Что является радиусом вписанной окружности
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
В треугольник
\[ S = \frac<1><2>(a+b+c) \cdot r = pr \]
с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.
В четырехугольник
\[ S = \frac<1><2>(a+b+c+d)\cdot r = pr \]
Примеры вписанной окружности
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
Окружность вписанная в угол
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.
Содержание
В многоугольнике
Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
В треугольнике
Свойства вписанной окружности:
В четырёхугольнике
Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: 
.
Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр вписанной в четырёхугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).
В сферическом треугольнике
Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.
Вписанная окружность (ЕГЭ 2022)
Ну что, юнга, уверен, что знаешь все про окружности?
Пров вписанную точно знаешь. А про вневписанную слышал?
Ничего страшного, сейчас ты во всём разберешься!
Вписанная окружность — коротко о главном
Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности:
\( \displaystyle S=p\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac
Вневписанная окружность – окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (\( \displaystyle \angle A\)) и биссектрис двух внешних углов (\( \displaystyle \angle B\) и \( \displaystyle \angle C\)).
Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности:
\( \displaystyle <_<\Delta ABC>>=(p-a)\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac
Вписанная окружность — подробнее
Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник.
Итак, что же это такое?
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех(трёх) его сторон.
Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?
На эти вопросы отвечает следующая теорема:
Во всякий треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить:
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Если тебя заинтересовал вопрос о том, почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать к теме «Биссектриса».
Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Теперь немножко о радиусе.
Радиус вписанной окружности
Посмотри, пусть у нас в \( \displaystyle \Delta ABC\) вписана окружность с центром \( \displaystyle O\).
Тогда отрезки \( \displaystyle OK\), \( \displaystyle OL\), и \( \displaystyle OM\) – радиусы этой окружности.
Поэтому они, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Итак, запомни и используй:
Вписанная окружность и отрезки сторон треугольника
Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.
Можно ли найти как-то отрезочки \( \displaystyle AK\), \( \displaystyle KC\), \( \displaystyle BL\) и.д. —отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника?
Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).
Посмотри внимательно: из точки \( \displaystyle A\) проведено две касательных, значит их отрезки \( \displaystyle AK\) и \( \displaystyle AM\) равны.
Мы обозначим их «\( \displaystyle x\)».
Далее, точно так же:
\( \displaystyle BM=BL=y\) (обозначили).
\( \displaystyle CK=CL=z\) (обозначили).
Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины «\( \displaystyle a\)», «\( \displaystyle b\)», «\( \displaystyle c\)» — смотри на рисунок. Что же теперь получилось?
А вот, например, отрезок «\( \displaystyle a\)» состоит из двух отрезков «\( \displaystyle y\)» и «\( \displaystyle z\)», да и отрезки «\( \displaystyle b\)» и «\( \displaystyle c\)» тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:
Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!
Сложим первые два уравнения и вычтем третье:
\( \displaystyle \left\< \begin
А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:
\( \displaystyle \left\< \begin
И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.
Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.
Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть «\( \displaystyle x\)» («\( \displaystyle b\)» и «\( \displaystyle c\)») будут с плюсом, а та сторона, где нет «\( \displaystyle x\)» (это «\( \displaystyle a\)»), будет с минусом.
Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же
На «\( \displaystyle a\)» и «\( \displaystyle c\)» есть «\( \displaystyle y\)» — они с плюсом, на «\( \displaystyle b\)» нет «\( \displaystyle y\)» — она с минусом
На «\( \displaystyle a\)» и «\( \displaystyle b\)» есть «\( \displaystyle z\)» — они с плюсом, на «\( \displaystyle c\)» нет «\( \displaystyle z\)» — она с минусом.
Вписанная окружность и площадь
Здесь скажем совсем коротко:
Есть такая формула:
\( \huge\displaystyle S=p\cdot r\),
где \( \displaystyle p\) — это полупериметр треугольника, то есть \( \displaystyle p=\frac
Вневписанная окружность
Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:
Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.
Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!
Захватывает дух? Насладись впечатлением.
