учебнике.
Имеется емкость из стекла, наполненная водой, весом 550 гр. Половину воды вылили, а масса оставшейся составила 300 гр. Требуется рассчитать начальный вес воды и массу пустой емкости.
Значение массы воды, которую вылили:
250 гр. является половиной от всей воды, тогда вся вода весит:
Ответ: сначала в емкости было 500 гр. воды, массы емкости составляет 50 гр.
В кассе хранится сумма в 450 рублей. Необходимо определить количество денег в кассе после изъятия 1/3 от всей суммы.
Доли, обыкновенные дроби: определения, обозначения, примеры, действия с дробями
Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.
Доли целого
Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.
Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.
Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.
Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.
Половина – одна вторая доля предмета.
Треть – одна третья доля предмета.
Четверть – одна четвертая доля предмета.
Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.
Обыкновенные дроби, определение и примеры
Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.
Числитель и знаменатель
Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).
Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 7 54 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Черта дроби как знак деления
Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.
При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 7 10 : каждому человеку достанется семь десятых долей.
Равные и неравные обыкновенные дроби
Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.
В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.
Дробные числа
Дроби на координатном луче
Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.
Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.
Правильные и неправильные дроби, определения, примеры
В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.
Обыкновенные дроби
Доля целого
Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:
Понятие дроби
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
Виды дробей:
Какие еще бывают дроби:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.
Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.
Как устроена обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.
Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.
Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.
Черта между числителем и знаменателем — символ деления.
Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.
Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.
Как устроена десятичная дробь
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства дробей
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:
где a, b, k — натуральные числа.
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!
Действия с дробями
С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.
Сравнение дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.
Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
Сокращение дробей
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.
Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
В этом примере делим обе части дроби на двойку.
Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).
Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
Полученные числа запишем справа сверху над числителем.
Ход решения одной строкой:
Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.
Чтобы умножить два смешанных числа, надо:
Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:
Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.
Для деления смешанных чисел необходимо: