Что является графиком прямой пропорциональности

Функция прямая пропорциональность

Функция вида y=kx, где k — число (k≠0), называется функцией прямой пропорциональности (или функция прямая пропорциональность).

Число k называется коэффициентом пропорциональности. О переменной y говорят, что она пропорциональна переменной x.

Прямая пропорциональность — частный случай линейной функции y=kx+b (при b=0).

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат — точку O (0;0).

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно взять одну точку, вторая — точка O.

Свойства функции прямой пропорциональности

1) Область определения — множество действительных чисел:

2) Область значений — множество действительных чисел:

3) Нуль функции (y=0) при x=0.

4) При k>0 функция y=kx возрастает, при k 0 график функции проходит через I и III координатные четверти.

Функция принимает положительные значения при положительных значениях аргумента:

Функция принимает отрицательные значения при отрицательных значениях аргумента:

Число k называется угловым коэффициентом прямой y=kx.

k=tg α, где α — угол, который прямая образует с положительным направлением оси Ox.

Чтобы сравнить угловые коэффициенты прямых, сравниваем углы между прямыми и положительным направлением оси абсцисс.

Источник

Линейная функция. Прямая пропорциональность

Содержание

Из прошлого урока вы узнали многое о функциях, но далеко не все. Вспомним основные знания, которые нам будут нужны для понимания линейной функции:

Вот о функциях, график которых выглядит как прямая линия, и пойдет речь в данном уроке.

Примеры линейных функций

Что такое линейная функция

Прямая пропорциональность и другие особые случаи

Давайте посмотрим, какие функции также будут линейными:

Вспомнить, что такое прямая зависимость

Если при увеличении одной величины, увеличивается другая, то величины называют прямо пропорциональными, у них прямая зависимость.

Чем больше денег – тем больше можно купить мороженого

Источник

Прямая и обратная пропорциональность — формулы, свойства и графики функций

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.

Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.

Прямая пропорциональность

Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.

Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.

Функция прямой пропорциональности и ее график

Эта зависимость описывается следующей формулой:

Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.

Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.

Пример построения

Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).

Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k Свойства функции прямой пропорциональности

Основные свойства следующие:

область определения, значений составляют все действительные числа;

возрастает при всех значениях x, если k > 0;

если коэффициент со знаком «-», т. е. если k 0, то прямая располагается в 1 — 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

Функция обратной пропорциональности и ее график

Функция задается формулой:

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Пример построения

Нужно построить график функции y = 8/x.

Вот так выглядит таблица для данной функции:

Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:

Свойства функции обратной пропорциональности

области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;

если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;

оси координат 0х и 0у — это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.

К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше.

Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.

Источник

Что является графиком прямой пропорциональности

Линейная функция

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,

где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b.

Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см.рисунок).

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Свойства функции y = kx:

2. Это нечетная функция.

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой:

k
y = —
x

где x – независимая переменная, а k – не равное нулю число.

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой (см.рисунок).

Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот. Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

k
Свойства функции y = —:
x

2. Это нечетная функция.

Источник

Прямая пропорциональность и ее график

В 7 и 8 классе изучается график прямой пропорциональности.

Как построить график прямой пропорциональности?

Рассмотрим на примерах график прямой пропорциональности.

График прямой пропорциональности формула

График прямой пропорциональности представляет функцию прямая пропорциональность.

В общем виде прямая пропорциональность имеет формулу

От величины и знака коэффициента прямой пропорциональности зависит угол наклона графика прямой пропорциональности по отношению к оси икс.

График прямой пропорциональности проходит

График прямой пропорциональности проходит через начало координат.

График прямой пропорциональности есть прямая. Прямая задается двумя точками.

Таким образом при построении графика прямой пропорциональности достаточно определить положение двух точек.

Но одну из них мы всегда знаем – это начало координат.

Осталось найти вторую. Посмотрим пример построения графика прямой пропорциональности.

Постройте график прямой пропорциональности y = 2x

Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой

Берем любое число из области определения прямой пропорциональности, пусть это будет 1.

Найти значение функции при икс равное 1

то есть при x = 1 получаем y = 2. Точка с этими координатами принадлежит графику функции y = 2x.

Мы знаем, что график прямой пропорциональности есть прямая, а прямая задается двумя точками.

Одну из них мы только что нашли, а второй для прямой пропорциональности всегда является начало координат.

Теперь мы готовы построить график функции y = 2x.

Отмечаем на координатной плоскости точку с координатами (1; 2).

Через данную точку и начало координат проводим прямую линию

Мы получили график прямой пропорциональности, заданной формулой y = 2x.

Источник