докажите что если сторона одного равностороннего треугольника

Признаки равенства треугольников

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной

Что такое равносторонний треугольник, площадь равносторонних треугольников, равносторонние треугольники примеры.

Если все углы треугольника равны то, то это равносторонний треугольник и все стороны у такого треугольника равны.

Всё о равностороннем треугольнике!

Что такое равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.

На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.

Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:

Равносторонний треугольник называют еще правильным.

Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?

Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?

Нет!? Не угадал. жаль.

Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :

180° разделить на 3.

Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны.

Равносторонний треугольник максимальный угол

Высота равностороннего треугольника

Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ «a», то формула звучит так :

Высота равностороннего треугольника формула через сторону

Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую.

И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :

И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.

И далее мы можем получить угол между высотой «h» и стороной «a».

И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены.

. и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора

c² = a² + b² a² = a² 2² + h² = a² 4 + h²

Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :

высоту оставляем одну слева и получаем:

И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны.

И далее получаем

Площадь равностороннего треугольника

Какая формула для площади равностороннего треугольника!?

Площадь равностороннего треугольника равна : корень из 3 деленное на 4, умноженное на сторону в квадрате:

Выше мы уже доказали, чему равна высота. возьмем одну сторону треугольника на высоту h.

Вторая сторона будет равна а/2

И далее нам нужно умножить высоту на сторону, поделив на 2. По правилу вычисления площади прямоугольного треугольника.

Мы получаем предварительный результат:

И поскольку у нас два таких треугольника, то правую сторону надо умножить на 2, две двойки сокращаются.

И далее заменим высоту из выше пройденного пункта:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :

Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?

Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?

Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)

Отсюда мы получаем, что :

Подставляем ранее выведенную высоту

r = 1 3 * √ 3 2 a = √ 3 6 a

Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Не будем здесь доказывать, что два треугольника «ABM» и «AOK» подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент «Х».

Из этого мы можем создать зависимость:

«AK» и «BM» равны одному и тому же а/2.

Далее мы можем записать эту зависимость как :

Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:

Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :

В последней дроби заменяем «h» на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)

r = а 2 * а 2 * 1 h = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а

r = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а

И в итоге получаем :

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:

Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.

Решение задачи :

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :

То стороны у этого треугольника будут равны между собой.

И одна из сторон совпадает со стороной квадрата.

Поэтому сторона » AB » равна стороне квадрата » BC » и стороне » BE «

Но » BE » не равна » BD «. Катет всегда будет меньше гипотенузы.

Если » BE » не равно » BD «, то » BD » не равно » AB «, что означает, что точка B не находится в середине отрезка » AD «.

Отсюда мы делаем вывод :

Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!

Периметр равностороннего треугольника формула

Напишите «формулу периметра равностороннего треугольника»:

Обозначается периметр буквой P

Поскольку все стороны у равностороннего треугольника равны,

то периметр равностороннего треугольника будет равен :

3 умноженное на сторону а треугольника:

Формула периметра равностороннего треугольника

Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:

Но такого написания, я никогда не встречал.

Задача : найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

Известна сторона «CB» вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника «AM».

В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :

Сторона «AB» равна стороне квадрата «BC» и стороне «BE»

Поэтому, высота «AN» маленького треугольника будет равна :

И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :

Задача : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Известна площадь равностороннего треугольника «S», требуется узнать его сторону «а».

Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!

Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!

Нам всего-то навсего нужно выразить сторону «а» через «S»

Умножаем обе стороны на

Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:

Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :

Преобразуем еще раз:

Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.

Задача : если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

Повстречал вот такой поисковый запрос :

«если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний«

Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:

Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности

А почему, вы узнаете дальше.

Для доказательства данного утверждения нам понадобится :

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь :

Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить.

После этого, смотрим, что можно сократить

Сокращаются квадратный корень из 3.

6 и 3, сокращаются только на 3. Сверху остается 2.

Источник