Что является аксиомами стереометрии

Аксиомы стереометрии

Аксиома стереометрии — это основополагающее
утверждение в стереометрии, не требующее доказательств.

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий
свойства и признаки фигур в пространстве.

В стереометрии существует три основные аксиомы,
из которых следует остальные не менее важные утверждения.

Свойства точек, прямых а также плоскостей выражены в аксиомах.

Первая аксиома стереометрии

Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой проходит плоскость причем только одна.

Плоскость — неограниченная,
ровная поверхность.

Плоскость обозначают тремя буквами
греческого алфавита: α (альфа), β (бета), γ (гамма).

На рисунке 1 изображена плоскость альфа.

Вторая аксиома стереометрии

Если две точки прямой лежат в плоскости,
то и все точки данной прямой лежат в этой плоскости.

Смотрим на рисунок 2 — точка A и точка B прямой a лежат в плоскости β, значит
все точки данной прямой лежат в плоскости β.

Третья аксиома стереометрии

Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, по которой они пересекаются.

Плоскость γ пересекается с плоскостью α (рисунок 3).

Источник

Основные понятия и аксиомы стереометрии

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Основные понятия и аксиомы стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве : точка, прямая, плоскость.
Плоскость.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит

через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко

это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Источник

Геометрия

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Предмет стереометрии

В 7-9 классах мы изучали только те геометрические фигуры, которые полностью лежат в одной плоскости. Грубо говоря, все построения, которые мы делали на уроках, можно было точно выполнить на листе бумаги. Тем самым мы могли проверить с помощью построения, правильно ли решена та или иная задача. На самом деле мы изучали только один раздел геометрии – планиметрию, которая как раз рассматривает построения на плоскости и свойства плоских фигур.

Однако в реальности мир значительно сложнее. Наше пространство считается трехмерным, и большинство реальных объектов обладают объемом. Свойства фигур в пространстве изучает специальный раздел геометрии – стереометрия.

Сразу заметим, что при изучении стереометрии используются все те знания, которые были получены в рамках планиметрии.

Основные понятия стереометрии

Стереометрия оперирует всеми теми понятиями, которые нам известны из планиметрии – точка, прямая, окружность, треугольник и т. д. Но помимо них добавляются и иные термины.

Важнейшее из основных понятий стереометрии – это плоскость. Иногда в литературе применяется сокращение плос-ть. Строгого определения плоскости в рамках геометрии не дают, это понятие считается исходным, как понятия точки или прямой в планиметрии. Лишь некоторые ее свойства косвенно указываются с помощью аксиом. В реальной жизни примерами плоскости являются поверхность стола или лист бумаги. Однако, в отличие от них, плоскость не имеет границы, она бесконечна (как и прямая). Плоскость не имеет кривизны, поэтому, например, поверхность шара плоскостью не является. При изображении плоскости на чертежах ее обычно показывают в виде параллелограмма, при этом традиционно их обозначают маленькими буквами греческого алфавита, которые в планиметрии используются для обозначения углов (α, β, γ и т. п. ):

Если на плоскости проведена прямая, то она разобьет ее на две фигуры, которые именуются полуплоскостями:

Объемные фигуры – это часть пространства, которая отделена от остального пространства замкнутой поверхностью, то есть границей. Простейший пример объемной фигуры – это куб:

Поверхность куба – это 6 равных квадратов, каждый из них именуется гранью куба. Стороны этих квадратов – это уже ребра куба, а вершины квадратов одновременно являются и вершинами кубов.

Обратите внимание на изображение куба. Здесь он показан немного сбоку, в результате чего изображение становится объемным. Однако при этом мы вынуждены искажать некоторые размеры и углы на чертеже. Например, верхняя грань должна быть квадратом, но на плоском рисунке углы у этой грани прямыми не являются. При необходимости мы просто ставим специальный значок перпендикулярности между отрезками, который использовали и в планиметрии:

Важно понимать, что из-за искажения размеров у объемных фигур на плоских чертежах мы НЕ можем проверить решение некоторых стереометрических задач с помощью точных построений. Однако есть специальные компьютерные программы 3-D черчения, в которых такие построения уже можно выполнить. Также заметим, что на рисунке видны не все 6 граней куба, а только 3 из них. Если возникает необходимость показать невидимые на чертеже линии, то использует штриховые линии:

Все грани куба – это многоугольники. Если у фигуры вся ее поверхность состоит лишь из многоугольников, то она именуется многогранником. Таким образом, куб является примером многогранника. Другими примерами многогранников могут служить параллелепипед, пирамида, усеченная пирамида:

Более подробно различные виды многогранников будут рассматриваться позднее, тогда же им будут даны и их определения.

Если у объемной фигуры хоть одна поверхность не является многоугольником, то она не может считаться многогранником. Наиболее простыми и часто встречающимися такими фигурами являются шар, цилиндр, конус. Обратите внимание, что у них могут отсутствовать ребра и вершины, которые обязательно есть у многогранника:

Следует различать саму объемную фигуру и ее границу. Так, шар – это объемная фигура, а поверхность шара – это сфера.

Аксиомы стереометрии

Стереометрия, как и планиметрия, построена на нескольких базовых утверждениях, которые считаются абсолютно очевидными и не требуют доказательств. Их называют аксиомами. В свою очередь на основе аксиом доказываются простейшие теоремы стереометрии, которые далее используются для доказательства других, более сложных теорем и т. д. Грубо говоря, аксиомы – это исходные, первичные теоремы, принимаемые без доказательств.

Все вместе аксиомы образуют так называемую систему аксиом, или аксиоматику. Система аксиом должна быть непротиворечивой, то есть с ее помощью нельзя одновременно доказать и истинность, и ложность одной и той же теоремы. Также она должна быть ещё и независимой. Это значит, что ни одна из аксиом не может быть доказана с помощью других аксиом (в противном случае эту аксиому можно просто исключить из списка аксиом и считать ее теоремой). Наконец, аксиоматика должна быть полной, то есть с ее помощью любую теорему можно либо доказать, либо опровергнуть, а недоказуемых теорем быть не должно.

На самом деле вопрос о выборе системе аксиом в любой математической дисциплине, в том числе и в геометрии, является достаточно сложным. Первую аксиоматику сформулировал ещё Евклид, но в дальнейшем она была признана не вполне удачной. На сегодняшний день наибольшее распространение получила система аксиом Гильберта, которая была сформулирована только в 1899 г. Однако помимо неё существует ещё несколько аксиоматик: Погорелова, Колмогорова, Вейля, Биргофа и. т. д.

Прежде, чем формулировать сами аксиомы, ещё раз уточним, что есть так называемые неопределяемые понятия стереометрии. В аксиоматике Гильберта это плоскость, точка и прямая. Их свойства как раз и описываются аксиомами. Остальным понятиям даются определения, многие из них были сформулированы в 7-9 классах.

Всего в аксиоматике Гильберта есть 20 аксиом. Из них 15 относятся к планиметрии, и только 5 – к стереометрии. Сначала сформулируем две аксиомы о трех точках:

Здесь приведены два различных утверждения, поэтому их принято разделять на две отличных аксиомы. Для простоты запоминания их можно объединить в одно утверждение:

Другими словами, любые три точки находятся в одной плоскости. По этой причине для обозначения плос-тей иногда просто указывают три ее точки (важно, что они не должны принадлежать одной прямой).

Иногда используются утверждения, что три точки однозначно задают плос-ть или однозначно ее определяют.

Случай, когда три точки находятся на одной прямой, рассматривается отдельно и чуть ниже.

Далее сформулируем аксиому о четырех точках:

Сформулированные три аксиомы стереометрии легко подтверждаются примером из жизни. Возьмем стул с тремя ножками. Мы можем твердо установить его на пол, даже если длина ножек не одинакова. Однако, если у стула 4 ножки, то иногда (когда ножки стула имеют разную длину), стул начинает «шататься». Тремя точками он будет касаться пола, а четвертая опора будет висеть в воздухе. Это происходит из-за того, что 4 конца ножек могут находиться в разных плоскостях. У стула с тремя ножками такая ситуация невозможна, так как его концы ножек в любом случае окажутся в одной плос-ти.

Следующая аксиома отражает связь плос-ти и прямой:

Эту аксиому также подтверждает жизненный опыт. Если отметить на ровном столе любые две точки и приложить к ним ровную линейку, то контакт между линейкой и столом будет плотным, то есть без зазоров. Если же какие-то зазоры есть, то это свидетельствует лишь о неровности стола либо линейки.

Напомним, что в математике есть специальный символ «∈», который показывает, что один объект является частью другого, то есть, принадлежит ему. Так, если прямая АВ лежит в плос-ти α, то этот факт можно показать записью АВ∈α.

Возможен случай, когда прямая имеет с плос-тью единственную общую точку. В таких случаях принято говорить, что прямая и плос-ть пересекаются:

Последняя, пятая аксиома говорит о пересечении двух плос-тей.

Действительно, сложно представить себе ситуацию, когда две плос-ти коснулись друг друга только в одной точке. На основе сформулированных аксиом легко доказать одно из простейших и вместе с тем важнейших утверждений стереометрии.

Действительно, пусть у двух плос-тей, α и β, есть общая точка А. Тогда, согласно аксиоме 5, у них должна быть и другая общая точка, которую мы обозначим как В:

Рассмотрим прямую АВ. По аксиоме 4 она полностью принадлежит плос-ти α, ведь α принадлежат две ее точки. По той же причине можно утверждать, что АВ также принадлежит и β. Таким образом, АВ – общая прямая для α и β.

Но нам надо также показать, что никакая другая точка в пространстве не является общей для α и β. Действительно, пусть существует ещё и некоторая точка С, которая НЕ лежит на АВ, но является общей для α и β. Это означало бы, что через А, В и С проведены две различные плос-ти (α и β). Это противоречит аксиоме 2, поэтому такая точка С не существует, ч. т. д.

Вернемся к аксиомам 1 и 2. В них говорилось о 3 точках, причем отдельно оговаривалось, что они не должны принадлежать одной прямой. Теперь нам ясна причина этой оговорки. Только что доказанная теорема показывает, что через прямую (а значит, и через любые 3 ее точки) может проходить не одна, а как минимум 2 плос-ти. В дальнейшем мы покажем, что на самом деле через прямую можно провести бесконечное число плос-тей.

Простейшие следствия из аксиом стереометрии

На основе аксиом можно доказать несколько простых теорем стереометрии.

Доказательство. Возьмем произвольную прямую m и точку C, которая НЕ принадлежит m. Далее отметим на m две любые точки и обозначим их как А и В:

По аксиоме 1 через А, В, С можно провести некоторую плос-ть α. По аксиоме 4 прямая m будет принадлежать α. Тем самым мы показали, что существует плос-ть, проходящая через m и C. Единственность этой плос-ти вытекает уже из аксиомы 2, ведь через А, В и С нельзя провести две различных плос-ти, ч. т. д.

Иногда доказанный факт формулируют иначе: прямая и точка, не находящаяся на прямой, однозначно определяют проходящую через них плос-ть. То есть, указав прямую и точку, можно одновременно указать на ту плос-ть, которая задается ими.

Переходим к следующей теореме.

Отметим на произвольной прямой m точки А и В. Далее выберем ещё две точки в пространстве C и D, причем такие, что А, В, С и D не находятся в одной плос-ти. Тогда у нас есть плос-ти АВС и АВD, которые пересекаются по прямой АВ:

Теперь соединим С и D прямой. Прямая CD состоит из бесконечного количества точек. Через каждую из них можно провести единственную плос-ть, которая будет проходить через АВ. Так как точек бесконечно много, то и плос-тей будет бесконечно много. Осталось лишь показать, что никакие две таких плос-ти не будут совпадать, то есть все они различны.

Действительно, пусть две таких плос-ти совпадают, то есть на самом деле являются одной плос-тью. Тогда получается, что эта единая плоскость проходит через две точки прямой СD. Тогда, по аксиоме 4, вся прямая СD принадлежит этой плос-ти, в том числе и сами точки С и D. Но плос-ть проходит также через А и В. То есть получится, что А, В, С и D входят в состав одной плос-ти, а это не так. Это противоречие означает, что на самом деле все плоскости, проходящие через разные точки прямой CD, будут различны, ч. т. д.

Рассмотрим ещё одну теорему:

Пусть пересекаются прямые m и n. Обозначим точку их пересечения как А. Также выберем на m некоторую точку В, а на n – точку C. Мы можем построить плос-ть α через точки А, В и C, и она будет единственной. Так как и А, и В принадлежат α, то и вся прямая m ей принадлежит (аксиома 4). Аналогично и прямая n находится на плос-ти α. То есть α как раз и является плос-тью, о которой говорится в теореме. Никакая другая плос-ть не будет содержать обе прямые m и n, ведь в противном случае она проходила бы через точки А, В и С, то есть совпадала бы с α.

Эта теорема также говорит о том, что две пересекающиеся прямые однозначно определяют проходящую через них плос-ть.

Задачи на использование аксиом

Простейшие задачи стереометрии по большей части не требуют проведения расчетов и использования формул, однако приходится использовать строгие логические умозаключения. Чаще всего они сводятся к доказательству довольно очевидных утверждений.

Примечание. Попытайтесь перед просмотром решения задач самостоятельно их решить.

Задание. Точки M, N, Р, К не лежат на одной прямой. Могут ли прямые MN и РК пересекаться?

Решение. Если бы MN и РК пересекались бы, то через эти прямые можно было бы провести плос-ть. Эта плоскость содержала бы все точки прямых, в том числе M, N, Р и К. Но эти точки по условию не могут принадлежать одной прямой. Значит, MN и РК не пересекаются.

Задание. Есть 4 точки, из которых три принадлежат одной прямой. Могут ли эти точки не лежать на единой плоскости?

Решение. Пусть точки Р, К, М находятся на единой прямой РК, а Н – ещё одна точка. Если Н также лежит на РК, то мы можем построить бесконечно много плос-тей, проходящих через РК, и каждая из них будет содержать все эти четыре точки. Если же Н не принадлежит РК, то всё равно через РК и Н можно провести плос-ть, но на этот раз единственную. И эта плос-ть также будет содержать в точки Р, К, М и Н. В любом случае получается, что эти точки находятся на одной плос-ти.

Задание. Через пересекающиеся прямые m и n проведена плоскость α. Верно ли, что любая прямая h, пересекающая m и n в различных точках, будет также принадлежать α?

Решение. Пусть прямая h пересекает m и n в точках В и C соответственно. Раз эти точки принадлежат прямым m и n, то они принадлежат и плос-ти α. Получается, что две точки прямой h (В и С) находятся на α. Тогда, по аксиоме 4, и вся прямая h также находится на α. То есть утверждение, сформулированное в условии задачи, верно.

Задание. Три прямые проходят через общую точку M. Верно ли, что они находятся в одной плоскости?

Решение. Неверно, они могут как находиться, так и не находиться в одной плоскости. Оба случая проиллюстрируем примерами. Пусть есть точки М, Р, К и Н, причем они одной плос-ти не принадлежат. Тогда прямые МР, МК, МН пересекаются в М, но находятся в одной плос-ти. Если же мы выберем точки М, Р, К, Н так, чтобы они находились на единой плос-ти, то прямые МР, МК, МН пересекутся в М и будут принадлежать одной плос-ти.

Задание. Плос-ти α и β не пересекаются. Прямая m пересекает α. Докажите, что она также пересекает и β.

Решение. Сразу скажем, что эта задача сложнее предыдущих, и ее решение неочевидно. Дадим подсказку: при решении стереометрических задач можно использовать и аксиомы планиметрии, в том числе и знаменитую аксиому о параллельных прямых.

Теперь приведем решение. Пусть m пересекает α в точке А. Отметим на β произвольную точку С. Теперь мы можем провести ещё одну плос-ть γ через прямую m и точку C:

Плос-ти γ и β имеют общую точку С. Значит, они пересекаются по некоторой прямой k. У плос-тей γ и α есть общая точка А, поэтому и они пересекаются по некоторой прямой n.

Теперь проанализируем расположение прямых n и k. Они не могут пересекаться, ведь тогда бы точка их пересечения была общей для α и β, а они не пересекаются. Также n и k лежат в одной плос-ти. Тогда n и k по определению параллельны.

Напомним, что по аксиоме параллельности через точку на плос-ти может быть проведена лишь одна прямая, параллельная заданной прямой. В частности, через точку А мы можем провести только одну прямую, параллельную k. Такая прямая уже проведена – это n. Тогда вторая прямая, проходящая через А (это как раз m) либо совпадает с n, либо пересекает k. Совпадать с n она не может, ведь в этом случае m будет полностью принадлежать плос-ти α, а она по условию лишь пересекает ее. Значит, m должна пересечь k в некоторой точке В. Эта точка В принадлежит прямой k, а значит, находится и на плос-ти β. Тем самым мы показали, что m и β пересекаются в точке В.

