Что такое приближенное число

Что такое приближенное число

Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними

1.1 Виды погрешностей при приближенных вычислениях

Точное решение некоторых математических задач невозможно получить классическими методами, или это решение может быть получено в таком сложном виде, что неприемлемо для дальнейшего практического использования. Кроме того, точное решение задачи может потребовать очень большого количества (от нескольких десятков до многих миллиардов) действий. В таких случаях прибегают к приближенным и численным методам решения.

Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.

Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.

Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т.п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл — суммой и т.д. Кроме того, вычислительная машина обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.

Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.

Причинами появления погрешностей являются:

Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой — она не зависит от математика.

Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.

Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.

Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

1.2 Приближенные числа

Определение 1.2. Относительной погрешностью приближенного числа a * называется величина:

Любое число d ( a * ) , удовлетворяющее неравенству

Источник

Приближённые вычисления в математике

Содержание:

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде , число в виде Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись

3. Если

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10 3 — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью (омега) приближённости х величины называется отношением абсолютной погрешности этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть

Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:

Число называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле:

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа

Решение: Имеем

Следовательно

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что .

Решение:

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Правильное округление чисел

Приближенные значения

В обычной жизни мы часто встречаем два вида чисел: точные и приближенные. И если точные до сих пор были понятны, то с приближенными предстоит познакомиться в 5 классе.

У квадрата четыре стороны — число 4 невозможно оспорить, оно точное. У каждого окна есть своя ширина, и его параметры однозначно точные. А вот арбуз весит примерно 5 кг, и никакие весы не покажут абсолютно точный вес. И градусник показывает температуру с небольшой погрешностью. Поэтому вместо точных значений величин, иногда можно использовать приближенные значения.

Весы показывают, что арбуз весит 5,160 кг. Можно сказать, что арбуз весит примерно 5 кг. Это приближенное значение с недостатком.

Часы показывают время: два часа дня и пятьдесят пять минут. В разговоре про время можно сказать: «почти три» или «время около трех». Это значение времени с избытком.

Если длина платья 1м 30 см, то 1 м — это приближенное значение длины с недостатком, а 1,5 м — это приближенное значение длины с избытком.

Приближенное значение — число, которое получилось после округления.

Для записи результата округления используют знак «приблизительно равно» — ≈.

Округлить можно любое число — для всех чисел работают одни и те же правила.

Округлить число значит сократить его значение до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. Это нужно в случаях, когда полная точность не нужна или невозможна.

Округление натуральных чисел

Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и так далее.

Особенности натуральных чисел:

Округление натурального числа — это замена его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями.

Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

Правила округления чисел:

Давайте рассмотрим, как округлить число 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.

После подчеркнутой цифры стоит 8, значит к цифре разряда тысяч (в данном случае 7) прибавим 1. На месте цифр, отделенных вертикальной чертой, ставим нули.

Теперь округлим 756 485 до сотен:

Округлим число 123 до десятков: 123 ≈ 120.

Округлим число 3581 до сотен: 3581 ≈ 3580.

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу — в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в соседнем старшем разряде увеличивается на 1.

Иногда уместно записать округленный результат с сокращениями «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард). Вот так:

Округление десятичных дробей

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Такую дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И у каждой из этих частей есть свои разряды:

Разряды целой части:

Разряды дробной части:

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа. У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие.

Рассмотрим десятичную дробь 7396,1248. Здесь целая часть — 7396, а дробная — 1248. При этом у каждой из них есть свои разряды, которые важно не перепутать:

Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

То натуральное число, к которому дробь ближе, называют округленным значением числа.

Цифра, которая записана в данном разряде:

Как округлить до целых. Заменить десятичную дробь ближайшим к ней целым числом. Ближайшим будет наименьшее расстояние. При этом если расстояние до приближенного значения числа с недостатком и расстояние до приближенного значения числа с избытком равны, то округляют в большую сторону.

Как округлить до десятых. Оставить одну цифру после запятой. Изи!

Как округлить до сотых. Оставить две цифры после запятой.

Все цифры, которые стоят справа от данного разряда, заменяются нулями. Если эти нули стоят в дробной части числа, то их можно не писать.

Пример 1.

256,43 ≈ 256,4 — округление до десятых;

4,578 ≈ 4,58 — округление до сотых;

17,935 ≈ 18 — округление до целых.

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в предыдущем разряде увеличивается на 1.

Пример 2.

79,7 ≈ 80 — округление до десятков;

0,099 ≈ 0,10 — округление до сотых.

Математическое округление и его правила быстро запомнится, если не лениться решать примеры и задачки из учебников 5 класса. А после можно пользоваться онлайн калькулятором, чтобы выиграть время и решать быстрее всех.

Статья «Больше, меньше или равно» может оказаться для тебя полезной!

Источник

Приближенные числа

Пусть X – некоторая величина, истинное значение которой известно или неизвестно и равно x*. Число x, которое можно принять за значение величины X, мы будем называть ее приближенным значением или просто приближенным числом. Число x называют приближенным значением по недостатку, если оно меньше истинного значения (x x* ). Например, число 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 2,72 – приближенным значением числа е (основание натурального логарифма) по избытку.

Абсолютная погрешность приближенного числа есть абсолютная величина разности между истинным значением величины и данным ее приближенным значением.

Поскольку истинное значение величины обычно остается неизвестным, неизвестной остается также и абсолютная погрешность. Вместо нее приходится рассматривать оценку абсолютной погрешности, так называемою предельную абсолютную погрешность, которая означает число, не меньшее абсолютной погрешности (далее, в том случае, если это не принципиально, будем под абсолютной погрешностью понимать именно предельную абсолютную погрешность).

Абсолютная погрешность приближенного числа не в полной мере характеризует его точность. Действительно, погрешность в 0,1 г слишком велика при взвешивании реактивов для проведения микро-синтеза, допустима при взвешивании 100 г колбасы, и не может быть замечена при измерении массы, например, железнодорожного вагона. Более информативным показателем точности приближенного числа является его относительная погрешность.

Относительной погрешностью δx приближенного значения величины X называют абсолютную величину отношения его абсолютной погрешности к истинному значению этой величины. Часто эту относительную погрешность выражают в процентах. C учетом положительности абсолютной погрешности можно записать:

Ввиду того, что фактически вместо абсолютной погрешности приходится рассматривать предельную, относительную погрешность также заменяют предельной относительной погрешностью, которая означает число, не меньшее относительной погрешности. Более того, при отыскании предельной относительной погрешности приходится заменять неизвестное истинное значение величины x* приближенным – x. Последняя замена обычно не отражается на величине относительной погрешности ввиду близости этих значений и малости абсолютной погрешности.

Например, для приближенного значения π = 3,14 предельная абсолютная погрешность составляет 0,0016, а относительная – 0,00051 или 0,051%. Выражение относительной погрешности в процентах иногда называют процентной погрешностью.

Правила записи приближенных чисел

Любое приближенное число характеризуется своим значением и погрешностью. Поэтому при записи приближенных чисел, помимо их значений, обязательно, в явном или неявном виде, должна быть указана соответствующая погрешность.

Значащая цифра в записи приближенного числа верна (в узком смысле), если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой (или, что то же самое, если абсолютная погрешность числа меньше или равна половине единицы разряда, соответствующего этой цифре).

Значащая цифра в записи приближенного числа верна в широком смысле, если абсолютная погрешность числа меньше или равна единице разряда, соответствующего этой цифре.

Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными. Таким образом, очевидно, что зная абсолютную погрешность числа можно все его цифры разделить на верные (стоящие слева) и сомнительные (стоящие справа) от определенной границы. Поэтому проверку значащих цифр на верность начинаем с самой левой, продвигаясь последовательно по значащим цифрам слева направо, до обнаружения первой сомнительной. Все числа справа от первой сомнительной так же будут сомнительными.

Алгоритм определения верных в узком смысле цифр можно проиллюстрировать с помощью таблицы:

В программе Microsoft Excel стандартная форма записи соответствует экспоненциальному формату ячейки. Число 275000 при этом форматируется как 2,75E+05 (число десятичных знаков в мантиссе можно менять, в примере оно равно двум).

При явной форме записи вместе со значением приближенного числа указывается и значение погрешности (пределеной абсолютной или предельной относительной) в следующем виде:

х ± Δx или (1 ± δх) • х

При этом следуют правилам:

Ряд примеров итоговой формы явной записи приближенных чисел приведены в таблице ниже.

При проведении вычислений рекомендуется сохранять максимальное число значащих цифр для всех промежуточных результатов. Округляется только конечный результат в соответствии с оцененной предельной абсолютной погрешностью.

Абсолютная и относительная погрешность вычисления
функции одной переменной

Важной проблемой при проведении вычислений с использованием приближенных чисел является вопрос о влиянии погрешности исходных данных на погрешность полученного результата. Установим основные закономерности распространения абсолютной и относительной погрешности. Для начала рассмотрим случай вычисления функции одного аргумента, который является приближенным числом. Решение этих задач дается следующей основной теоремой.

Теорема. Предельная абсолютная погрешность вычисления функции равна произведению абсолютной величины ее производной на предельную абсолютную погрешность аргумента.

