докажите что число не может быть полным квадратом натурального числа

До этого была аналогичная задача с числом 3959604. Но для этого числа все просто. Берем число, делим сначала на наименьшее простое, т.е. 2 (проверяя предварительно признак делимости). Получаем частное. Частное опять проверяем на признак делимости на 2. Если нет. То проверяем, делится ли частное на следующее простое, т.е. 3. Если делится, делим. И т.д. В итоге получаем разложение на простые 3959604 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 * 11 * 11 * 101. Воспользуемся свойством. Квадрат любого целого числа содержит четное число простых сомножителей (все его простые множители имеют чётные кратности). Поэтому число 3959604 не может быть квадратом целого.

задан 6 Дек ’20 22:27

остаток от деления на 3 равен 2. а такого не бывает для полных квадратов.

@vadimm: число, оканчивающееся на 06, чётно, но не делится на 4. То есть числа вида 4n+2 квадратами не являются. Это соображение вполне годится для пятиклассника.

Второй вопрос существенно сложнее, так как там надо что-то считать. Но в принципе идея вполне понятная. Там ещё работает идея рассмотрения остатков от деления на 7, но это уже для классов постарше.

Спасибо. Но почему так получается это нужно доказать. Как это объяснить 5-ти класснику? Тут методический и педагогический вопрос.

@falcao, спасибо. Но вот не очень понятно. Числа вида 4n+2 и 23579006. Почему не является?

то есть остатка 2 у квадратов не получается.

Если брать эти свойства, то ребенку надо будет доказывать, наверное. Квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей. Квадрат числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.

Для 3959604. Делится на 9. Но квадратом не является.

Не понятно. Почему это число вида 4n+2? Как ребенок должен понять, догадаться?

Забудьте про 4n+2. Каждое простое должно входить четное число раз. Если выделили какое-то одно, в данном случае 2, то число должно делиться на него четное число раз. Если нашли простое число, которое не входит четное число раз, то точно не квадрат. Полное разложение на простые не нужно.

@spades, кажется, понял. Число 23579006 делится на 2 (определяем по признаку делимости на 2). Делим 23579006 на 2. Получаем 11789503. Смотрим по признаку делимости делится ли 11789503 опять на 2. Нет. Дальше можно не продолжать. Так как сомножитель 2 будет всего один, а нужно чтобы было четное количество каждого сомножителя. Доказательство завершено. Так?

Источник

Докажем, что, если остаток от деления числа на 9 есть 2, 3, 5, 6, 8, то это число не может быть квадратом целого числа.

Решение: Рассмотрим классы чисел, на которые разбивается множество целых чисел при делении на 9.

9k±1 (9k±1) =81 k ±2×9k+1=9(9k ±2k)+1

9k±2 (9k±2) =81 k ±4×9k+4=9(9k ±4k)+4

9k±3 (9k±3) =81 k ±3×9k+9=9(9k ±2k)+1

9k±4 (9k±4) =81 k ±4×9k+16=9(9k ±4k+1)+7

9k (9k) =9×9k

При делении на 9 целые числа, являющиеся полными квадратами дают в остатке числа 0, 1, 4, 7. Следовательно, числа, дающие в остатке 2, 3, 5, 6, 8 не могут являться квадратами целых чисел.

Делимость

При решении задач на делимость следует знать основную теорему арифметики:натуральное число раскладывается на произведение простых множителей единственным образом, с точностью до порядка множителей, а так же признаки делимости.

Признак делимости на 2. Число n делится на 2 в том и только в том случае, если его последняя цифра делится на 2.

Признак делимости на 4.Число n делится на 4 в том и только в том случае, если на 4 делится число, образованное из двух последних цифр числа n.

Признак делимости на 8.Число n делится на 8 в том и только в том случае, если на 8 делится трёхзначное число, образованное из трёх последних цифр числа n.

Если внимательно рассмотреть признаки делимости на 2,4,8, то можно найти признак делимости на 2 m (m=1,2,3,…): число n делится на 2 m в том и только в том случае, если на 2 m делится m-значное число, которое образуют m последних цифр числа n.

Признак делимости на 5.Число n делится на 5 в том и только в том случае, если его последняя цифра 0 или 5.

Признак делимости на 3. Число n делится на 3 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9. Число n делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 7.Число n делится на 7 в том и только в том случае, если на 7 делится число p=n +3n +2n -(n +3n +n )+…,где n –последняя цифра числа n, n –предпоследняя цифра числа и так далее.

Признак делимости на 11.Число n делится на 11 в том и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, отличается от суммы его цифр, стоящих на чётных местах, на величину кратную 11.

(n + n + n +…)-( n +n + n +…) делится на 11, то число n делится на 11.

