доказать что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета
Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
теория по математике 📈 планиметрия
Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.
На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.
Свойства прямоугольного треугольника
На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:
Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:
Теорема Пифагора
Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Египетский треугольник
Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.
Пифагоровы тройки
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где 
– катеты, 
– гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь 
прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота 
прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус 
описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус 
вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Почему гипотенуза больше катета?
Почему в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше (или равна) катета?
В переводе с древнегреческого это слово означает натянутая. Скорее всего в древности что-то подобным образом натягивали. А равной катету гипотенуза быть не может. В этом случае один из катетов должен быть равен нулю. Но тогда это уже будет не треугольник, а просто прямой угол, с равными отрезками линий, отображающих этот угол.
Гипотенуза в прямоугольном треугольние лежит напротив самого большого угла в девяносто градусов. А два остальных угла дают столько же в сумме. А дальше для треугольников можно доказать, что чем больше угол, тем больше и сторона, напротив которой он расположен. Если треугольник вписать в круг, то самый большой угол будет опираться на самую большую дугу, а от этого и зависит размер хорды, которая Вляется стороной треугольника.
Чтобы лучше себе представить нужно нарисовать треугольник (он будет с одним прямым углом, который образован катетами).
Пусть этот треугольник стоит на одном из катетов. Можно прочертить воображаемую линию парралельную этому катету и проходящую через вершину, которая не соприкасается с этим катетом.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. со школы наизусть. Это одно из тех правил, которые запомнились навсегда.)))
Как известно, площадь круга вычисляется по формуле:
То есть нам в любом случае нужно знать радиус.
Существует специальная формула нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
В условии задачи даны только катеты, а для нахождения гипотенузы можно использовать теорему Пифагоа:
Например, катеты равны 3 и 4 см.
Найдём гипотенузу: √(3² + 4²) = √25 = 5 см.
Площадь круга будет равна:
C = πR² = 3,14 * 1 = 3,14 см².
Треугольник АВС, треугольник ЕНК.
Угол В = углу Н = 90*.
Длина катета в прямоугольном треугольнике равна корню из разности квадрата длины гипотенузы и квадрата длины второго катета.
В данном случае понятие «прилежащий» вообще ни к чему, поскольку катет может быть прилежащим (или противолежащим) только к углу, а углы для определения длины катетов знать совсем необязательно. Обычно их (то есть углы) используют в тригонометрии для определения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Если, конечно, я ничего не путаю, так как школу закончила лет эдак 20 назад.
Теорема Пифагора
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула Теоремы Пифагора выглядит так:
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Пошаговое доказательство:
a 2 + b 2 = c * HB + c * AH
a 2 + b 2 = c * (HB + AH)
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.
Дано: ∆ABC
Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
Обратная теорема доказана.
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?
значит c 2 = a 2 + b 2 = 6 2 + 10 2 = 36 + 100 = 136
Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?
Ответ: треугольник не является прямоугольным.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².
Доказательство
Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру
Нужно доказать, что c² = a² + b²:
Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:
Что и требовалось доказать.
«Пифагоровы штаны на все стороны равны»
Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора
На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.
Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):
Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).
Что и требовалось доказать.
Примеры
Задача 1
На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.
Подставить известные значения
Ответ: длина гипотенузы равна 5.
Задача 2
Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.
Подставить известные значения
Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5.
Следствия из теоремы Пифагора
Это основные следствия теоремы:
Кто придумал теорему Пифагора
Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).
Узнайте также, что такое Теорема Виета и Аксиома.