Что такое экспонента простыми словами
Экспонента в математике – это функция «y=ex», которая отражает непрерывный рост с коэффициентом. В этой функции «е» – это число Эйлера, которое представляет собой постоянную (
2,72). Говоря иначе, рост любой величины прямо пропорционален ее значению.
Допустим, мы слепили снежный ком и спустили его с горы. Он начинает катиться, одновременно наращивая объем. При этом чем больше он становится, тем выше скорость его движения. И наоборот: чем быстрее он катится, тем быстрее увеличивается в размерах. Получается, что масса и скорость снежного кома (y) экспоненциально возрастают со временем (x).
Экспонента в жизни. Экспоненциальный рост
Рассмотрим примеры экспоненты и экспоненциального роста в реальной жизни.
Вклад в банке под процент. У всех процессов, идущих по экспоненте, есть одна особенность: за одно и то же количество времени их параметры меняются одинаковое количество раз.
Например, вклад в банке каждый год увеличивается на определенное количество процентов. Если положить 1000 рублей в банк под 10% годовых, то через год вклад будет составлять 1100 рублей. А в следующем году 10% будут начисляться уже исходя из суммы в 1100 рублей. То есть, вклад вырастет сильнее, и так размер прироста будет увеличиваться из года в год.
Численность животных. Чем больше популяция животных, тем больше они размножаются. Соответственно, рост численности популяции прямо пропорционален количеству особей в ней.
Чем экспоненциальный рост отличается от линейного?
Линейный рост характеризуется стабильным прибавлением постоянной, а экспоненциальный рост – это следствие многократного умножения на постоянную. То есть если линейный рост на графике представляет собой стабильную линию, то экспоненциальный рост характеризуется быстрым взлетом.
В качестве примера можно привести обычную ходьбу. Если длина одного шага составляет 1 метр, то через 6 шагов человек преодолевает расстояние в 6 метров. Это и называется линейным ростом.
При экспоненциальном росте длина каждого шага в нашем примере увеличивается в 2 раза. То есть сначала человек шагает на 1 метр, потом на 2 метра, потом на 4 метра и так далее. В таком случае за 6 шагов можно пройти 32 метра, что гораздо больше, чем в предыдущем примере.
Экспоненциальный рост
Журналисты, блогеры и диванные эксперты… Все используют фразы «экспоненциальный рост», а кто по проще «рост по экспоненте». Кое-кто, наверное, даже помнит, что такое экспонента, но вряд ли сможет объяснить простыми словами. Что же, пришла пора разобраться то, чем мы так часто пользуемся. Возможно, все совсем не так…
Экспонента
Здесь все просто (но это только пока). Многие считают, что экспонента это просто число е=2,718281828459045235360287. Конечно, это не так. Это самое число e, называется числом Эйлера, оно трансцендентно и иррационально, что звучит красиво и загадочно, но экспонента, не число, а функция.
Те, кто немного дружил с математикой в школе сразу заметят интересную особенность этой функции. Ее основанием является не отрицательное число, а значит, она будет всегда возрастать.
При х=0 у=1, при х=1, у=2,718, при х=2 y=7,39…. Ну а при х=10, у=22 026,5
Значение функции растет и растет явно очень быстро. Стремительно и неудержимо.
Экспоненциальный рост
Что такое экспоненциальный рост? Простыми словами, это такой рост, при котором, чем больше вырастят какое-либо значение, тем больше ускоряется его рост. То есть, со временем растет не только значение, но и сама скорость его роста.
А это, иными словами, означает, что значение переменной функции и скорость ее роста находятся в прямо пропорциональной зависимости. То есть, если значение увеличиться два раза, скорость роста увеличится тоже в 2 раза.
В конечном итоге, экспоненциальный рост — самый быстрый.
На самом деле, все вышесказанное касается любой показательной функции, а не только экспоненты.
Основанием может быть любое не отрицательное число, хоть два, хоть три, хоть… сколько угодно.