Признак делимости на 13.Число n делится на 13 в том и только в том случае, если на 13 делится число l, полученное из n зачёркиванием последней цифры и прибавлением к получённому числу учетверённое значения зачеркнутой цифры.

Комбинируя уже известные признаки делимости, можно узнать, делится ли данное число на 6, 10, 12, 14, 15 и так далее.

Пример1.

Докажите, что произведение любых трех последовательных чисел делится на 6.

Среди трех последовательных чисел есть как минимум одно четное и одно, делящееся на 3. Значит, их произведение разделится на 6.

Пример 2.

Каково наименьшее натуральное N такое, что N! делится на 770?

Решение.

770=7·11·10, значит N! делится на 11. Наименьшее выражение, содержащее множитель 11, будет 11!, в это произведение будут входить и 7, и 10.

Принцип Дирихле

Разговор об олимпиадных задачах мы начинали с решения

занимательных задач. Для учащихся 5-6 классов очень важен этот

«занимательный» подход. Начнем с рассмотрения забавного

перевода С. Я. Маршака одного шутливого английского стихотворения:

Их было десять чудаков,

Тех путников усталых,

Что в дверь решили постучать

Таверны «Славный малый».

— Пусти, хозяин, ночевать,

Не будешь ты в убытке,

Нам только ночку переспать,

Промокли мы до нитки.

Хозяин тем гостям был рад,

Да вот беда некстати:

Лишь девять комнат у него,

И девять лишь кроватей.

— Восьми гостям я предложу

Постели честь по чести,

А двум придется ночь проспать

В одной кровати вместе.

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица:

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго,

Просил пройти он в номер «А»

И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,

В «Г» спал всю ночь наш пятый,

В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег

С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А»,

Где ждали его двое,

Он ключ от «И» вручить был рад

Хоть много лет прошло с тех пор,

Как смог хозяин разместить

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что, как и почему,

Вы постарайтесь сами.

Внимательный читатель сразу заметит, что первого и второго

путников в тексте сначала поместили в комнату «А», а потом одного из

них невольно перебросили в десятую комнату, одного и того же

человека подсчитали два раза.

Гораздо проще задача может быть пояснена при помощи

математик, иностранный член многих иностранных академий наук).

Представим этот принцип в такой шутливой форме:

«Если в N клетках сидят не менее N+ I кроликов, то в какой-то

из клеток сидит не менее двух кроликов».

клеток», «не менее». Это является, пожалуй, отличительной чертой

принципа Дирихле, которая иногда приводит к возможности неожиданных

выводов на основе, казалось бы, совершенно недостаточных сведений.

Доказательство самого принципа чрезвычайно просто, в нем

используется тривиальный подсчет кроликов в клетках. Если бы в

каждой клетке сидело не более одного кролика, то всего в наших N

клетках сидело бы не более N кроликов, что противоречило бы

условиям. Таким образом, мы доказали принцип Дирихле методом

Задача 1. В мешке лежат шарики двух цветов: черного и белого.

Какое наименьшее число шариков нужно достать из мешка

вслепую, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

Решение. Достаем из мешка 3 шарика. Если среди этих шариков

противоречит тому, что мы достали три шарика. С другой стороны,

понятно, что двух шариков может и не хватить. Ясно, что кроликами в

этой задаче являются шарики, а клетками — цвета: черный и белый.

Задача 2. Доказать, что среди п + 1 целого числа можно выбрать

два, разность которых делится на п.

Решение. При делении на п любое число дает в остатке одно из

Поэтому среди п +1 числа найдутся два, дающие одинаковые

остатки при делении на п. Разность этих чисел делится на п.

Обобщенный принцип Дирихле

Если в N клетках сидят не менее kN + 1 кроликов, то в какой-то

из клеток сидит по крайней мере к + 1 кролик.

Задача 3. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными

сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Доказать,

что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и

Решение. 25 ящиков-«кроликов» рассадим по трем

клеткам-сортам. Так как 25 = 3 х 8 + 1, то применим «обобщенный принцип

Дирихле» для N= 3, к = 8 и получим, что в какой-то клетке-сорте

Задача 4. Дано 8 различных натуральных чисел, каждое из

которых не больше 15. Докажите, что среди их положительных попарных

разностей есть три одинаковых.

Решение. При решении этой задачи встречается, казалось бы,

непреодолимое препятствие. Различных разностей может быть 14 —

от 1 до 14 — это те же 14 клеток, в которые мы будем сажать

кроликов. Кто же будет нашими кроликами? Ими, конечно, должны

быть разности между парами данных нам натуральных чисел.

Однако имеется 28 пар и их можно рассадить по 14 клеткам так, что в

каждой клетке будет сидеть ровно два «кролика» (и значит, в

каждом меньше трех). Здесь необходимо использовать дополнительное соображение: в клетке с номером 14 может сидеть не более одного

кролика, ведь число 14 может быть записано только как разность

двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним

способом: 14 = 15 — 1. Значит, в оставшихся 13 клетках сидят не менее 27

«кроликов» и применение обобщенного принципа Дирихле дает

нам желаемый результат.

Примечание. Заметим, что у нас в основе принципа Дирихле

лежала идея сложения неравенств.

Следствие. Если сумма п чисел равна S, то среди них есть как

Графы

Определение. Под графом мы будем понимать картинку,

адекватно описывающую задачу. При этом элементы множеств, как

правило, показываются точками. Желательно, чтобы при решении точки

не лежали на одной или паре прямых. Точки при этом называются

вершинами графа, а линии, соединяющие эти точки, — ребрами.

Отметим, что точки могут соединяться произвольными (не

обязательно прямыми) линиями.

Поясним понятие графа на примере нескольких задач.

Пример 1. Между 9 планетами Солнечной системы введено

космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам:

Сатурн — Юпитер, Юпитер — Марс и Марс — Уран. Можно ли

добраться (возможны пересадки) с Земли до Марса?

Решение. Нарисуем схему: планетам будут соответствовать

Сделав набросок рисунка маршрутов, мы нарисовали граф,

соответствующий условию задачи. Видно, что все планеты

Солнечной системы разделились на две не связанных между собой

Долететь с Земли до Марса нельзя.

Пример 2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены

авиалинией тогда и только тогда, когда двузначное число,

составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли из

города 1 добраться в город 9?

Решение. Покажем возможные маршруты, нарисовав граф

И в этой задаче 1 и 9 попали в две разных части графа. Ясно, что в

правой части графа сгруппировались города-цифры нацело делящиеся на

3, а в левой части графа ребра соединяют две цифры: одну — делящуюся

на 3 с остатком 1, а другую — делящуюся на 3 с остатком 2.

Примечание. Отметим, что один и тот же граф можно нарисовать

по-разному. Если учащиеся одного класса нарисуют графы к одной

задаче, то мы можем получить столько графов, сколько учащихся

их рисовали. Нарисованные по-разному графы (если они нарисованы

без ошибок) принято называть изоморфными. Любой читатель

может нарисовать бесконечное множество изоморфных графов.

Правило. Для подсчета числа ребер графа необходимо

просуммировать степени вершин и полученный результат разделить на два.

Следствие. Сумма степеней всех вершин графа должна быть

четной (иначе ее нельзя было бы разделить на 2 нацело).

Определение. Вершина графа, имеющая нечетную степень

называется нечетной, а имеющая четную степень — четной.

Теорема. Число нечетных вершин любого графа — четно.

Для доказательства этой теоремы остается заметить, что сумма

нескольких целых чисел четна тогда и только тогда, когда

количество нечетных слагаемых четно.

Источник

Докажите что число не может быть полным квадратом натурального числа

Задача 15:

Найдите остатки от деления

а) 1989 • 1990 • 1991 + 1992³ на 7;

Решение:

Ответ: а) 0; б) 1, так как 9 дает остаток 1 при делении на 8.

Задача 16:

Докажите, что n³ + 2n делится на 3 для любого натурального n.

Решение:

Число n может давать при делении на 3 один из трех остатков: 0, 1, 2. Рассмотрим три случая.

Если n дает остаток 0, то и n³ и 2n делятся на 3 и поэтому n³ + 2n также делится на 3.

Если n дает остаток 1, то n³ дает остаток 1, 2n – остаток 2, а 1 + 2 делится на 3.

Если n дает остаток 2, то n² дает остаток 1, n³ – остаток 2, 2n – остаток 1, а 2 + 1 делится на 3.

Задача 17:

Докажите, что n 5 + 4n делится на 5 при любом натуральном n.

Решение:

Указание: Переберите остатки от деления на 5.

Задача 18:

Докажите, что n² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.

Решение:

Переберите остатки от деления на 3.

Задача 19:

Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.

Решение:

Переберите остатки от деления на 9.

Задача 20:

Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечетном n.

Решение:

Указание: Докажите, что указанное число делится и на 3, и на 8.

Задача 21:

а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.

б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Решение:

Указание: Докажите, что указанные числа делятся и на 3 и на 8.

Задача 22:

Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Решение:

Если ни x, ни y не делятся на 3, то x² и y² дают остаток 1 от деления на 3. Таким образом, их сумма имеет остаток 2 от деления на 3. Но z² не может иметь такого остатка.

