дивергенция что это в физике

Дивергенция

Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как

.

Содержание

Определение

Определение дивергенции выглядит так:

где Ф_F — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что

.

Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).

Определение легко и прямо обобщается на любую размерность n пространства: при этом под объёмом понимается n-мерный объём, а под площадью поверхности (n-1)-мерная площадь (гипер)поверхности соответствующей размерности.

Определение в декартовых координатах

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).

Физическая интерпретация

С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (или очень малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:

0 » border=»0″ /> — точка поля является источником; — точка поля является стоком; — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Простым, хоть быть может и несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом, двумерное векторное поле на двумерном пространстве). Если угодно иметь более реалистическую картину, то можно рассмотреть горизонтальную проекцию скорости, проинтегрированную по вертикальной пространственной координате, что даст ту же картину двумерного векторного поля на двумерном пространстве, причём картина качественно будет для наших целей не сильно отличаться от упрощённой первой, количественно же являться её обобщением (весьма реалистическим). В такой модели (и в первом, и во втором варианте) родники, бьющие из дна озера будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.

Дивергенция вектора плотности тока даёт минус скорость накопления заряда в электродинамике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нём или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах). (См. Уравнение непрерывности).

Геометрическая интерпретация

Если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Дивергенция в физике

В стандартной формулировке классической теории поля дивергенция занимает центральное место (в альтернативных формулировках может не находиться в самом центре изложения, но всё равно остается важным техническим инструментом и важной идеей).

Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах

, где — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

.

Источник

Что такое Дивергенция простыми словами

Привет читатели seoslim.ru! Продолжаем разбираться в необычных словах и понятиях.

Дивергенция употребляется в разных областях науки и торговли, а поэтому очень легко запутаться в определениях. Для биолога и физика оно означает разные вещи, однако на самом деле все гораздо проще.

Что значит слово Дивергенция и кто такой Дивергент

Этот термин может быть использован в различных контекстах.

Дивергенция — это синоним расхождений, разногласий, противоречий.

В переносном смысле это разные точки зрения. Слово происходит от латинского «divergens» или «divergentis», что означает « разделение».

В социальном контексте одно из основных значений термина это множественность суждений, мыслей и мнений.

Дивергент — это человек, способный нестандартно мыслить или смотреть на ситуацию с разных точек зрения.

Однако, популярность трилогии «Дивергент» писательницы Вероники Рот привела к тому, что у термина появилось второе значение.

Видов дивергенции много, этот термин используется в разных областях физики, биологии, геометрии и т.д. Существуют даже подвиды, например, на форексе она может быть «бычья» и «медвежья».

Дивергенцию не стоит путать с конвергенцией, которая имеет противоположное значение, но при этом используется в тех же областях.

Конвергенция — это акт сближения.

Речь идет о встрече двух моментов, вещей, идей или ситуаций, которые начинаются в разных местах.

Тенденция к общему направлению, цели или результату между двумя разными идеями или ситуациями определяется как конвергентная.

Это контрастирует с дивергентным мышлением, которое ищет ответ на проблему с помощью новых, нетрадиционных подходов.

Дивергенция в разных областях науки и торговли

В области математики она относится к векторным операциям, свойство которых выявляется при визуализации поля векторов, например, потока жидкости или газа.

В этом смысле существует два векторных поля, одно из которых является положительным, а второе — отрицательным, продуктом входящего потока или сжатия жидкостей на поверхности.

Расхождение векторного поля связано с потоком через теорему Гаусса или теорию дивергенции. Расхождение векторного поля — это способ измерения изменения плотности потока в заданной точке.

В геометрии дивергентными линиями называются линии, идущие из одной и той же точки и по мере протяжения, отделяющиеся друг от друга.

В географии существует дивергентный край, то есть предел, который существует между двумя тектоническими плитами, отходящими друг от друга, то же самое можно увидеть и в океанических хребтах, и в зонах рифтов.

Наконец, в области финансов дивергенция — это расхождение между развитием или ростом стоимости данного финансового продукта и технического показателя.

Биологии

Эволюция живых существ необходима для их адаптации к той экосистеме, к которой они принадлежат.

В этом смысле некоторые существа эволюционируют по-разному, изменяя общую структуру предков для выполнения различных функций, это то, что называется расходящейся эволюцией.

Например, на первых порах у млекопитающих развивались передние и задние ноги, а у летучих мышей вместо передних ног появляются крылья.

Физике

В физике дивергентные линзы — это такие линзы, в которых свет ударяется параллельно друг другу и преломляется, принимая расходящиеся направления от одной точки.

В математике и физике широко используется для обозначения, например, теоремы Гаусса, известной также как теорема дивергенции или теорема Гаусса-Остроградского, которая связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с интегралом.

С другой стороны, существует дивергенция Кульбака-Лейблера, которая указывает на индикатор сходства, существующий между двумя функциями распределения вероятностей.

Психологии

Дивергентное мышление связано с творчеством.

Дивергентное мышление — это процесс, который используется для генерации различных творческих идей при решении проблемы.

Это мышление отличается от конвергентного, потому что последнее использует процедуру, состоящую из логических этапов.

Трейдинге

Дивергенция — это противоречия, которые можно увидеть на графике акций между движением цены и движением конкретного технического индикатора. Если цена поднимается, индикатор опускается или наоборот.

Подавляющее большинство технических индикаторов — это математические колебания цены, иногда в сочетании с объемом или другими рыночными аспектами.

Технические индикаторы фокусируются на очень специфических аспектах цены. Каждый из которых не всегда легко увидеть, глядя на ценовой график.

Отсюда и полезность индикаторов, так как они обращают внимание на простые вещи, которые люди обычно не удосуживаются анализировать.

Есть два типа дивергенции:

Использование расхождений между показателями и ценой, для определения входа в сделку, является одним из самых мощных преимуществ.

На этом все, если есть что добавить оставляйте комментарии ниже.

Источник

О понимании, вычислении и измерении дивергенции векторных полей физических величин

А. С. Чуев.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана» Национальный исследовательский университет техники и технологий (МГТУ им. Н. Э. Баумана),

Россия, Москва, e-mail: chuev@mail.ru

Ключевые слова: физические поля, дивергенция, теория поля, электрическое поле, магнитное поле, намагниченность.

Key words: physical fields, divergence, field theory, the electric field, magnetic field, the magnetization.

Понятие «дивергенция» переводится на русский язык как расходимость (можно к этому отнести и сходимость) линий векторного поля. Логически это понятно, в пространственно расходящемся или сходящемся векторном потоке обязательно есть изменение плотности линий поля, что возможно (при сохраняющейся величине потока) только за счет изменения модуля вектора, посему дивергенция (расходимость) неотделима от изменений модуля вектора. В однородном векторном поле дивергенция, согласно своему понятию, должна быть равна нулю.

Несмотря на сказанное, в математической теории поля и полевой физике дивергенция считается, чаще всего, ненулевой только в истоках и стоках поля, при этом числовое значение дивергенции в них, как правило, неопределимо по причине неопределенности их размеров. Например, для центральных полей типа электрического и гравитационного дивергенция считается равной нулю всюду кроме истоков и стоков. Если же брать в качестве примера магнитное поле, то равенство нулю дивергенции вектора магнитной индукции В принято безусловным и возведено в закон (четвертое уравнение Максвелла).

Хорошо известны изображения пространственно неоднородных полей в виде расходящихся и сходящихся силовых линий полей центрального типа (рис.1) и соленоидального поля стержневого магнита (рис.2). Силовые линии поля строятся по касательным, определяющим направление силы в любой точке пространства, окружающего электрический заряд или магнит.

Густота линий поля определяет числовое значение полевого вектора в любой точке поля. Сам вектор касателен к линии поля, проходящей через данную точку, а его направление определяется действующим соглашением о положительной направленности.

Пространственная расходимость и сходимость линий поля, создаваемых электрическими зарядами очевидна, потому как густота линий убывает при отдалении от центра, указывая на ослабление поля при отдалении от источника или стока поля. Однако в математической теории поля и в большинстве физических толкований 2 дивергенция векторных полей центрального типа (рис. 1) всюду вне источника и стока считается равной нулю.

Приводимая на рис. 2 картина силовых линий магнитного поля тоже наглядно иллюстрирует, что данное поле неоднородно. Густота силовых линий магнитного поля, определяющих величину и направление силового вектора В, вблизи торцов магнита самая большая, а в отдалении от торцов магнита становится значительно меньше. На бесконечно большом удалении от магнита значение магнитной индукции будет нулевым. Однако в соответствии с четвертым уравнением Максвелла дивергенция вектора магнитной индукции В принимается всюду равной нулю. Считается также, что источников и стоков у магнитного поля нет, а линии поля замкнуты сами на себя.

Приведем несколько примеров из учебников с имеющейся там трактовкой понятия дивергенции. Возьмем классический учебник И. Е. Тамма «Основы теории электричества» [1, стр.586]. Тамм пишет: «Отметим в заключение, что в гидродинамике дивергенция скорости жидкости v имеет непосредственное физическое значение. Действительно, в каждой точке жидкости

равна рассчитанному на единицу объема количеству жидкости, вытекающей из элемента объема dV, окружающего рассматриваемую точку».

Другой источник [2, стр.24], описывая дивергенцию статического электрического поля, излагает так: «В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда р в этой точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля. Например, в разных точках поля точечного заряда поле Е отличается друг от друга. Это же относится, вообще говоря,и к пространственным производным ∂Ех/∂х, ∂Еу/∂у, ∂Ez/∂z. Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию Е, оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю».

В последней фразе чувствуются сильные нотки сомнения в правильности излагаемого, но они прикрыты ссылкой на авторитет теоремы Гаусса. Действительно, трудно объяснить положение, согласно которому производные по координатам есть, но их сумма всегда равна нулю. Это явно не соответствует элементарной логике. Ведь координатные проекции изменяющегося вектора вполне могут быть одного знака, а изменение вектора может быть и вовсе только по одной координате.

Математически дивергенция выражается не только формулой (1), но и как функция пространственной производной вектора, обозначаемая оператором набла [4, стр. 3581]:

Таким образом, формула (2) выражает не совсем привычное на первый взгляд, но истинное представление, соответствующее своему понятию-дивергенции векторного поля, как скорости изменения вектора в любой точке поля в своем собственном направлении, то есть по модулю.

Подтверждение такому (или примерно такому) пониманию дивергенции можно обнаружить в других источниках. В учебнике по математике [4, стр.359] встречается такая фраза: «. всякое векторное поле А дает некоторое скалярное поле divA, а именно поле своей расходимости». Другой источник [5, стр.402]: «Дивергенция div a векторного поля а в точке М есть скаляр (действительное число). Рассматривая дивергенцию в каждой точке области определения векторного поля а, мы получаем скалярное поле div а».

Понимание ошибочности привязки понятия дивергенции лишь к истокам и стокам векторного поля в физике зреет уже давно. Осознание этого уже появилось в гидродинамике [6]. По мнению автора не за горами признание аналогичного положения и в других областях физики, в частности в электростатике и магнитостатике.

Попытку вывести понятие дивергенции из «прокрустова ложа» истоков и стоков можно обнаружить в источнике [7, стр.171]. Там приводится такая формула:

В формуле (4) нет устремления объема в точку, а анализируются внешняя поверхность и объем, которым принадлежит рассматриваемая точка поля. При правильной интерпретации этой формулы и применительно к векторным полям центрального типа она дает достаточно верный результат оценки величины дивергенции векторного поля.

В источнике [8] для дивергенции приводится еще одна отличная от выражения (1) Формула:

Здесь дивергенция определяется как объемная плотность потока векторной величины в той или иной точке пространства векторного поля. Считается [8], что такое определение дивергенции применимо не только к декартовым системам координат. В чем-то аналогичный подход обнаруживается и в работе [9, стр.22]: «. дивергенция векторного поля а (М) является объемной плотностью потока векторного поля а (М) в данной точке М».

Однако, если векторное поле однородное, то объемная плотность потока векторного поля будет иметь одно определенное для всех точек поля значение, а расходимости (надо понимать, дивергенции) линий поля не будет. Налицо противоречие. В наглядных примерах по рис.1 и рис.2 видно, что дивергенция (расходимость) электрических и магнитных силовых линий определяется неоднородностью поля, которое связано с изменением модуля вектора, такое значение определяется плотностью потока линий поля, зависящей от пространственного удаления рассматриваемой точки от источника или стока поля. В однородном векторном поле дивергенции (расходимости) нет и быть не может.

По мнению автора, дивергенция, по сути своей, должна быть не плотностью потока векторного поля, что присуще и однородным векторным полям, а скоростью пространственного изменения плотности потока вектора в той или иной точке поля, которое по идее должно совпадать с пространственной производной вектора по формуле (2). Математически это можно выразить так:

где изменение плотности потока векторной величины tв рассматриваемой точке поля(объеме Vпредельно малого размера); fF-единичный вектор, касательный к направлению линии поля в данной точке поля и совпадающий с направлением вектора F.

Для сравнения приведем в табличном формате различные варианты определения и понимания (толкования) дивергенции, в том числе отстаиваемые автором в настоящей работе (см. таблицу 1).

Приведем расчетные оценки дивергенции для различных вариантов ее определения по таблице 1, применительно к вектору D электростатического поля в точке М, находящейся на расстоянии г от центрального заряда q0.

А. Общепринятое значение дивергенции вне истоков и стоков поля равно нулю (div D = 0).

Б. Значение, вычисленное из условия равномерной объемной плотности заряда, приходящегося на весь рассматриваемый сферический объем, что можно понимать как своеобразное (грубое) определение дивергенции для полей центрального типа, составляет:

В. Авторские варианты определения дивергенции по вариантам 1 и 2 по модулю должны быть эквивалентны. Значение дивергенции по варианту 1:

По варианту 2, если принимать дивергенцию у расходящихся полей положительной:

В расчетах магнитных цепей обычно дополнительно используют еще одну физическую величину напряженность магнитного поля Н, хотя в действительности она применима лишь к токовым источникам магнитного поля, а не к источникам поля в виде постоянных магнитов. Этот вопрос более подробно рассмотрен в авторской работе [11].

Расчетное определение дивергенции магнитного поля, создаваемого стержневым магнитом типа, изображенного на рис. 2, возможно двумя путями. В первом варианте следует принимать неизменным поток магнитной индукции 0=B‘S, выходящий из торца магнита и расходящийся в окружающем пространстве. Тогда изменение модуля магнитной индукции будет обратно пропорционально увеличению площади потока. Изменение площади потока вне постоянных магнитов можно определить известным эмпирическим методом с использованием железных опилок.

Второй вариант расчета основан на принятии неизменным модуля суммарного магнитного дипольного момента, создаваемого молекулами и атомами магнита. В этом случае дивергенцию рассчитывают как уменьшение модуля векторов магнитной индукции и намагниченности в окружающем магнит пространстве, исходя из условия увеличения объема пространства, приходящегося на суммарный магнитный дипольный момент тела магнита. В расчетах магнитных систем с малыми воздушными зазорами этот вариант расчета (из приведенных двух) будет единственно возможным и он дает верный результат. Близкий к этому подход, правда, с энергетических позиций и с некорректным, по мнению автора, использованием напряженности магнитного поля Н, описан в работе [12, стр.457].

Теперь рассмотрим возможность опытного измерения дивергенции, что должно поставить завершающую точку в теоретических разногласиях математиков и физиков об этом параметре.
Для статического электрического поля проблема опытного измерения дивергенции решается достаточно просто. Измеряем напряженность поля в двух точках, лежащих на линии поля в окрестности точки, в которой определяется дивергенция. Разницу полученных измерений делим на расстояние между точками измерений, это и будет средним значением дивергенции вектора Е для искомой точки поля. Дивергенция «материального» [12] вектора D, который чуть выше фигурировал в расчетах, определяется по этим измерениям с учетом электрической постоянной £0 и относительной диэлектрической проницаемости среды.

Для статического магнитного поля практическое измерение дивергенции выполняется подобным же образом, правда определять линии поля здесь несколько сложнее, потому как оно не центральное. Кроме того, следует учитывать, что измеряя значение полевого параметра магнитной индукции В, мы фактически измеряем намагниченность вакуума ]0. В работах [13,14] показано, что вектор В относится к чисто полевым (по мнению автора, фантомным) величинам, которые модельного (материального) представления не имеют, хотя вроде бы на практике и измеримы. На самом деле измерение магнитной индукции В сводится к измерению разности электрических потенциалов (в датчиках Холла) или электродвижущей силы, образуемой при изменении (во времени) магнитного потока Ф, который выражаем и через другие магнитные величины. Покажем это в формулах.

Вне магнита индукция В связана с намагниченностью среды соотношением

В воздухе μ=1, поэтому максимальная величина магнитного потока определяется произведением площади S измерительной рамки на магнитную постоянную μ₀ и на вектор намагниченности вакуума J₀ который не вполне оправданно (при отсутствии токов проводимости) считают вектором напряженности магнитного поля Н. Алгебраическое соотношение названных величин имеет вид:

При фиксированной величине площади S измерительной рамки и ее ориентации перпендикулярно измеряемому полю пространственные изменения магнитного потока будут соответствовать соответствующим изменениям намагниченности окружающего магнит пространства. По этим измерениям можно определить дивергенцию векторов В и Jo в интересующей нас точке поля.

ВЫВОДЫ

2. Для полей центрального типа дивергенцию в каждой точке поля можно грубо вычислять как объемную плотность источника поля (заряда или массы) в сферическом объеме, на поверхности которого расположена рассматриваемая точка. Более точно дивергенция вычисляется как пространственное изменение плотности потока векторного поля. В такой форме дивергенция вычислима для полей любого типа и формы.

1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. Учеб. Пособие для вузов,- 11-е изд., испр. и доп.- М.: Физматлит-2003.- 616 с.

3. Парселл Э. Электричество и магнетизм: Учебное руководство; Пер с англ./Под ред. А. Н. Школьникова и А. О. Вайсберга- 3-е изд., испр-М.: Наука-1983- (Берклеевский курс физики).- 410 с.

6. Волков П. К. О природе движения жидкости. /Вестник Югорского государственного университета-2011.- Выпуск 2 (21).- С. 8-28.

7. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Корн Г., Корн Т.- М.: НАУКА,- 1973,- 832 с.

10. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Продолжение курса. Под ред. А. Н. Тихонова- М.: Изд. МГУ.- 1987.- 358 с.

12. Боровик Е. С., Еременко В. В., Мильнер А. С. Лекции по магнетизму- 3-е изд. перераб. и доп.-М.: ФИЗМАТЛИТ,- 2005.- 512 с.

Источник

• ← дивергенция что это в биологии
• дивергенция что это значит →