Несколько примеров из жизни
Самым актуальным и наглядным можно назвать ситуацию с распространением вируса (либо любой другой инфекции). Предположим, что каждый человек в течение дня заражает двух других. Тогда, в первый день у нас будет один инфицированный, во второй — трое. Один старый знакомый и два новых. Каждый из новичков, в свою очередь заразит двух других. В третий день — 7 заразившихся, в четвертый — 1, а пятый — 31… Стоп, это только при условии, что каждый человек заразит только двоих и, чудесным образом, перестанет это делать на притяжении следующих дней. Но ведь так не будет! Все эти люди и дальше будут заражать по 2 человека в день.
А раз так, то на третий день будет уже 9 разносчиков вируса, на пятый — 81, а через неделю по нашему воображаемому городу будет бродить уже 729 зараженных.
Это и будет экспоненциальный рост количества зараженных. Без учета их лечения, карантина или любых других мер, болезнь будет развиваться именно так. Через 10 дней зараженных людей будет уже 59 тысяч человек. Через 15 дней — более 14 миллионов. Просто математика, но какой яркий пример экспоненциального роста?
Легко вывести формулу: 1, 3, 9, 27, 81… это «три» в степени 2, 3 и 4. То есть, показательна функция с основанием 3.
И, хотя в этой формуле в степень возводится не число Эйлера (2,71828….), такой рост тоже называется экспоненциальным.
Еще один пример из биологии: размножение бактерий.
Бактерии размножаются делением. Каждая делится надвое и так далее… Но, конечно, не бесконечно. Предел есть, но об этом чуть позже.
Экспоненциальный рост в экономике
Есть примеры роста по экспоненте и в экономике. Самый интересный — финансовая пирамида. Самый безопасный — Закон Мура.
Первый закон Мура гласит, что количество транзисторов удваивается каждые 2 года. Таким образом и вычислительные мощности компьютера удваиваются каждые два года.
Второй Закон Мура (который сформулировал уже не Гордон Мур) гласит, что стоимость производства микросхем также возрастает экспоненциально из-за усложнения технологий.
Что же касается финансовых пирамид, то основная идея в том, что их рост обусловлен исключительно ростом количества «сектантов» верящих в огромные прибыли или тех, кто верит, что сумеет вовремя «соскочить». Так или иначе, пирамиды всегда рушатся. И вот вопрос, почему?
Но, конечно, рост не может продолжаться бесконечно. В случае с бактериями (и любыми другими организмами, да хоть мышами), наступит время, когда им не хватит пространства и пищи. В случае с микросхемами наступит физический предел скорости передачи данных (мы вряд ли сумеем превысить скорость света). Ну а всевозможные волшебные экономические модели в форме пирамид рано или поздно сталкиваются с той же проблемой, питательная среда в виде легковерных последователей
Логистическая кривая
В реальном мире, не таком идеальном как математика, любой процесс может столкнутся с пределом. В примере роста популяции бактерий или даже крупных животных, это количество ресурсов, которое всегда ограничено. Поэтому, при условии, что ресурсы не бесконечны, процесс развивается по s образной кривой. Сначала стремительно растет, а потом — замедляется.
В пример с вирусом, наступает день, когда большая часть населения уже переболела и выработала антитела (либо была искусственно привита) и вирус больше не может распространяться по экспоненциальному закону. Главный вопрос, можно ли точно предсказать этот день?
Мальтузианская ловушка
С экспонентой связан еще один занимательный экономический эффект — «мальтузианская ловушка». Представьте, что рост населения страны происходит по экспоненциальному закону. Например, каждая пара производит на свет не менее 4 детей, те в свою очередь поступают также. Рано или поздно, количество людей превысит количество пищи, необходимое для нормальной жизни.
Просто потому, что производительность труда физически ограничена (например, количеством плодородных земель), к тому же развитие технологий чаще всего происходит линейно, а экспонента всегда растет быстрее. Получается, что технологическое развитие общества не успевает за ростом населения.