Задача 23:

a и b – натуральные числа, причем число a² + b² делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

Решение:

Проверьте, что и a и b делятся и на 3 и на 7.

Задача 24:

a, b, c – натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.

Решение:

Проверьте, что числа x³ и x имеют одинаковые остатки от деления на 6.

Задача 25:

Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: p = p, q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.

Решение:

Если d – нечетно, то среди чисел p и q есть четное, что невозможно. Если d не делится на 3, то среди чисел p, q и r есть делящееся на 3, что тоже невозможно.

Задача 26:

Докажите, что сумма квадратов трех натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.

Решение:

Выясните возможные остатки квадратов при делении на 8.

Задача 27:

Сумма трех натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Решение:

Возможные остатки квадратов от деления на 9: 0, 1, 4, 7. Проверьте, что если сумма трех из них делится на 9, то среди них есть два одинаковых.

Задача 28:

Решение:

Так как при нахождении последней цифры очередной степени числа 9 достаточно умножить на 9 лишь последнюю цифру предыдущей степени, то ясно, что за 9 следует 1 (9 • 9 = 81), а за 1 – 9 (1 • 9 = 9).

Таким образом, нечетные степени девятки оканчиваются на 9. Поэтому последняя цифра числа 1989 1989 – девятка.

Задача 29:

Решение:

Выпишем последние цифры нескольких начальных степеней двойки: 2, 4, 8, 6, 2, …. Мы видим, что 2 5 так же, как и 2¹, оканчивается на 2. Поскольку очередная цифра полностью определяется последней цифрой предыдущей степени, то произойдет «зацикливание»: 2 6 (как и 2²) оканчивается на 4, 2 7 (как и 2³) – на 8, 2 8 – на 6, 2 9 – на 2 и т.д. Поскольку длина цикла равна 4, то последняя цифра числа 2 50 определяется остатком от деления числа 50 на 4. Так как он равен 2, то последняя цифра числа 2 50 совпадает с последней цифрой числа 2², то есть равна 4.

Задача 30:

Решение:

Задача 31:

Найдите остаток от деления 2¹ºº на 3.

Решение:

Выпишите остатки от деления на 3 нескольких начальных степеней двойки. Докажите, что здесь происходит «зацикливание».

Задача 32:

Найдите остаток от деления 3 1989 на 7.

Решение:

Задача 33:

Докажите, что 2222 5555 + 5555²²²² делится на 7.

Решение:

Вычислите остаток от деления этого числа на 7 и убедитесь, что он равен нулю.

Задача 34:

Найдите последнюю цифру числа .

Задача 35:

а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.

б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.

Решение:

Рассмотрите остатки от деления на 3. Одно из этих чисел делится на 3. а) p = 3; б) p = 3.

Задача 36:

p и 8p² + 1 – простые числа. Найдите p.

Решение:

Задача 37:

p и p² + 2 – простые числа. Докажите, что p³ + 2 – также простое число.

Решение:

Задача 38:

Докажите, что не существует натуральных чисел a и b таких, что a² – 3b² = 8.

Решение:

Рассмотрите остатки по модулю 3.

Задача 39:

а) Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

б) Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом целого числа?

Решение:

Проверьте, что остаток квадрата нечетного числа от деления на 4 равен 1, а остаток квадрата четного числа – 0.

Задача 40:

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

Решение:

Проверьте, что остаток квадрата нечетного числа от деления на 4 равен 1, а остаток квадрата четного числа – 0.

Задача 41:

p, 4p² + 1 и 6p² + 1 – простые числа. Найдите p.

Ответ: p = 5. Рассмотрите остатки при делении на 5.

Задача 42:

Докажите, что число 100 … 00500 … 001 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

Решение:

Это число дает остаток 7 от деления на 9.

Задача 43:

Докажите, что a³ + b³ + 4 не является кубом целого числа ни при каких натуральных a и b.

Решение:

Выясните, какой остаток может давать число a³ + b³ + 4 от деления на 9.

Задача 44:

Докажите, что число 6n³ + 3 не является шестой степенью целого числа ни при каком натуральном n.

Решение:

Выясните, какой остаток может давать число 6n³ + 3 от деления на 7.

Задача 45:

x, y, z – натуральные числа, причем x² + y² = z². Докажите, что xy делится на 12.

Решение:

Если ни одно из чисел x, y не делится на 3, то z² дает остаток 2 при делении на 3, что невозможно. Заметьте теперь, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1, квадрат четного числа, не делящегося на 4, – остаток 4, квадрат числа, делящегося на 4, – остаток 0. Докажите, что либо x и y оба четны, либо среди них есть число, кратное 4.

Источник