Доказательство. Пусть число x является приближенным значением величины X с абсолютной погрешностью Δx.

, или можно записать , если считать, что величина Δx является знаковой, то есть, может быть как положительным, так и отрицательным числом, потому что x может быть приближением как по недостатку, так и по избытку. Обозначим абсолютную погрешность функции через Δy

Ввиду малости Δx мы можем заменить приращение функции ее дифференциалом. Тогда получим

, откуда

, что и требовалось доказать.

Рассмотрим относительную погрешность вычисления функции одной переменной. Обозначим предельную относительную погрешность аргумента через δx, а функции – δy, тогда, учитывая, что , получим

Так как по правилам дифференцирования сложной функции

, то полученное выражение можно записать так:

В таком виде выражение удобно для приложения к легко логарифмируемым функциям.

Рассмотрим, например, погрешность вычисления степенной функции:

, т. е. предельная относительная погрешность степени равна предельной относительной погрешности основания, умноженной на абсолютную величину показателя степени.

Абсолютная и относительная погрешность вычисления функции
нескольких переменных

Полученные результаты легко обобщаются на случай функций нескольких аргументов

Абсолютная погрешность результата вычисления функции нескольких приближенных чисел равна сумме произведений модуля частной производной функции на абсолютную погрешность приближенного числа.

Для относительной погрешности вычисления функции нескольких приближенных чисел получим выражение, так же аналогичное случаю функции одной переменной:

Абсолютная и относительная погрешность вычисления суммы и разности приближенных чисел

Рассмотрим несколько примеров функций частного вида:

, таким образом,

Предельная абсолютная погрешность как суммы, так и разности нескольких приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

При определении относительной погрешности суммы и разности результаты будут различны.

Для суммы n положительных чисел относительная погрешность будет равна

Как видно, величина относительной погрешности в этом случае зависит не только от погрешностей слагаемых, но и от величины приближенных чисел. Можно воспользоваться следующими приемом для оценки границ относительной погрешности суммы.

Выберем из всех относительных погрешностей наибольшую

и тогда можно записать

Таким образом, предельная относительная погрешность суммы положительных чисел не превосходит максимальной относительной погрешности слагаемых, т.е. является оценкой сверху относительной погрешности суммы приближенных чисел.

Аналогично, если выбрать наименьшую из относительных погрешностей слагаемых, можно показать, что она будет являться оценкой снизу относительной погрешности суммы приближенных чисел.

Рассмотрим далее относительную погрешность вычисления разности двух приближенных чисел.

Как видно, из полученного результата, относительная погрешность разности может очень существенно (в пределе неограниченно) возрастать при вычитании двух близких по значению чисел

Рассмотрим вычисление массы образца как разности масс сосуда с образцом (x₁) и пустого сосуда (x₂)

Относительные погрешности обоих масс примерно одинаковы и равны 0,04%.

Найдем массу навески как разность двух чисел

Абсолютная погрешность Таким образом, относительная погрешность результата составит

, что в 250 (. ) раз выше относительной погрешности исходных чисел.

Абсолютная и относительная погрешность вычисления
произведения и частного приближенных чисел

Рассмотрим произведение нескольких приближенных чисел.

, для всех i имеем ,

Поэтому, окончательно, получим:

То есть, предельная относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Для частного двух чисел вычисления будут аналогичными.

Находим натуральный логарифм и его частные производные

,

,

следовательно, предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Пример. При определении силы сопротивления квадратной пластинки, поставленной перпендикулярно к воздушному потоку, пользуются формулой

где Ρ — сила сопротивления, S — площадь пластинки, ν — скорость воздушного потока и k — коэффициент про­порциональности. Зная, что величина k определена с относительной погрешностью 5%, S и v — с относительными погрешностями 1%, определим относительную погрешность величины Р.

Согласно выражению для предельной относительной погрешности произведения имеем

, откуда

Итак, для оценки погрешности мы получили следующие простые правила:

При сложении и вычитании абсолютные погрешности складываются

При умножении и делении относительные погрешности складываются;

При возведении в степень относительные погрешности умножаются на абсолютную величину показателя степени.

При отыскании значения функции абсолютная погрешность функции равна произведению абсолютной погрешности аргумента на абсолютную величину производной

В заключение отметим, что при вычислении значений функции абсолютная погрешность может существенным образом зависеть от того, каким образом записана расчетная формула и какова последовательность операций при вычислении этой формулы. Последовательность расчетов надо стараться преобразовывать к такому виду, чтобы в них не было вычитания близких величин; последнее может привести к большой потере точности и большим относительным ошибкам.

Источник

• ← Что такое приближенное значение
• Что такое приблуда жаргон →