для чего служат гипотезы прочности

Техническая механика

Сопротивление материалов

Гипотезы прочности

Понятие эквивалентного напряжения

В предыдущей статье мы рассматривали случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, и суммарное напряжение в каждой точке можно было рассчитать простым алгебраическим сложением. