Что является графиком параболы

Парабола, график, вершина, нули.

теория по математике 📈 функции

Функция вида y=ax 2 +bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а ≠ 0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х₀; у₀), надо воспользоваться формулой:

для нахождения у₀ можно просто подставить значение х₀ в формулу данной функции y₀=ax 2 +bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х 2 – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х₀:

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у₀=2 ∙ 2 2 – 8 ∙ 2 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х 2 +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х 2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

D=b 2 – 4ac=4 2 — 4 ∙ 1 ∙ ( − 5 ) = 36

Значит, нули функции равны –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

Теперь можно выполнить соответствие:

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х₀.

Итак, найдем х₀ для формулы «Б»:

Видим, что х₀ отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

А) a>0, с >0 Б) а 0 В) а>0, с

На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a 0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с 0, с >0 — это график №1

Б) а 0 — это график №3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х 2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На рисунках изображены графики функций вида

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если a 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где 0″ title=»a<>0″/> называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

,

Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как 0″ title=»a=2>0″/>,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

0″ title=»D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0″/>

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

,

3. Координаты вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения ,

— сдвига графика функции вдоль оси от значения
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы от значений и :

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Квадратичная функция и её график

Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается формулой y = ax 2 + bx + c.

Нарисовать параболу можно, используя таблицу значений, в которой мы выбираем произвольный х и находим у. Но не всегда этот способ является самым рациональным.

Начнем, как всегда, с простого)

Стандартная парабола.

На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.

Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:

Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя «на ура».

Параболы со смещенной вершиной.

Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x 2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х 2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.

Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.

Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x₁; y₁). Тогда найти эти координаты можно по формулам:

Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.

Координату х_О находим по той же формуле, а координату у_О можно найти подстановкой координаты х_О в функцию.

Без примера не обойтись)

Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.

1 способ: по формулам.

2 способ: подстановкой.

Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.

Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.

Удивительно, но числовой коэффициент перед х 2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.

Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.

Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:

К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.

Переходим к таблицам значений.

Чертим обе параболы по получившимся координатам.

Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.

Практикум по параболам.

Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.

Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.

Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 ​+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.

Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.

В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.

Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 ​+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.

Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с 0. Подходит вариант под номером 2.

Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.

Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)

Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.

На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!

Источник