Для полноты доказательства надо ещё показать, что m имеет ровно одну общую точку с В. Действительно, если бы была ещё одна общая точка, то по аксиоме 4 вся прямая m находилась бы на β. Тогда и точка А оказалась бы на β, то есть она стала бы общей точкой α и β, но таких общих точек по условию не существует, ч. т. д.

Задание. Четыре точки в пространстве выбраны так, что никакая прямая, проходящая через две из этих точек не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Могут ли эти четыре точки находиться на одной плос-ти?

Решение. Предположим, что есть точки М, Р, К и Н, удовлетворяющие условию задачи и находящиеся на одной плос-ти. Ясно, что никакие три из этих точек не принадлежат одной прямой. Тогда мы можем построить четырехугольник МРКН.

Прямые МР и КН по условию не должны пересекаться, то есть они параллельны. Аналогично параллельны МН и РК. Значит, МРКН – параллелограмм по его определению. Но в параллелограмме пересекаются диагонали МК и РН, а по условию и эти прямые не должны пересекаться. Получили противоречие. Из него вытекает, что М, Р, К и Н НЕ могут находиться на одной плоскости.

В ходе сегодняшнего урока мы познакомились с понятием стереометрии. Именно этот раздел геометрии мы будем изучать в течение 10 и 11 класса. Мы узнали о пяти основных стереометрических аксиомах следствиях из них. Использование аксиом в учебном процессе не только позволяет понять геометрию, но и развивает навыки строгого логического мышления, так необходимые в современном мире.

Источник

Содержание:

Стереометрия:

Что такое стереометрия

Схематически это выглядит так:

Фигуры, которые изучаются в стереометрии, называются геометрическими или пространственными. На рисунке 2.1 изображены некоторые пространственные фигуры: пирамида, параллелепипед, конус, цилиндр.

Напомним структуру логического построения планиметрии:

В стереометрии рассматривают более одной плоскости. Пространство состоит из бесконечного количества плоскостей, прямых и точек. Поэтому все аксиомы планиметрии имеют место и в стереометрии. Однако при этом некоторые из них приобретают другой смысл. Так, аксиома I, в планиметрии утверждает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком понимании эта аксиома применялась в процессе построения геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой, в пространстве. Из нее непосредственно не вытекает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Это требует уже специального доказательства.

Аксиомы стереометрии

Формулирование некоторых аксиом планиметрии как аксиом стереометрии требует уточнения. Это касается, например, аксиом .

Приведем эти уточнения.

Понятно, что с увеличением количества основных фигур появляются новые аксиомы об их свойствах:

Аксиома 1 указывает на то, что любая плоскость все пространство не исчерпывает. Существуют точки пространства, которые ей не принадлежат.

Аксиома 2 утверждает, что две прямые, пересекающиеся в пространстве, всегда определяют одну плоскость. Из аксиомы 3 следует, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют множество общих точек, образующих прямую, которая содержит эту точку.

Итак, используя рисунок 2.3, аксиомы можно записать:

Плоскости изображают по-разному. На рисунке 2.4 показаны некоторые примеры различных изображений плоскостей.

Далее в стереометрии мы будем использовать все определяемые понятия планиметрии, дополнять их новыми, собственно стереометрическими, формулировать и доказывать свойства пространственных фигур.
Как видим, логическое построение планиметрии и стереометрии одинаково, отличаются они лишь некоторым содержанием основных понятий, аксиом, определений, теорем.

Пример №1

Точки не лежат на одной плоскости. Докажите, что прямые и не пересекаются.

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые и пересекаются (рис. 2.5).

Тогда, по аксиоме II₃, через них можно провести плоскость, которой принадлежат эти прямые. Это означает, что точки также принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно. Прямые и не пересекаются, что и требовалось доказать.
Заметим, что школьный курс геометрии посвящен евклидовой геометрии. Несмотря на то что с течением времени геометрия Евклида была существенно дополнена и откорректирована, ее по-прежнему называют именем древнего ученого. Такое уважение вызвано широтой практического применения евклидовой геометрии. Она используется в технических науках, картографии, геодезии, астрономии и др.

