доказать что последовательность бесконечно малая

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Бесконечно большие последовательности

Следствие. Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.

Замечание 2. Обратное утверждение в общем случае неверно.

является неограниченной, но не является бесконечно большой. Покажем это.

Бесконечно малые последовательности

Замечание 3. Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной, но не наоборот.

Примеры решения задач

Задание	Доказать, что последовательность является бесконечно малой.
Доказательство	Зададим произвольное положительное число и найдем такой номер элемента этой последовательности, что для всех выполняется соотношение

Что и требовалось доказать.

Источник

Бесконечно малые последовательности – определение и свойства

Определение

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися последовательностями. Поэтому они обладают всеми их свойствами. Формулировки этих свойств и ссылки на страницы с доказательствами приведены на странице
Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Следующие свойства являются прямым следствием арифметических свойств, примененных к последовательностям, предел которых равен нулю.

Свойство суммы и разности бесконечно малых последовательностей

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Также линейная комбинация конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство предела суммы и разности числовых последовательностей.

Свойство произведения бесконечно малых последовательностей

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство предела произведения числовых последовательностей.

Следующие свойства относятся только к бесконечно малым последовательностям и не являются прямым следствием свойств сходящихся последовательностей.

Свойство произведения ограниченной последовательности на бесконечно малую

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство ⇓

Свойство представления сходящейся последовательности через бесконечно малую

Доказательства свойств

Свойство произведения ограниченной последовательности на бесконечно малую

Все свойства ⇑ Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Свойство представления сходящейся последовательности через бесконечно малую

Пример

Все примеры Используя определение предела последовательности доказать, что последовательность

является бесконечно малой.

Источник

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Бесконечно малые последовательности.

Последовательность \(\<\alpha_\>\) называется бесконечно малой, если
$$
\displaystyle \lim_\alpha_=0.\nonumber
$$

При изучении свойств сходящихся последовательностей нам потребуется ввести арифметические операции над последовательностями. Назовем суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей \(\\>\) и \(\\>\) соответственно последовательности \(\+y_\>\), \(\-y_\>\), \(\y_\>\), \(\/y_\>\). При определении частного предполагается, что \(y_n\neq 0\) для всех \(n\in\mathbb\).

Бесконечно малые последовательности обладают следующими свойствами:

Так как бесконечно малая последовательность ограничена, то из доказанного свойства следует, что произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Бесконечно большие последовательности.

Последовательность \(\\>\) называется бесконечно большой, если для любого \(\delta>0\) существует такой номер \(N_<\delta>\), что для всех \(n\geq N_<\delta>\) выполняется неравенство \(|x_|>\delta\). В этом случае пишут \(\displaystyle \lim_x_n=\infty\) и говорят, что последовательность имеет бесконечный предел.

Используя логические символы, это определение можно записать так:
$$
\displaystyle \ <\lim_x_=\infty\>\Leftrightarrow\forall\delta>0\ \exists N_<\delta>:\forall n\geq N_<\delta>\rightarrow|x_|>\delta.\label
$$
Дадим геометрическую интерпретацию определения \eqref. Назовем \(\delta\) — окрестностью \(\infty\) (рис. 5.1) множество \(E=\:|x|>\delta\>\). Если

Рис. 5.1

последовательность \(\\) имеет бесконечный предел, то в любой \(\delta\)-окрестности \(\infty\) лежат все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Аналогично вводятся для последовательности \(\\) понятия бесконечного предела, равного \(-\infty\) и \(+\infty\) Эти пределы обозначаются соответственно символами \(\undersetx_n=-\infty\) и определяются так:
$$
\<\undersetx_n=-\infty\>\Leftrightarrow\forall\delta>0 \ \exists N_<\delta>: \ \forall n\geq N_<\delta>\rightarrow x_ 0 \ \exists N_<\delta>: \ \forall n\geq N_<\delta>\rightarrow x_>\delta\label
$$

Множества \(E_1=\: \ x \delta\>\), где \(\delta > 0\), назовем \(\delta\)-окрестностями \(-\infty\) и \(+\infty\) соответственно (см. рис. 5.1). Тогда \(E=E_<1>\cup E_<2>\).

Согласно определению \eqref последовательность \(\\) имеет предел, равный \(+\infty\), если в \(\delta\)-окрестности символа \(+\infty\) содержатся все члены этой последовательности, за исключением, быть может, конечного числа их. Аналогичный смысл имеет определение \eqref.

В дальнейшем под пределом последовательности будем понимать конечный предел, если не оговорено противное.

Приведем примеры последовательностей, имеющих бесконечный предел:

Источник

Свойства бесконечно больших последовательностей

Формулировки свойств

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательности

Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности

Частное ограниченной и бесконечно большой последовательности

Если последовательность < β_n > бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность < x_n > ограничена, то
.
Доказательство ⇓

Частное ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Если абсолютные значения элементов последовательности < y_n > ограничены снизу положительным числом ( | y_n | ≥ K > 0 ), а < α_n > – бесконечно малая с неравными нулю членами, то
.
Доказательство ⇓

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей

Это свойство имеет два частных случая, которые доказываются аналогичным способом.

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Приведенные выше свойства выполняются, если последовательность ограничена, а последовательность абсолютных членов ограничена снизу положительным числом. При этом эти последовательности не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти последовательности будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы. Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Доказательство свойств

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностью

Первая часть свойства доказана.

Умножим первое неравенство (1.2) на положительное число :
.
Тогда вместо (1.2) имеем:
.
Подставим :
.

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательности

Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности

Частное ограниченной и бесконечно большой последовательности

Все свойства ⇑ Если последовательность < β_n > бесконечно большая, с неравными нулю членами, а последовательность < x_n > ограничена, то
.

Поскольку последовательность является бесконечно большой, то, согласно свойству 1, последовательность с членами является бесконечно малой. Но произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью. См. «Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую». Поэтому
.

Частное ограниченной снизу и бесконечно малой последовательностью

Все свойства ⇑ Если абсолютные значения элементов последовательности < y_n > ограничены снизу положительным числом ( | y_n | ≥ K > 0 ), а < α_n > – бесконечно малая с неравными нулю членами, то
.

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей

Источник

Предел последовательности – основные теоремы и свойства

Определение последовательности

Более подробно см. страницу Определение числовой последовательности >>>.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Арифметические действия с пределами

Свойства, связанные с неравенствами

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>>.
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.

Строго убывающая последовательность:
.
Неубывающая последовательность:
.
Невозрастающая последовательность:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Монотонная последовательность – это неубывающая или невозрастающая последовательность.

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Критерий Коши сходимости последовательности

Фундаментальная последовательность – это последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Критерий Коши сходимости последовательности. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Источник