Чем это заканчивается? Кризисом, голодом, войнами за ресурсы. Население уменьшается и все начинается с начала.
Почему это сложно представить?
Нам, людям, сложно себе представить развитие процесса «по экспоненте» потому, что не свойственно так мыслить. Мы привыкли к линейным и циклическим процессам. Они чаще встречаются в нашей жизни: циклические изменения дня и ночи и линейные изменения времени. Это просто и привычно. А вот экспоненциальные процессы встречаются реже.
Тем не менее они есть и игнорировать их опасно. Просто потому, что за этой скоростью нашему разуму сложно угнаться. Даже простые объяснения экспоненциального роста кажутся чем-то абстрактным, а ведь это не выдумка, а наша реальность.
Экспонента и число е: просто и понятно.
Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?
Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:
Математическая константа е является основанием натурального логарифма.
Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:
Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.
Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).
С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!
Число е – это не просто число
Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.
Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).
Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.
Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.
Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).
Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.
Понятие экспоненциального роста
Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:
И выглядит это примерно так:
Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.
Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:
Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:
Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?
Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:
Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.
Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.
Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:
Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.
Эта информация как-то изменит наше уравнение?
Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.
Но деньги меняют все
С деньгами дела обстоят по-другому. Как только мы зарабатываем пару монет прибыли, эти монетки начинают приносить свои микро-прибыли. Нет необходимости ждать, пока набежит целый рубль — свежим денежкам совсем не нужно дозревать, чтобы начать плодоносить.
Основываясь на нашей старой формуле, прирост процента выглядит примерно так:
Но опять же, это не совсем правильно: вся сумма процента появляется в последний день. Давайте посмотрим поближе и разделим год на два промежутка. Мы зарабатываем 100% прибыль каждый год, или по 50% каждые 6 месяцев. Таким образом, мы заработаем 50 копеек в первые полгода, и другие 50 копеек во вторую половину года:
И все равно, это неверно! Конечно, наш рубль-родитель (Синий кружок) зарабатывает рубль в течение года. Но после 6 месяцев мы получим 50-копеечный кусочек прибыли – готовые деньги, которыми мы пренебрегаем! Эти 50 копеек уже могли бы зарабатывать свои собственные деньги:
Поскольку наш коэффициент равен 50% каждые полгода, эти 50 копеек могли бы заработать еще 25 копеек (50% от 50 копеек). В конце года мы бы получили:
Если все сложить, получится 2,25 рублей. Мы заработали 1,25 рубля всего на одном исходном рубле, и это даже лучше, чем удвоение!
Вернемся к формуле. Рост за два полу-периода по 50% составит:
Переходим на составной рост
Идем дальше. Давайте поделим рост не на два периода по 50%, а на 3 сегмента по 33% каждый. Кто сказал, что надо ждать целых 6 месяцев до начала получения прибыли? Давайте детализируем наши вычисления.
Вот так выглядит наш рост, расписанный на 3 составных периода:
Фуух! Спустя 12 месяцев у нас получается: 1 + 1 + 0.33 + 0.04 или примерно 2.37 рубля.
Потратим еще чуть времени, чтобы понять, что на самом деле происходит с таким ростом:
Теперь понятнее? Поначалу это сложно — я и сам запутался, пока рисовал все эти графики. Главное понять, что каждый «рубль» создает маленьких помощников, а те, в свою очередь, создают помощников себе, и так далее.
Если рассматривать год как 3 равных периода, формула роста будет такой:
рост = (1 + 100%/3) 3 = 2.37037.
Мы заработали 1.37 рубля, а это даже лучше, чем те 1.25, что получились у нас в предыдущий раз!
Можно ли преумножать деньги бесконечно?
А почему бы не разбить год на более короткие периоды? Как насчет месяца, дня, часа или даже наносекунды? Наша прибыль взлетит до небес?
Прибыль увеличится, но уже не намного. Попробуем подставить в нашу волшебную формулу разные значения n, и получим следующее: