Что является геометрическим телом

Справочник по теме «Геометрические тела»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выполнил: Давыдов Антон, ученик 11-го класса

Шар — это объемная геометрическая фигура,

ограниченная поверхностью, все точки которой

находятся на одинаковом расстоянии от центра;

образуется из полукруга, вращением

вокруг диаметра разреза.

Площадь поверхности: S = 4πR2

Объем шара: V = 4/3 πR 3

ограниченное цилиндрической поверхностью

и двумя параллельными плоскостями,

пересекающими её; образуется из

прямоугольника, вращая его вокруг одной из

Площадь боковой поверхности:

Площадь основания цилиндра:

Площадь поверхности цилиндра:

S = Sбок.пов + 2Sосн = 2πR h + 2πR^2

Объем цилиндра: V = Sосн ⋅ H = πR^2H

всех лучей, исходящих из одной точки

(вершины конуса) и проходящих через

плоскую поверхность; образуется из

прямоугольного треугольника, при

вращении его вокруг одного из катетов.

Образующую конуса: L = √ H ^2 + R^2

Площадь боковой поверхности: Sбок.пов = πRL

Площадь основания конуса: Sосн = πR^2

Объем конуса: V = 1/3πR^2h

получаемая вращением образующей

окружности вокруг оси, лежащей в плоскости

этой окружности и не пересекающей её.

r — радиус образующей окружности тора;

R — радиус вращения образующей окружности.

гранями которого являются четыре

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Куб – это прямоугольный параллелепипед,

все стороны (ребра) которого равны.

Основные формулы для куба:

Октаэдр — многогранник с восемью гранями.

Основные формулы для октаэдра:

Додекаэдр – это объемная геометрическая

фигура, которая имеет 12 граней.

Основные формулы для додекаэдра:

Икосаэдр — правильный выпуклый

Основные формулы для икосаэдра:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

В справочнике отражены все геометрические формулы геометрических тел, их объёмы, площади полной и боковой поверхности. Работа содержит рисунок геометрического тела и краткую информацию о нем.

Справочник является продуктом проекта «Геометрические тела» и очень полезен для учащихся в подготовке к ГИА.

Номер материала: ДБ-596378

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Международный конгресс-выставка «Молодые профессионалы» пройдет с 12 по 14 декабря в Москве

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор объявил сроки и формат ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Тело геометрическое

Полезное

Смотреть что такое «Тело геометрическое» в других словарях:

Тело геометрическое* — есть часть пространства, со всех сторон ограниченная. Если поверхность, ограничивающая тело, состоит из плоскостей, то Т. наз. многогранником. Эти плоскости пересекаются по прямым, наз. ребрами, и образуют грани Т. Каждая из граней есть… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ТЕЛО — геометрическое любая ограниченная часть пространства вместе с ее границей (напр., шар, призма) … Большой Энциклопедический словарь

Тело (геометрич.) — Тело геометрическое, любая ограниченная область пространства вместе с её границей. В «Началах» Евклида телом называется «то, что имеет длину, ширину и глубину». В учебниках элементарной геометрии Т. обычно определялось как «часть пространства,… … Большая советская энциклопедия

Тело (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Тело. Тело геометрическое «то, что имеет длину, ширину и глубину» в «Началах» Евклида, в учебниках элементарной геометрии ко всему «часть пространства, ограниченное своей образуемой формой» … Википедия

Тело — [body]: Смотри также: термически тонкое тело серое тело геометрическое тело термически массивное тело рудное тело … Энциклопедический словарь по металлургии

ТЕЛО — ТЕЛО, тела, мн. тела, тел, телам (срн. телеса), ср. 1. Ограниченное пространство, заполненное какой нибудь материей, веществом (физ.). Все тела делятся на твердые, жидкие и газообразные. || Часть пространства, ограниченная со всех сторон… … Толковый словарь Ушакова

геометрическое тело — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN geometrical object … Справочник технического переводчика

ТЕЛО — ТЕЛО, а, мн. тела, тел, телам, ср. 1. Отдельный предмет в пространстве, а также часть пространства, заполненная материей, каким н. веществом или ограниченная замкнутой поверхностью. Твёрдые, жидкие и газообразные тела. Геометрическое т. 2.… … Толковый словарь Ожегова

ТЕЛО — геометрическое, любая ограниченная часть пространства вместе с её границей (напр., шар, призма) … Естествознание. Энциклопедический словарь

геометрическое тело — [solid] любая ограниченная область пространства вместе с ее границей. В «Началах» Евклида телом называется «то, что имеет длину, ширину и глубину». В учебниках элементарной геометрии геометрическое тело обычно определяют как «часть пространства,… … Энциклопедический словарь по металлургии

Источник

Геометрические фигуры. Основные геометрические фигуры.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая линия. Отрезок, луч, ломаная линия — самые простые геометрические фигуры на плоскости.

Точка — мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либо чертеже.

Каждая более сложная геометрическая фигура есть множество точек, которые обладают определенным свойством, характерное только для этой фигуры.

Прямая линия, либо прямая – это бесконечное множество точек, расположенных на 1-ой линии, которая не имеет начала и конца. На листе бумаги можно увидеть лишь часть прямой линии, т.к. она не имеет предела.

Прямую изображают так:

Часть прямой линии, которая ограничена с 2-х сторон точками, называют отрезком прямой, либо отрезком. Его изображают так:

Луч — это направленная полупрямая, имеющая точку начала и у которой нет конца. Луч изображают так:

Если на прямой поставить точку, то эта точка будет разбивать прямую на 2 противоположно направленных луча. Эти лучи называют дополнительными.

Ломаная линия — несколько отрезков, которые соединены друг с другом таким образом, что конец 1-го отрезка оказывается началом 2-го отрезка, а конец 2-го отрезка — началом 3-го отрезка и так далее, причем соседние (которые имеют 1-ну общую точку) отрезки располагаются на разных прямых. Когда конец последнего отрезка не совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет называться незамкнутой:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник (прямоугольник):

Трехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник:

Плоскость, как и прямая, — это исходное понятие, у которого нет определения. У плоскости, как и у прямой, не возможно увидеть ни начала, ни конца. Всегда рассматривается лишь часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией.

Источник

Геометрические фигуры — виды с названиями и основные свойства

Скопление точек и линий на плоскости образует геометрические фигуры. Их названия зависят от свойств и особенностей. Фигура ограничена линиями и это условие влияет на многообразие форм. Каждый предмет индивидуален, имеет свои предназначения и задачи. Существуют простые и сложные фигуры, различающиеся личными параметрами.

Общая характеристика

Предметы в геометрическом изображении состоят из отдельных частей: точек, линий, лучей, отрезков и вершин. Отдельно взятый предмет имеет свое предназначение.

Основные понятия о составляющих

Когда все точки фигуры принадлежат одной плоскости, она является плоской. К ней относятся отрезок, прямоугольник. Существуют геометрические объекты, не являющиеся разновидностью плоскости, — куб, шар, пирамида, призма.

Минимальным объектом геометрии является точка. Определение того, какой она должна быть известно из школьного математического курса. Учебник характеризует ее как объект, не имеющий измерительных особенностей. Точка (Т) не содержит стандартных свойств: высоты, длины, радиуса, важным является только ее расположение. Обозначается числом или большой заглавной буквой. Например, точка называется D, E, F или 1, 2, 3. Несколько точек бывают отмечены разными цветами или буквами для удобного различия.

Линия состоит из множества точек. Измеряется длина этого составляющего объекта и обозначается маленькими буквами (abc).

Виды линий:

Задания из школьной программы кажутся школьникам скучными, неинтересным, но эти азы являются основой составления фигур простых и более сложных.

Существуют подвиды прямой линии: пересекающиеся, содержащие общую точку и когда две прямые линии соединяются в одной точке.

Луч в математике представляет часть прямой, имеющей начальную точку, но не имеющую конец. Это продолжение в одну сторону. Если Т разделяет линию пополам — получается два луча. Лучевые линии совпадают, когда расположены на одной прямой, начинаются в точке или направляются в одну сторону.

Отрезок представляет составную часть прямой, ограниченной двумя точками — она имеет начало и конец, поэтому измеряется. Длина отрезка представляет расстояние между его первой и последней точками. Через одну Т проводится бесконечное число линий, а через две — кривые и только одна прямая.