Следствия из аксиом стереометрии

Проанализировав все сказанное ранее, можно утверждать, что логическое построение геометрии имеет следующий вид:

Важное место в геометрии занимают аксиомы. Они выражают наиболее существенные свойства основных геометрических фигур. Все остальные свойства геометрических фигур устанавливаются рассуждениями, опирающимися на аксиомы или ранее доказанные утверждения, которые опираются на аксиомы. Такие рассуждения называют доказательствами. Утверждение, истинность которого доказана и которое используют для доказательства других утверждений, называют теоремой. Простейшими из них являются утверждения для основных фигур стереометрии. Они называются следствиями из аксиом стереометрии. Рассмотрим теоремы, которые являются следствиями из аксиом стереометрии.

Теорема 1

Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость, и притом только одну.

Пусть — данная прямая и — точка, не принадлежащая ей (рис. 2.9). Через точки и проведем прямую . Прямые и различны и пересекаются в точке . По аксиоме II₃ через них можно провести плоскость . Докажем, что она единственная, методом от противного.

Допустим, что существует другая плоскость , которая содержит прямую и точку . Тогда, согласно аксиоме II4, плоскости и пересекаются по общей прямой, которой принадлежат точки что противоречит условию. Предположение неверно. Плоскость — единственная. Теорема доказана.

Теорема 2
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вея прямая принадлежит этой плоскости.

Пусть заданы прямая , плоскость и точки А и В прямой , принадлежащие (рис. 2.10). Выберем точку С, которая не принадлежит прямой . Через точку С и прямую проведем плоскость . Если и совпадут, то прямая принадлежит плоскости . Если же плоскости и различны и имеют две общие точки и , то они пересекаются по прямой , содержащей эти точки. Поэтому через две точки и проходят две прямые и , что противоречит аксиоме принадлежности I₂. Поэтому и — совпадают. Однако поскольку , принадлежит плоскости , то и прямая также принадлежит .

Теорема 3

Через три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Пусть — заданные точки (рис. 2.11). Проведем через точки и прямую , а через точки и — прямую . Прямые и различны и имеют общую точку . Через них можно провести плоскость . Докажем, что она единственная, методом от противного. Допустим, что существует другая плоскость , содержащая точки . Тогда, по теореме 2, прямые и принадлежат плоскости . Поэтому плоскости и имеют две общие прямые и , которые пересекаются, что противоречит аксиоме II₃. Итак, плоскость — единственная. Теорема доказана.

Отметим, если плоскость определена тремя точками, которые не лежат на одной прямой, например то в таком случае пользуются обозначением: (). Читается: «плоскость, заданная точками , и », или сокращенно «плоскость ».

Пример №2

Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, которая бы не лежала с ними в одной плоскости?

Через прямые и (рис. 2.12), которые имеют общую точку , можно провести плоскость . Возьмем точку , которая не принадлежит . Через точки и проведем прямую . Прямая не лежит на плоскости , так как если бы прямая принадлежала плоскости , то и точка принадлежала бы плоскости . Поэтому через точку пересечения прямых и можно провести третью прямую, которая не лежит с ними в одной плоскости. Ответ. Можно.

Очевидно, что точки плоскости задают прямые, которые будут принадлежать этой самой плоскости. Если же взять точку пересечения двух прямых на плоскости и точку вне плоскости, то через любые две точки пространства можно провести прямую. Эта прямая будет иметь только одну общую точку с плоскостью, а значит, будет ее пересекать.

Пример №3

Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

Пример №4

Докажите, что если прямые и не лежат в одной плоскости, то прямые и также не лежат в одной плоскости.

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые и лежат в одной плоскости (рис. 2.14). Тогда точки принадлежат этой плоскости, а следовательно, прямые и принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно, поэтому прямые и не принадлежат одной плоскости, что и требовалось доказать.

Пример №5

Сколько всего существует различных плоскостей, проходящих через прямую и точку в пространстве?

Если в пространстве даны прямая и точка, лежащая на ней, то ими определяется множество плоскостей, поскольку через прямую проходит множество различных плоскостей.
Если же точка не лежит на прямой, то по следствию из аксиом стереометрии такую плоскость можно построить только одну.

Ответ. Бесконечно много или одна.

Взяв вне этой прямой произвольную точку, мы всякий раз будем иметь другую плоскость, не совпадающую с ранее построенной. Таких плоскостей множество.
Через данную точку вне прямой можно провести либо прямую, которая пересекает данную прямую, либо прямую, параллельную данной. Оба случая задают одну плоскость.

Сечения

Анализируя окружающий мир и систематизируя его предметы по форме, мы убеждаемся, что много из них «усечены» или «склеены». Разъединив их, получим поверхность, которую называют их сечением.

С сечениями мы сталкиваемся в разнообразных ситуациях: в быту, в столярничестве, токарстве и т.д. Решением задач на сечения геометрических фигур или других тел занимаются в черчении и конструкторской практике. Сечения выполняют для пространственных геометрических фигур.

Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства, а концы отрезка могут лежать в различных полупространствах (рис. 2.20, а) относительно некоторой плоскости, на плоскости (рис. 2.20, б) или в одном полупространстве (рис. 2.20, в).

Если ни одна из двух точек не принадлежит плоскости, а отрезок, соединяющий их, имеет с этой плоскостью общую точку, то говорят, что данные точки лежат по разные стороны относительно плоскости, или отрезок пересекает плоскость. Если же как минимум две точки пространственной геометрической фигуры лежат по разные стороны плоскости, то говорят, что плоскость эту фигуру пересекает, такую плоскость называют секущей.

Фигура, которая состоит из всех общих точек геометрической фигуры и секущей плоскости, называется сечением геометрической фигуры. На рисунке 2.21 сечения изображены цветом.

Если плоскость грани многогранника и плоскость сечения имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Эту прямую называют линией пересечения данных плоскостей.
Плоскость сечения многогранника имеет общие прямые с плоскостями граней многогранника. Прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой грани многогранника, называют следом плоскости сечения. Следов столько, сколько плоскостей граней пересекает плоскость сечения.

При построении сечения следует помнить:

Рассмотрим примеры построения сечения многогранника секущей плоскостью.

Пример №6

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер с общей вершиной.

Построение

Пусть — заданный куб (рис. 2.22). Выберем одну из вершин, например , являющуюся общей для трех ребер и . Обозначим на этих ребрах точки и соответственно, являющиеся их серединами. Точки и не лежат на одной прямой, а поэтому определяют секущую плоскость (). Точки и — общие точки плоскости сечения и грани , поэтому , — сторона сечения.
Аналогично и , поэтому и — две другие стороны сечения. Таким образом, — искомое сечение.

Пример №7

Постройте сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через ребро и середину ребра .

Построение

Пример №8

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки, которые лежат соответственно на ребрах , .

Построение

Рассмотрим случай, когда ни одна из прямых, проходящих через эти точки, не будет параллельна сторонам граней.

Пусть — секущая плоскость, проходящая через заданные точки , и . Построим сечение, выполняя последовательно шаги:

Мы нашли две стороны фигуры сечения: отрезки и (рис. 2.24, а). Точка — общая точка двух плоскостей () и (). Такие плоскости (по аксиоме II₄) пересекаются по прямой, проходящей через точку . Для построения такой прямой нужна вторая точка.

3. Плоскости () и () пересекаются по прямой . по условию не параллельна и , поэтому (рис. 2.24, б).
4. Прямая — линия пересечения плоскостей () и (). Пересечение этой прямой с ребром дает точку , которая является вершиной сечения. Таким образом, четырехугольник — искомое сечение (рис. 2.24, в).

Пример №9

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через середины и ребер и и точку пересечения диагоналей грани (рис. 2.25, а).

Построение

Обозначим секущую плоскость . Выполним последовательно шаги, выполняя поиск фигуры, образованной плоскостью сечения.

Таким образом, пятиугольник — искомое сечение (рис. 2.25, г).
Приведем краткие описания построения сечения куба плоскостью, проходящей через три точки.

Пример №10

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , , которые принадлежат соответственно ребрам .

Построение

Секущая плоскость ) (рис. 2.26).

Пример №11

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, М, Т, которые принадлежат соответственно ребрам , .

Секущая плоскость (рис. 2.27).

Пример №12

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , , которые принадлежат соответственно ребрам ,, .

Построение

Секущая плоскость (рис. 2.28).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник