для чего нужен натуральный логарифм
Логарифм. Натуральный логарифм.
За основание логарифмов нередко берут цифру е = 2,718281828. Логарифмы по данному основанию именуют натуральным. При проведении вычислений с натуральными логарифмами общепринято оперировать знаком ln, а не log; при этом число 2,718281828, определяющие основание, не указывают.
Само число е определяет предел монотонной ограниченной последовательности
Весьма часто для фиксации в памяти какого либо числа, цифры необходимого числа ассоциируют с какой-нибудь выдающейся датой. Скорость запоминания первых девяти знаков числа е после запятой возрастет, если заметить, что 1828 — это год рождения Льва Толстого!
На сегодняшний день существуют достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.
График натурального логарифма (функции y = ln x) является следствием графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой у = х и имеет вид:
Натуральный логарифм может быть найден для каждого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a.
Элементарность этой формулировку, которая состыковывается со многими другими формулами, в которых задействован натуральный логарифм, явилось причиной образования названия «натуральный».
Если анализировать натуральный логарифм, как вещественную функцию действительной переменной, то она выступает обратной функцией к экспоненциальной функции, что сводится к тождествам:
По аналогии со всеми логарифмами, натуральный логарифм преобразует умножение в сложение, деление в вычитание:
Логарифм может быть найден для каждого положительного основания, которое не равно единице, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, обычно, определяются в терминах натурального логарифма.
Проанализировав график натурального логарифма, получаем, что он существует при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x →0 пределом натурального логарифма выступает минус бесконечность ( –∞ ).При x → +∞ пределом натурального логарифма выступает плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a возрастает быстрее логарифма. Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумы у него отсутствуют.
Использование натуральных логарифмов весьма рационально при прохождении высшей математики. Так, использование логарифма удобно для нахождения ответа уравнений, в которых неизвестные фигурируют в качестве показателя степени. Применение в расчетах натуральных логарифмом дает возможность изрядно облегчить большое количество математических формул. Логарифмы по основанию е присутствуют при решении значительного числа физических задач и естественным образом входят в математическое описание отдельных химических, биологических и прочих процессов. Так, логарифмы употребляются для расчета постоянной распада для известного периода полураспада, или для вычисления времени распада в решении проблем радиоактивности. Они выступают в главной роли во многих разделах математики и практических наук, к ним прибегают в сфере финансов для решения большого числа задач, в том числе и в расчете сложных процентов.
Продолжаем серию роликов из цикла «А на хрена нам ___?». В этот раз досталось логарифмам. Давайте разберемся зачем они нужны, и обойдемся без простых примеров, таких как загнутая ракушка улитки. Математик Георгий Вольфсон рассказывает о применении логарифмов в реальной жизни.
00:19 Применение в природе
00:44 Что такое логарифм и зачем
02:00 Перевод умножения в сложение
04:25 За какое количество вопросов можно угадать задуманное число?
06:06 Определение зараженных вирусом по методу логарифмов
08:00 Децибелы = логарифм
08:35 Сортировка массива в программировании
Наука | Научпоп
6.1K постов 69K подписчиков
Правила сообщества
ВНИМАНИЕ! В связи с новой волной пандемии и шумом вокруг вакцинации агрессивные антивакцинаторы банятся без предупреждения, а их особенно мракобесные комментарии — скрываются.
Основные условия публикации
— Посты должны иметь отношение к науке, актуальным открытиям или жизни научного сообщества и содержать ссылки на авторитетный источник.
— Посты должны по возможности избегать кликбейта и броских фраз, вводящих в заблуждение.
— Научные статьи должны сопровождаться описанием исследования, доступным на популярном уровне. Слишком профессиональный материал может быть отклонён.
— Видеоматериалы должны иметь описание.
— Названия должны отражать суть исследования.
— Если пост содержит материал, оригинал которого написан или снят на иностранном языке, русская версия должна содержать все основные положения.
Не принимаются к публикации
— Точные или урезанные копии журнальных и газетных статей. Посты о последних достижениях науки должны содержать ваш разъясняющий комментарий или представлять обзоры нескольких статей.
— Юмористические посты, представляющие также точные и урезанные копии из популярных источников, цитаты сборников. Научный юмор приветствуется, но должен публиковаться большими порциями, а не набивать рейтинг единичными цитатами огромного сборника.
— Посты с вопросами околонаучного, но базового уровня, просьбы о помощи в решении задач и проведении исследований отправляются в общую ленту. По возможности модерация сообщества даст свой ответ.
— Оскорбления, выраженные лично пользователю или категории пользователей.
— Попытки использовать сообщество для рекламы.
— Многократные попытки публикации материалов, не удовлетворяющих правилам.
— Нарушение правил сайта в целом.
Окончательное решение по соответствию поста или комментария правилам принимается модерацией сообщества. Просьбы о разбане и жалобы на модерацию принимает администратор сообщества. Жалобы на администратора принимает @SupportComunity и общество пикабу.
Отвлекусь от логарифмов. Перешёл на Ваш канал, в нём в заглавном ролике узнал об интервью Дудя с Батыгиным, начал смотреть, увлёкся, забыл лечь спать. Офигенные темы: и про космос, и про будущее, и про общение между людьми, и про науку в целом, и про свободу личности. Офигенно. Спасибо Вам. Пойду детям покажу.
@moderator, исправьте, пожалуйста, ошибку в слове «Децибелы» в посте.
Граничные условия при определении давать надо. Как сказано — «логарифм это показатель степени» и вот вам выражение.
Решение этого выражения есть, но впрямую через логарифм его не решить ибо логарифмов отрицательных чисел и отрицательных оснований не существует. По определению логарифма.
Спасибо, это то, что нужно в пол второго ночи)
Проблема простых-близнецов – Алексей Савватеев | Научпоп
В чём заключается одна из самых древних проблем «школьной» математики? Почему она называется «простые-близнецы» и как формулируется? Что утверждает теорема о распределении простых чисел в натуральном ряду? Как продвинулась в этой области современная математика и на какие вопросы ещё предстоит найти ответы математикам будущего?
Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, ректор Университета Дмитрия Пожарского, профессор МФТИ, научный руководитель ЦДПО РЭШ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.
Молдавские учёные решили проблему, над которой 140 лет бились математики всего мира
Два математика из Молдовы первыми в мире решили алгебраическую проблему, над которой 140 лет размышляли великие ученые мира. Об этом на этой неделе сообщил Технический университет Молдовы (UTM).
«Доктор физико-математических наук Михаил Попа и доктор математических наук Виктор Прикоп первыми в мире нашли решение знаменитой проблемы центра и фокуса, поставленной выдающимся французским математиком Анри Пуанкаре, над которой великие математики мира размышляли более века», — говорится на сайте университета.
Этой проблеме посвятили тысячи работ математики из Франции, России, Беларуссии, Китая, Великобритании, Канады, США и других стран мира. Только в Молдове число работ, посвященных проблеме Пуанкаре, приближается к сотне, отметили в UTM.
Профессор университета Михаил Попа, основатель научной школы алгебры Ли и дифференциальных систем, предложил собственное решение проблемы центра и фокуса, которое привело его к результату, ставшему открытием.
Во время исследований к профессору присоединился его ученик Виктор Прикоп. Вместе они усовершенствовали первоначальную гипотезу в монографии «Проблема центра и фокуса. Алгебраические решения и гипотезы».
Работа была переведена на английский язык и представлена для издания в несколько зарубежных издательств. В итоге лучшие условия предложил издательский дом «Taylor & Francis Group», расположенный в Великобритании и специализирующийся на публикациях научной литературы и журналов.
Где-то всплакнул Гриша Перельман.
Панорама, да не та. И с такими лицами не шутят.
Что такое наука и какие задачи она должна решать? Существует ли музыкальная наука и какими могут быть результаты применения научного метода в этой сфере? Что такое микрохроматика и как она может изменить музыку будущего, расширить возможности её создания и восприятия?
Реставрирую шкаф
Работа не быстрая, поэтому фото до. Нашел в нем тайник, в тайнике фото.
Интересует, что за формула на доске?
Пока ответа не нашлось.
Шкаф в СПБ. Ещё была найдена карта Казани печать старая начало 20 века.
Что, если наш 4D мир станет пятимерным?
Краткая текстовая версия видео:
Мир, в котором мы живем, является четырехмерным. По крайней мере в макро масштабе. В нашем мире 3 пространственных измерения и одно временное. Трехмерность пространства значит, например, то, что мы можем в нем провести три взаимно перпендикулярных координатных осей расположенных под углом 90 градусов. В таком пространстве можно двигаться «влево-вправо», «вперед-назад» и «вверх-вниз».
В трехмерном пространстве мы можем завязать узел. В двумерном пространстве завязать узел невозможно. А еще в трехмерном пространстве стул может стоять только на трех ножках или больше, стул на двух ножках потеряет равновесие и упадет (Речь идет о ножках типа такого, как на фото).
А что будет, если мы добавим еще одно пространственное измерение? То есть представим себе пятимерный мир, 4 пространственных измерения и 1 временное?
В таком мире можно провести еще одну ось перпендикулярную к остальным трем осям под углом 90 градусов. В трехмерном пространстве сделать это невозможно и как-то точно визуализировать я это не могу, так что включайте фантазию.
В пятимерном мире так же добавятся новые направления движения, которые называют «ана-ката», получается: «влево-вправо», «вперед-назад», «вверх-вниз» и «ана»-«ката». Представить себе направление движения ана и ката мы не можем, так же как существо в двумерном мире не может представить себе направления вверх и вниз.
В таком мире можно завязать двумерную сферу на узел, в нашем мире сделать это невозможно, показать, соответственно, тоже нельзя. Ну и стул с тремя ножками не сможет стоять в мире с 4 пространственными измерениями, чтобы он был устойчив потребуется 4 или больше ножек.
Ну хорошо, я понимаю, вы вряд ли Вы читаете это, чтобы узнать о узлах и ножках стула, Вас интересует, что будет с нашим миром, если внезапно в него добавить еще одно измерение, вот так по щелчку пальца «тыц» и добавили еще одно пространственное измерение и вот ты уже в 5 измерении, что с тобой будет?
Если коротко то… умрешь конечно же. А еще Земля станет приплюснутой. Сейчас расскажу как именно умрешь и почему земля станет приплюснутой.
Есть такой закон – закон обратных квадратов, и он тесно связан с размерностью пространства. Возьмем для примера светящий фонарь, интенсивность света в таком случае убывает согласно закону обратных квадратов.
Объект, перемещенный на расстояние в 2 раза большее от источника, получает только четверть той мощности, которую он получал в первоначальном положении. На расстоянии в 3 раза большее от источника – в 9 раз меньше мощности, на расстоянии в 4 раза большее от источника – 16 раз и так далее.
В законе всемирного тяготения сила гравитационного притяжения убывает тоже с квадратом расстояния. В два раза увеличиваем расстояние, сила притяжения уменьшается в 4 раза и так далее. Тоже самое с законом Кулона – сила притяжения или отталкивания заряженных частиц убывает с квадратом расстояния. В 5D мире закон обратных квадратов превращается в закон обратных кубов. Теперь интенсивность света будет падать не с квадратом расстояния, а с кубом расстояния. r^2 в законе Кулона и Законе всемирного тяготения превращается в r^3.
Это все полностью изменит химические элементы из которых мы состоим, некоторые атомы станут нестабильными, радиоактивными, другие наоборот, станут стабильными.
Например, в 5D мире магний был бы благородным газом, а не металлом, то есть некоторые элементы станут менее реактивными, другие более реактивными. Ионизация атомов будет осуществляться при значительно меньших энергиях, да и вообще агрегатное состояние различных элементов будет меняться не так, как в нашем мире, некоторые хим. элементы станут газообразны при комнатной температуре, некоторые затвердеют и такие вот вещи. Думаю, практически бессмысленно вспоминать биологические процессы, благодаря которым мы можем жить, ведь это все поменяется кардинально, мы мгновенно потеряем сознание и умрем, синтез белков, транспортировка различных аминокислот, нейромедиаторов, нервные импульсы, это все либо прекратится, либо изменится до неузнаваемости. Ну и конечно же спектры атомов изменятся, а это значит, что все резко поменяет цвет, что-то станет прозрачным, что-то непрозрачным, да и вообще привычные для нас источники света выглядели бы более тускло из-за r^3, с запахами та же история, правда уже некому будет смотреть и нюхать все это, ведь все живые существа погибнут.
Короче будет происходить полная жесть, что-то будет плавится, что-то превратится в газ, что-то затвердеет, некоторые вещества станут радиоактивными, привычные нам вещи потеряют свои свойства и перестанут работать так, как в нашем мире. Я напомню, что это все в мире, в котором 4 пространственных измерения и одно временное и в котором можно двигаться в направлении ана и ката. Но кроме дополнительного направления появятся также дополнительные степени свободы во вращении. В нашем мире ориентацию тела можно задать тремя углами, в быту это называется «наклон, подъём и поворот», в 5D мире надо представить себе еще 3 дополнительных степени свободы вращения перпендикулярные к 3 вышеупомянутым. Но по идее, на вращение Земли это не должно повлиять, момент импульса сохранится, ведь нужно, чтобы какая-то сила передала момент импульса Земле, чтобы она могла вращаться в какой-то непривычный для нас способ. Конечно Земля изменит свой привычный облик, из-за того, что свойства химических элементов изменятся, но из-за гравитации все должно также удерживаться вокруг центра масс, правда земля довольно быстро вращается, а так как гравитация в 5D мире у нас ослабевает с кубом расстояния, то земля сплюснется и формой будет напоминать что-то типа такого, как на картинке.
Но вообще, появится дополнительное направление, в котором могут двигаться частицы из которых состоит земля, планета начнет превращаться в гиперсферу, представить себе этот процесс, эти метаморфозы которые будут происходить, очень сложно.
Будут ли происходить термоядерные реакции на солнце, тут под вопросом, но изменения явно произойдут. Но вот что забавно – в пятимерном мире нет стабильных орбит. Вот, посмотрите на график, это моделирование классической задачи двух тел, оказывается, что устойчивых орбит в 5D мире нет, тела либо падают друг на друга, либо улетают в бесконечность, поэтому солнечная система, как и все другие системы, разрушится, некоторые тела упадут на другие тела, а некоторые улетят бороздить просторы галактики.
Казалось бы, следуя логике как с законом обратных квадратов, все квадраты в других уравнениях тоже надо заменить на кубы и получается, что формула эквивалентности массы и энергии в пятимерном пространстве будет работать как Е=мс в кубе, но нет, эта формула, как и множество других, не изменятся в пятимерном пространстве, она, как и множество других формул, не зависит от размерности пространства.
Но даже и без этого всего, мир в 5 мерном пространстве изменится настолько, что в нем не сможет существовать жизнь в том виде, в котором существует в четырехмерном пространстве. Вообще, оказывается, четырехмерный мир – самый простой из возможных и одновременно самый оптимальный для существования в нем жизни, стабильных орбит и химии, какой мы ее знаем.
Книга Кипа Торна, «Интерстеллар. Наука за кадром»
Натуральный логарифм — определение, свойства и примеры решений
Из-за своего простого вида производная натурального логарифма нашла широкое применение в высшей математике, физике, экономике. Определяется она площадью, образованной гиперболой, и характеризуется рядом свойств. При этом всё, что относится к обычным логарифмам, справедливо и для неё. Для расчёта выражений такого вида используют правила и алгоритмы, делающие вычисления удобными и простыми.
Понятия и термины
Впервые упоминание о логарифмах встречается в античные времена. Толчком, послужившим для выделения понятия в отдельное выражение, стало открытие свойств степеней. Из-за стремительного развития архитектуры и строительства, астрономических исследований в средневековой Европе, Индии и Китае возник спрос на сложные расчёты. Так, вместо умножения при возведении в степень стали использовать логарифмирование — тождественную операцию.
В формуле log обозначает степенную функцию, n — основание, y — аргумент. Читается такая запись, как икс, равный логарифму игрек по основанию эн. В 1614 году шотландец Непер предложил таблицу логарифмов тригонометрических функций и описал их свойства. Несмотря на неточности в их вычислении, его расчёты вызвали восторг в математическом мире. Через пять лет английский учитель Спайделл внёс свои корректировки в таблицы и фактически предложил сборник натуральных логарифмов.
До начала XX века общепринятого обозначения выражения не существовало. Пока операция, заменяющая собой возведение в степень, не была подробно описана в книге «Введение в анализ бесконечных» Эйлера, который выделил и разделил все известные выражения логарифмов на три вида:
Использование в основании натурального логарифма математической константы e играет важную роль в математическом анализе. Иррациональное число принимается равным 2,71828. Её функция дифференцируется и интегрируется «в саму себя». Поэтому запись, в основании которой стоит такое число, и назвали натуральным.
Таким образом, логарифм, у которого по основанию находится постоянная e, называют также натуральным. Математически это определение записывают в виде выражения: ln c = loge c.
