докажите что биссектриса треугольника отрезок
Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.
Определение биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.
Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.
Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):
Свойство 2
Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.
Свойство 3
Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).
Свойство 4
Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):
BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC
Свойство 5
Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.
Пример задачи
Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.
Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):
Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29
Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.
Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.
Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство
Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:
 |
Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:
Построим следующее соотношение
С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:
Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):
Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).
Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).
 |
Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:
Построим следующее соотношение
Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).
Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):
 |
Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:
Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.
 |
Из равенств (14) и (15) получаем:
Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.
Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:
Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:
 |
Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:
Биссектриса угла
Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы угла треугольников и других фигур.
Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек…
Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ЕГЭ!
Биссектриса угла — коротко о главном
Биссектриса угла — это линия, делящая угол пополам.
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
Теорема 1. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
Теорема 3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
Теорема 4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.
Теорема 5. Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.
Теорема 6. Отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.
А теперь подробнее…
Определение биссектрисы угла
Помнишь шутку: «Биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам»?
Так вот, настоящее определение биссектрисы угла очень похоже на эту шутку — биссектриса действительно делит пополам угол (а не отрезок, например):
Биссектриса угла – это линия, делящая угол пополам.
Или еще вот такое определение биссектрисы:
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.
А вот определение биссектрисы треугольника:
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.
Биссектриса равнобедренного треугольника
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.
Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:
Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Мы скоро докажем обе этих теоремы, а пока твердо запомни:
Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!
Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь?
А вот представь, что у тебя задача:
Дано: \( AB=5,
Найти: \( \displaystyle BC. \)
Ты тут же соображаешь, \(\displaystyle BD \) биссектриса и, о чудо, она разделила сторону \( \displaystyle AC \) пополам! (по условию…).
Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что AB=BC и значит, пишешь ответ: BC=5.
Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!
Доказательство теорем о совпадении биссектрисы с медианой и высотой в равнобедренном треугольнике
Почему в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?
Смотри: у \( \triangle ABL \) и \( \triangle CBL \) равны стороны \( AB \) и \( BC \), сторона \( BL \) у них вообще общая и \( \angle 1=\angle 2\). (\( BL \) – биссектриса!)
И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.
Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что \( \triangle ABL=\triangle CBL \), а значит \( AL \)= \( CL \) и \( \angle 3=\angle 4 \).
\( AL \) = \( CL \) – это уже хорошо – значит, \( BL \) оказалась медианой.
А вот что такое \( \angle 3=\angle 4 \)?
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Будет немного сложнее, но пока мы отвлечемся на термины — повторим что такое биссектриса, медиана и высота, чем они похожи и чем они отличаются.
Биссектриса, медиана, высота — определения и отличия
Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Чем они отличаются друг от друга?
Если нет, не страшно. Сейчас разберемся.
Чем биссектриса, медиана и высота похожи между собой?
Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной.
Чем биссектриса, медиана и высота отличаются между собой?
Вернемся к нашим баранам — к свойствам биссектрисы…
Угол между биссектрисами любого треугольника
B \( \triangle ABC \)проведем две биссектрисы \( AO \)и \( OC \).
Они пересеклись. Какой же угол получился у точки \( O \)?
Применим этот потрясающий факт. С одной стороны, из \( \triangle ABC \):
\( \angle A+\angle B+\angle C=180<>^\circ \), то есть \( \angle B=180<>^\circ \text< >-\text< >\left( \angle A+\angle C \right) \).
Теперь посмотрим на \( \triangle AOC \):
\( \angle 2+\angle 6+\angle 3=180<>^\circ \)
Но биссектрисы, биссектрисы же!
Значит \( \left( \triangle AOC \right) \)
Теперь через буквы
Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!
Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три?! Пересекутся ли они все в одной точке?
Элементы треугольника. Биссектриса
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.
Свойства биссектрисы
1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.
2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (
)
3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.
4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
(доказательство формулы – здесь) 
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне 
,
— стороны треугольника против вершин 
соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,
Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.
Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1
Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Свойство биссектрисы треугольника
Рассмотрим свойство биссектрисы треугольника с доказательством и задачу на применение свойства.
Теорема (Свойство биссектрисы треугольника)
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
Дано: ∆АВС, АР — биссектриса.
I. Если АС=АВ, то биссектриса АР является также медианой, СР=ВР, и
1) Опустим перпендикуляры BN и CF на луч AP.
2) Прямоугольные треугольники ABN и ACF подобны по острому углу (∠BAP=∠CAP, так как AP — биссектриса ∠BAC (по условию)), следовательно,
3) Прямоугольные треугольники BNP и CFP подобны по острому углу (∠BPN=∠CPF (как вертикальные)), следовательно,
Если средние члены пропорции поменять местами, пропорция останется верной, поэтому
Что и требовалось доказать.
Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.
Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.
По свойству биссектрисы треугольника:
Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:
откуда по основному свойству пропорции
4 Comments
Интересный сайт. Очень полезный материал по геометрии. Вот только чертежи мелковаты, нужно бы сделать по-крупнее или сделать возможность увеличения. Автору спасибо за грандиозный труд.
Спасибо, Сергей! Чертежи делались не очень крупными, чтобы не увеличивать время загрузки. Планов еще много. Жаль, что в сутках только 24 часа)).
Вопрос: я кое-где прочитал, что это соотношение меньше еденицы, это так? Если да, то почему?
Извините за беспокойство, я уже понял, почему, а, вернее, то был частный случай.