А еще подумай над тем…
А сейчас вернёмся к одной какой-нибудь вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт:
До дальней точки касания вневписанной окружности ровно полупериметр
или что то же самое: \( \displaystyle AK=AM=p\), где \( \displaystyle p\) — полупериметр.
Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:
До «дальней» точки касания вневписанной окружности – ровно полупериметр треугольника.
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.
Слово лучшему ученику — тебе! 🙂
Навыки работы с окружностями показывают, насколько ты хорош в планиметрии. Это действительно сложная тема.
А сегодня ты с ней разобрался. Ты большой молодец!
Мы будем очень рады узнать твое мнение об этой статье. Для нас оно очень важно.
Напиши внизу в комментариях, что думаешь об этой статье. Помогла ли она тебе?
Нравится ли тебе работать с окружностями? И стало ли это делать легче после прочтения этой статьи? 🙂
Остались вопросы? Задай их! Там же, в комментариях.
Мы обязательно ответим тебе!
Добавить комментарий Отменить ответ
Один комментарий
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Андрей
11 июля 2018
Прекрасное обьяснение, спасибо большое!
Александр (админ)
12 июля 2018
И тебе спасибо, Андрей. За теплые слова.
Юлия
09 сентября 2018
все просто и понятно, спасибо большое!
Александр (админ)
09 сентября 2018
И тебе спасибо, Юлия! Очень приятно слышать!
Миша
28 сентября 2018
не подскажите, почему отрезок о3б перпендикулярен отрезку о1о2?
Александр
21 августа 2019
Это биссектрисы смежных углов.
Денис
24 февраля 2019
Божественные рисунки!) Мне в школе для урока по геометрии надо подготовить несколько рисунков. Подскажите, пожалуйста, какой программой вы пользуетесь для построения рисунков?
Александр (админ)
07 марта 2019
Денис, прошу прощения, пост твой пропустил. Только сейчас отвечаю. Но врядли чем-то помогу. Рисунки делались так: сначала их от руки делала Елена Евгеньевна (наш математик), а потом профессиональный дизайнер Настя их перерисовывала. По-моему в фотошопе.
Радиус описанной и вписанной окружности: Формулы и примеры
Здравствуйте мои дорогие подписчики и гости сайта 9111.ru!
На самом деле эту тему проходят еще в начальных классах обычной школы. И все, кто хорошо учился, сразу смогут сказать, о чем идет речь. Ну, или хотя бы точно понять, что РАДИУС как-то связан с окружностью.
Что такое радиус
Радиус – это отрезок, который начинается в центре окружности и заканчивается в любой точке ее поверхности. В то же время так называется и длина этого отрезка.
Вот так это выглядит графически.
Само слово РАДИУС имеет латинские корни. Оно произошло от «radius», что можно перевести как «луч» или «спица колеса». Впервые этот математический термин ввел французский ученый П.Ромус. Было это в 1569 году.
Но потребовалось чуть более ста лет, чтобы слово РАДИУС прижилось и стало общепринятым.
Кстати, есть еще несколько значений слова РАДИУС:
Но, конечно, нас интересует РАДИУС как математический термин. А потому и продолжим говорить именно о нем.
Радиус и диаметр
Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.
А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:
Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.
Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.
Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.
Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.
Примеры задач
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.
Используем первую формулу (через периметр):
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2.
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:
Формулы для радиуса описанной окружности
Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам
Формула радиуса описанной окружности треугольника (R ) :
Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.
Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника (R):
Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.
Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):
Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)
Найти радиус описанной окружности около квадрата
Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали
Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):
Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам
Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):
Радиус описанной окружности правильного многоугольника
Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):
Формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник (r):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник (r):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол (r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту (r ) :
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):
Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции (r):
Радиус вписанной окружности в квадрат
Формула радиуса вписанной окружности в квадрат (r):
Радиус вписанной окружности в ромб
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону (r ) :
2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты
Формула радиуса вписанной окружности в ромб (r ) :
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник
Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник, (r):
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
Формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник, (r):
Примеры задач
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:
Всем спасибо и приятного просмотра! Если понравилась публикация подписывайтесь и ставьте палец вверх!