Функция выражения
График натурально-логарифмической функции сходен с обычной, но имеет меньшую крутизну. К основным свойствам функции относят:
Формула ∫ ln p dp = p ln p — p + C является интегралом функции натурального логарифма. Выводится она с помощью метода интегрирования по частям: ∫ i dk = i * k — i dk. В заданном интеграле можно выделить функции i и k и отдельно выполнить их интегрирование. Тогда исходное выражение будет разложено на две части. Первая будет иметь вид: i = ln p, di = dp / p, а вторая — dk = dp, k = p. Соответственно, выполняя подстановку, можно записать следующее равенство: p ln p — ∫ dp = p ln p — p + C.
Иными словами, простая интегральная первообразная функция g (p) = f'(p) / f (x) будет иметь вид: ln |f (p)|. Это также следует из цепного правила и факта: d / dp (ln |p|) = 1/p. Последнее выражение можно переписать как ∫ dx / x = ln |x| + C, где свободный член — произвольная константа. В соответствии: ∫ f'(x) / f (x) dx =ln |f (x)| + C.
Свойства логарифма
Натуральное логарифмическое выражение характеризуется основной формулой сложения и вычитания. Согласно ей, функцию вида ln (x * y) справедливо преобразовать в сумму ln x + ln y. Аналогично, если в основании стоит знак деления, то его можно заменить разностью: ln (x/y) = ln x — ln y. Это свойство логарифма используется довольно часто при преобразованиях сложных уравнений.
Кроме этого, можно выделить следующие основные формулы, использующиеся при решениях заданий различной сложности:
Рассматриваемый логарифм можно разложить в степенной ряд. В нём слагаемыми служат действительная функция p © и её производные, делённые на факториал. Это преобразование называют разложение Маклорена. Для натурального выражения оно будет иметь вид: ln (1+c) = c — c 2 /2 + c 3 /3 — …+ (-1) n+1 * c n / n +…, при условии, что значение икса по модулю меньше единицы.
Примеры типовых заданий
Знание теоретических основ позволяет довольно легко вычислять натуральные выражения практически любой сложности. Самые простые задания даются для закрепления основных формул. Поэтому они обычно состоят из нескольких шагов. Например, нужно вычислить выражение: ln 2 * e 2 + ln 1/ (2* e). Применяя свойство степеней, заданное выражение можно привести к виду: ln (2 * e 2 * 1 / (2 * e). После сокращения числителя и знаменателя на 2 * e, исходное выражение станет равным ln e. Таким образом, ln 2 * e 2 + ln 1/ (2* e) = ln e = 1.
Следовательно, область решений неравенства будет принадлежать p Є (1/ e; e 2 ). Следует обратить внимание, что использование замены для упрощения является одним из ключевых моментов в решении логарифмов.
Использование онлайн-калькулятора
При нахождении логарифмов в реальных условиях довольно часто приходится сталкиваться с громоздкими вычислениями. Такие расчёты требуют внимания и скрупулёзности. Ведь даже небольшая ошибка в итоге может привести к неправильному результату. При этом расчёт часто занимает продолжительное время.
В интернете существует несколько десятков сайтов, предоставляющих услуги по расчёту логарифмов онлайн. Это так называемые онлайн-калькуляторы. Доступ к ним может получить любой заинтересованный пользователь. Для этого ему просто понадобиться интернет и браузер с поддержкой Flesh технологи.
На страницах таких сервисов встроена специальная программа на языке Java. Фактически это аналог ранее популярных отдельных приложений, написанных на двоичном коде в Паскале. От пользователя требуется лишь вести в предложенную форму уравнение и нажать кнопку «Рассчитать». Приложение самостоятельно выберет нужные формулы и по ним рассчитает ответ.
Кроме конечного ответа, онлайн-сервисы предлагают подробный пошаговый расчёт. Это очень полезно для учащихся, которые пробуют разобраться в премудростях вычисления логарифма. А также для них на страницах предоставляется теоретический материал с примерами различной сложности. Примечательно и то, что доступ к сайтам обычно не только бесплатный, но и не требует какой-либо регистрации или указания личных данных.
По мнению пользователей рунета, из нескольких десятков существующих сайтов на русском языке можно выделить пятёрку лидеров:
Эти онлайн-калькуляторы имеют интуитивно понятный интерфейс и всю необходимую теорию для понятия принципа нахождения логарифма. Решив несколько заданий с их помощью, пользователь сможет самостоятельно вычислять любые логарифмические выражения. Таким образом, расчётчики смогут как подтянуть знания, так и проверить полученный ответ. Ведь появление ошибки при использовании программы практически невозможно.