для чего нужна теорема виета
Теорема Виета и её применение
Разделы: Математика
Ход урока
I Повторение пройденного материала
1) Устная работа через кодоскоп с применением сигнальных карточек. Если ученик готов отвечать, то зеленая, нет – красная. Согласен с ответом – зеленая, не согласен – красная.
| А) 5х 2 – 7х + 2 = 0 | [т.к. а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 =  ] |
| Б) х 2 – 12х + 35 = 0 | [по обратной теореме Виета х1 = 7, х2 = 5] |
| В) 313х 2 + 326х + 13 = 0 | [а – в + с = 0, то х1 = –1, х2 = – ] |
| Г) 4х 2 + 12х + 5 = 0 | [метод переброски х1 = – , х2 = – ] |
| Д) Составьте квадратное уравнение, если известны его корни: | |
| х1 = 5, х2 = –6 | [ х 2 + х –30 = 0] |
х1 = 2, х2 =  | [ х 2 – (2 – ) х + 2 = 0] |
Доказательство теоремы Виета и свойств числовых коэффициентов уравнения.
Теорема Виета.
х1 + х2 = – 
х1
х2 = 
.
Т.к. квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 имеет корни х1 и х2, то справедливо тождество ах 2 + вх + с = а(х – х1)(х – х2).
Раскроем скобки в правой части этого тождества:
х 2 + 
х – х2х + х1х2,
отсюда следует, что х1 + х2 = – и х1* х2 = . Что и требовалось доказать.
Обратная теорема Виета.
Если выполняются равенства х1 + х2 = – и х1х2 = , то числа х1 и х2 являются корнями уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Свойства коэффициентов 1.
Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а
0. Если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = .
ах 2 + вх + с = 0, а0
Разделим обе части уравнения на а0, получим приведенное квадратное уравнение х 2 + 
.
| Согласно теореме Виета |  | х1 + х2 = – |
х1 |
| По условию а + в + с = 0, откуда в = – а – с. Значит | | х1 + х2 = –  = 1 +  |
| х1* х2 = 1 * |
Получим х1 = 1, х2 = 
.
Свойство коэффициентов 2.
Если в квадратном уравнении ах 2 + вх + с = 0 а – в + с = 0, то х1 = – 1, х2 = – .
В итоге на доске открывается таблица:
Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
| Уравнение | Условие | Заключение | Пример |
| ах 2 + вх + с = 0 | х1 и х2 | х1 + х2 = – , х1 * х2 = | х1 = 7 +  ; х2 = 2 – |
х1 + х2 = 9; х1х2 = 11 – 5
, х1 * х2 = х1 = – 2, х2 = – 3
х1 = 1, х2 = 
х1 = – 1, х1 = – 
у1, у2
х2 = 
х1 = – 
, х2 = – 
;
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.
II. Решение интересных заданий с применением теоремы Виета. Классу задается на дом подобрать по три интересных задания. Самые интересные решаются на уроке. №1 и №2 решаются на доске одновременно. №1 решается с полным комментированием, класс работает с учеником, который решает №1. №2 ученик рассказывает основные моменты.
1. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения х 2 – 3e х? + 1 = 0.
 | х 2 + 3х + 1 = 0; | х1 + х2 = – 3; | х1 * х2 = 1; |
| х 2 – 3х + 1 = 0; | х3 + х4 = 3; | х1 * х2 = 1; |
х
+ х
+ х 
+ х 
+ х 
= (х1 + х2) 2 – 2х1х2 + (х3х4) 2 – 2х3х4 = 9 – 2 + 9 – 2 = 14.2. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х 2 – 7х + 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 
и 
.
Для составления квадратного уравнения с заданными корнями и воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета, для этого необходимо найти их сумму и произведение:
= 
= 
= 150,5 – = 
= 
= 2.
Искомое уравнение имеет вид
х 2 + 150,5 + 2 = 0 или 2х 2 – 301х + 4 = 0.
3. Корни уравнения х 2 – вх – в = 0 таковы, что х 
+ х 
+ хх = 7,5.
х
+ 
х
= (х
)(( х
– 3х
) + х
+ 3b) – b 3 = b 3 + 3b 2 – b 3 = 3b 2 = 75.4. Пусть х1и х2 корни уравнения 3х 2 + 14х – 4 = 0.
Установите, больше или меньше единицы значение дроби
.х1 + х2 = –
;х1 * х2 = – 
;
5. Для каких значений а разность корней уравнения 2х 2 – (а + 1)х + а + 3 = 0 равна единице?
х1 + х2 = 
= > 1 + х1 + х2 = 
х1 * х2 = 
= > 2х2 + 1 = = > х2 = 
.
х1 = 1 + 
х1 = 
= ;
а 2 + 3а – а – 3 – 8а – 24 = 0
III. Тест – самостоятельная по карточкам.
Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).
х 2 + (
А) 2; 
;
В)
; 
;
Г) нет правильных ответов.
В) х 2 + 
Г) х 2 + 
Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).
1) Решите уравнение:
А) 5; ;
Г) 
; 
.
В) х 2 + 
Г) х 2 + 
Проверка ответов через кодоскоп. Учащиеся меняются листочками с ответами, проверяют решение соседа и ставят оценку.
IV. Домашнее задание
Поменяться карточками с творческими заданиями.
Теорема Виета для квадратного уравнения
Основные понятия
Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Существует три вида квадратных уравнений:
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:
В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.
Формула Виета
Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:
Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:
Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.
Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.
Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:
Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>
Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>
Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>
Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:
Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.
Доказательство теоремы Виета
Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что следующие равенства верны
Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.
Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.
Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.
Мы доказали: x₁ * x₂ = c.
Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.
Обратная теорема Виета
Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:
Обратная теорема Виета
Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.
Докажем теорему, обратную теореме Виета
Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.
Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.
Примеры
Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.
Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.
Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>
Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.
Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>
Неприведенное квадратное уравнение
Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:
ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.