Стандартные объекты

К основным фигурам геометрии на плоскости относятся прямоугольник, треугольник, квадрат, многоугольник и круг. Прямоугольник выглядит как фигура, состоящая из четырех сторон и четырех прямых углов (ПУ). Противоположные стороны равны между собой. В математике прямоугольник обозначается четырьмя латинским заглавными буквами. Все ПУ расположены под 90 градусов. Прямоугольник с равными, одинаковыми сторонами называется квадратом.

Фигура, имеющая 3 стороны и столько же углов (вершин), называется треугольником. Существует классификация этой фигуры по типу У.

Виды треугольника в зависимости от угла (У):

Геометрическая фигура с углами разной формы называется многоугольником. Его вершины представлены точками, соединяющими отрезками.

Радиус круга — промежуток от середины окружности до любой ее точки. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки окружности, проходящий через ее середину.

Параллелепипед — это призма, у которой основанием является параллелограмм. Когда все ребра параллелепипеда равны, получается куб.

Многогранная фигура, у которой одна грань является многоугольником, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Семиугольник (гептагон) — это многоугольник с 7 углами. Многоугольник представляет замкнутую ломанную линию.

Основные фигуры перечислены, но геометрия включает еще сложные объекты, использующиеся в различных областях жизни.

Сложные модели

В сложной геометрии выделяют фигуры с пространственным, плоским и объемным наполнением. Существует понятие геометрического тела, 3D-моделирование и проекция.

Определение тела и пространства

Геометрическое тело (ГТ) представляет часть пространства, отделенное замкнутой поверхностью наружной границы. Это понятие относится к компактному множеству точек, а две из них соединяют отрезком, проходящим внутри границы тела. Внешняя граница ГТ является его гранью, которых может быть несколько. Множество плоских граней определяет вершины и ребра ГТ. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры — возникают объекты (шар).

Шар представляет множество точек, расположенных от данной точки на небольшом пространстве. Точка является центром шара, а расстояние ограничено радиусом.

В сферу геометрии входят плоские (двухмерные) и объемные пространственные фигуры (трехмерные).

Плоские фигуры представляют точка, круг, полукруг, окружность, овал, прямоугольник, квадрат, луч, ромб, трапеция.

Существуют двухмерные фигуры (2D), представленные углом, многоугольником, четырехугольником, окружностью, кругом, эллипсом и овалом. Объекты 3D выделены двугранным или многогранным углом. Среди них известны призма, параллелепипед, куб, антипризма, пирамида, тетраэдр икосаэдр, бипирамида, геоид, эллипсоид, сфера шар и другие. Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.

Объемные фигуры:

Конус образуется из треугольника с прямыми углами, при вращении его вокруг одного из катетов. Тороид возникает из замкнутой плоскости (окружности), вращающейся вокруг прямой и не пересекающей ее. Многогранник называется полиэдр, представляет замкнутую поверхность, состоящую из многоугольников.

Виды многогранников:

В школьной программе имеются специальные разделы геометрии, позволяющие распределить знания и не путать их в будущем. Это касается плоских, объемных фигур — одни изучает стереометрия, другие планиметрия.

Познавательные игрушки детям

Геометрия является наукой, которой можно знакомить детей с раннего возраста. Лучше распечатать картинки, геометрические фигуры для детей, затем нарисовать их вместе на чистом листе. Малышу первого года подобное занятие будет не очень интересным и понятным, а у дошкольника вызовет интерес, особенно если объекты изучения будут разноцветными или в необычном исполнении.

Основной материал для обучения детей:

Увлекательные, забавные, задорные стихи «Веселая геометрия для малышей» помогут детям быстро познакомиться и усвоить много важной информации о фигурах и размерах предметов. Веселые стишки помогут юному читателю соотнести малопонятные геометрические знания с обыденными предметами обихода. Например, в женской юбке представлена трапеция, в блюдце— круг, а в трубе цилиндр.

Учить детей начинают с плоских фигурок, сделанных из цветной бумаги или фетра. Не нужно ограничивать ребенка в фантазии, ведь он различает фигуры по цветам и форме — треугольник, овал, круг, ромб, квадрат. Увлекательным будет занятие с использованием сортеров, пирамидок из различных геометрических объектов.

Ближе к дошкольному возрасту переходят на объемные фигуры, кубики, конусы, кольца и цилиндры. В школьном возрасте знания накопятся, и дети будут осознанно различать равнобедренный, равносторонний треугольник, три понятия: луч, отрезок, окружность.

Раздел математики геометрия изучает пространственные отношения и формы. Фигура как понятие, рассмотренное во всех учебниках геометрии, является пространственной формой.

Геометрию можно обнаружить везде — в любых окружающих предметах. Это современные здания, архитектурные строения, формы, космическая станция, интерьер квартиры, подводные лодки.

Математические знания являются профессионально важными для современных специальностей: дизайнеров и конструкторов, рабочих и ученых. Без знания основ геометрии невозможно построить здание или отремонтировать квартиру.

Источник

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО. МНОГОГРАННИК

Определение: Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется геометрическим телом.

Граница – поверхность геометрического тела.

Пространственная область – внутренняя область геометрического тела.

Определение: Многогранником называется геометрическое тело, поверхностью которого является конечное число многоугольников, каждая сторона любого многоугольника является стороной двух и только двух граней, не лежащих в одной плоскости. Многоугольники – грани многогранника.

Вершины и стороны граней – вершины и ребра многогранника.

Многогранники классифицируются по числу граней: тетраэдр(четырехгранник), пентаэдр (пятигранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник).

Определение: Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Определение: Многогранник, две грани которого многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям, а остальные грани – параллелограммы, называется призмой. Многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям – основания призмы. Параллелограммы – боковые грани призмы.

Стороны параллелограммов, соединяющие соответствующие вершины оснований призмы – боковые ребра призмы.

Свойства:

Основания призмы равны и параллельны.

Боковые ребра призмы равны и параллельны.

Определение: Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям (Рис.1.), в противном случае призма называется наклонной (Рис. 2.).

Рис.1. Рис. 2. Рис.3.

Призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной, … в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.

Определение: Перпендикуляр, проведенный из какой—либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (Рис. 3.).

Замечание: Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Определение: Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Замечание: Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Справка:

1. Правильный четырехугольник – квадрат;

2. Правильный треугольник – равносторонний треугольник;

3. Правильный шестиугольник.

Определение: Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом (Рис. 1.).

Определение: Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям (Рис. 2.).

Определение: Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. (Рис. 3.)

Определение: Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются линейными размерами (измерениями) прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота). (Рис. 3.)

Определение: Прямоугольный параллелепипед, все линейные размеры которого равны между собой, называется кубом. (Рис. 4.)

Свойства:

Упражнения:

a) 8, 9, 12;

B) 12, 16, 21.

Справка: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

ПОВЕРХНОСТЬ ПРИЗМЫ

Определение: Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Определение: Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Определение: Перпендикулярным сечением призмы называется многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее ребрам.

Теорема: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.

Дано:

А А₁ = l;

l ^ КLMNP;

Доказать:

Следствие: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.

; ;

Упражнения:

Дана наклонная треугольная призма, две боковые грани которой взаимно перпендикулярны, их общее ребро равно 9,6 см и находится на расстоянии 4,8 см и 14 см от двух других рёбер. Найти площадь боковой поверхности призмы.

7. Найти площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, стороны основания которого равны 8 дм и 12 дм и образуют угол 30°, а боковое ребро равно 6 дм.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 10 см и 17 см, одна из диагоналей основания равна 21 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Определить площадь полной поверхности параллелепипеда.

ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМОВ

Определение: Многогранники, имеющие равные объёмы, называются равновеликими.

Определение: За единицу объёма принимается объём куба, ребро которого равно единице длины.

ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

Теорема: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров.

– линейные размеры (измерения)

Теорема: Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

Дано:

– основание призмы;

; ;

ОБЪЁМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ

Теорема: Объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призмы на её боковое ребро.

Дано:

— наклонная призма;

— боковое ребро;

— перпендикулярное сечение;

Доказать:

Следствие: Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

Упражнения:

1. В наклонном параллелепипеде стороны перпендикулярного сечения, равные 3 см и 4 см, образуют между собой угол 30°. Боковое ребро параллелепипеда равно 1 дм. Найти объём параллелепипеда.

2. Основанием призмы является правильный треугольник со стороной 4 см. Боковое ребро призмы равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти объём призмы и площадь перпендикулярного сечения призмы.

7. Дан наклонный параллелепипед, основание которого – квадрат со стороной 5 дм. Найти объём параллелепипеда, если одно из боковых рёбер образует с каждой прилежащей стороной основания угол 60 ° и равно 1 м.

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 1 м, а основание 1 м 20 см. Боковое ребро призмы равно высоте основания, опущенной на его боковую сторону. Найти площадь полной поверхности призмы.

Рис. 1. Рис. 2.

Упражнения:

.

; .

; ; ; ; .

; , следовательно, .

— равносторонний треугольник, значит, .

; .

по трём сторонам, следовательно, .

;

; ;

;

.

.

Ответ: .

Замечание: Площадь боковой поверхности неправильнойусечённой пирамиды вычисляется по определению, каксумма площадей её боковых граней.

Упражнения:

ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ

Теорема: Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на её высоту.

Дано:

SО ^ АВС; SО = h.

Доказать:

9. ОБЪЁМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

Дано:

.

Упражнения:

ЦИЛИНДР. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется прямым круговым цилиндром.

Определение: Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

AB – ось симметрии, высота цилиндра;AB = H;

AD– радиус основания цилиндра;AD = R.

Определение: Расстояние между плоскостями оснований является высотой прямого кругового цилиндра.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Два круга являются основаниями прямого кругового цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований, называется образующей прямого кругового цилиндра.

Определение: Прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности основания цилиндра, а другая – его высоте, называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Определение: Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Сечения цилиндра.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг.

Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси – овал.

Теорема: Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S_бок. = 2πRH, где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

Определение: Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

Рассмотрим п-угольную прямую призму. При п→∞ периметр многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к длине окружности основания цилиндра, площадь многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к площади круга, являющегося основанием цилиндра. Объём п-угольной прямой призмы будет стремиться к объёму прямого кругового цилиндра.

Определение: Призма называется вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра.

Определение: Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания призмы.

Упражнения:

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найти: высоту, радиус основания, площадь основания цилиндра.

Квадрат со стороной, равной а, вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне. Ось удалена от квадрата на расстояние, равное стороне квадрата. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

11. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

12. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №1.

14. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №2.

Рис. №1. Рис. №2.

КОНУС. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ КОНУСА.

Конус (с греческого «konos»)– сосновая шишка.

Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, называется прямым круговым конусом.

Определение: Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Определение: Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор круга, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса.

Сечения конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Определение: Осевым сечением конуса называется сечение, проходящее через ось конуса.

Вывод: Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конусаможно найти по формуле:

S_бок. = πRL, где R – радиус основания, L – длина образующей.

Площадь полной поверхности конусанаходится по формуле:

Объём кругового конуса равен V = 1/3 πR 2 H, где R – радиус основания, Н – высота конуса.

Определение: Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

Определение: Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Упражнения:

1. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 120 ° и боковой стороной в 20 см вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти высоту конуса, если площадь его боковой поверхности равна 427,2 см 2 и образующая – 17 см.

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вращается вокруг оси, параллельной гипотенузе и проходящей через вершину прямого угла. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Определение: Усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между его основанием и сечением, параллельным основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям, называется прямым круговым усечённым конусом.

Определение: Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями.

Определение: Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями.

Задача: Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны: r = 5, R = 7, Н = Ö60. Найдите образующую усеченного конуса.

Определение: Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Задача: Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус верхнего основания, высота и образующая: R = 6, Н = 4, L = 5.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S_бок = π(R + r)L,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, L – длина образующей.

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S_полн. = πR 2 + πr 2 + π(R + r)L,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, L– длина образующей.

Объём усечённого конусаможно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2 ),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

Упражнения:

Из истории возникновения.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра, называется шаром.

Определение: Радиусом сферы (шара) называется отрезок, соединяющий центр сферы (шара) с любой её точкой.

Определение: Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две любые её точки.

Определение: Диаметром сферы называется хорда, проходящая через её центр.

Сечение шара плоскостью.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сечение, проходящее через центр шара, называется диаметральным сечением (большим кругом).

Касательная плоскость к сфере.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

2. Объем шара:

Упражнения:

Площади многоугольников

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

Источник