Ширина треугольника что это
Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
Типы треугольников
По величине углов
По числу равных сторон
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Медианы треугольника
Свойства медиан треугольника:
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
Биссектрисы треугольника
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2 bc cos α 2 b + c
lb = 2 ac cos β 2 a + c
lc = 2 ab cos γ 2 a + b
Высоты треугольника
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Окружность вписанная в треугольник
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
Окружность описанная вокруг треугольника
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
R = S 2 sin α sin β sin γ
R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Средняя линия треугольника
Свойства средней линии треугольника
MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC
MN || AC KN || AB KM || BC
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон
Формулы площади треугольника
Формула Герона
Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Подобие треугольников
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Треугольник
Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.
Типы треугольников
По величине углов
Остроугольный треугольник
— все углы треугольника острые.
Тупоугольный треугольник
— один из углов треугольника тупой (больше 90°).
Прямоугольный треугольник
— один из углов треугольника прямой (равен 90°).
По числу равных сторон
Разносторонний треугольник
— все три стороны не равны.
Равнобедренный треугольник
Равносторонний (правильный) треугольник
— все три стороны равны.
Вершины, углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin α = b sin β = c sin γ
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Формулы сторон через медианы
Медианы треугольника
Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медиан треугольника
S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
Биссектрисы треугольника
Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.
Свойства биссектрис треугольника
Угол между l c и l c ‘ = 90°
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны
где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол
l a = 2 b c cos α 2 b + c
l b = 2 a c cos β 2 a + c
l c = 2 a b cos γ 2 a + b
Высоты треугольника
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
Формулы высот треугольника через сторону и угол
h a = b sin γ = c sin β
h b = c sin α = a sin γ
h c = a sin β = b sin α
Формулы высот треугольника через сторону и площадь
Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
Окружность вписанная в треугольник
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру
Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны
Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
Окружность описанная вокруг треугольника
Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Свойства углов
Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
Радиус описанной окружности через три стороны и площадь
Радиус описанной окружности через площадь и три угла
Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то
Радиус описанной окружности через площадь и три угла
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника
Признаки
Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.
Формулы площади треугольника
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.
где a, b, c — стороны треугольника,
ha, hb, hc — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.
Формула площади треугольника по трем сторонам
где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Равенство треугольников
Определение
Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.
Свойства
У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).
Признаки равенства треугольников
По двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
По стороне и двум прилежащим углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
По трем сторонам
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Подобие треугольников
Определение
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.
где k — коэффициент подобия.
Признаки подобия треугольников
Свойства
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Прямоугольные треугольники
Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Свойства прямоугольного треугольника
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.
Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.
Свойства
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Геометрия. Урок 3. Треугольники
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение треугольника
Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.
Виды треугольников
Основные свойства треугольника:
Отрезки в треугольнике
Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.
Свойства биссектрис треугольника:
Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Свойства медиан треугольника:
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.
Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.
Площадь треугольника
Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.
Свойства равноберенного треугольника:
Равносторонний треугольник
Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4
Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2
Прямоугольный треугольник
Свойства прямоугольного треугольника:
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками
Геометрическая фигура: треугольник
В данной публикации мы рассмотрим определение, классификацию и свойства одной из основных геометрических фигур – треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.
Определение треугольника
Треугольник – это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из трех сторон, которые образованы путем соединения трех точек, не лежащих на одной прямой. Для обозначения используется специальный символ – △.
Углы можно, также, обозначать с помощью специального знака “∠“:
Классификация треугольников
В зависимости от величины углов или количества равных сторон выделяют следующие виды фигуры:
1. Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°.
2. Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
3. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и AC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (BC).
4. Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
5. Равнобедренный – треугольник, имеющие две равные стороны, которые называются боковыми (AB и BC). Третья сторона – это основание (AC). В данной фигуре углы при основании равны (∠BAC = ∠BCA).
6. Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
Свойства треугольника
1. Любая из сторон треугольника меньше двух оставшихся, но больше их разности. Для удобства примем стандартные обозначения сторон – a, b и с. Тогда:
Это свойство применяется для проверки отрезков на предмет того, могут ли они образовывать треугольник.
2. Сумма углов любого треугольника равняется 180°. Из этого свойства следует, что в тупоугольном треугольнике два угла всегда являются острыми.
3. В любом треугольнике напротив большей стороны находится больший угол, и наоборот.
Примеры задач
Задание 1
В треугольнике известны два угла – 32° и 56°. Найдите значение третьего угла.
Задание 2
Даны три отрезка длиной 4, 8 и 11. Выясните, могут ли они образовать треугольник.
Решение
Составим неравенства для каждого из заданных отрезков, исходя из свойства, рассмотренного выше:
11 – 4
Свойства треугольников.
Меню
Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете.
Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.
Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.
Обозначения в треугольнике..
Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).
Виды треугольников:
Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
(по числу равных сторон)
(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).
Рассмотрим рис. ниже.
Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.
Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)
Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:
Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
Сумма углов треугольника равна 180 ° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).
Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.
Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.
Признаки равенства треугольников:
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:
1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.
Подобные треугольники.
Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.
Признаки подобия треугольников:
Свойства подобных треугольников.
Подобие в прямоугольных треугольниках.
Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:
1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.
2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Теорема Пифагора.
Теоремы синусов и косинусов.
Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:
Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Основные линии треугольника.
Медиана.
Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойства медиан треугольника.
Биссектриса
Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрисы угла треугольника
Высота треугольника
Свойства высот треугольника
Срединный перпендикуляр
Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).
В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.
Свойства срединных перпендикуляров треугольника.
1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Средняя линия
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Формулы площади треугольника
a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.
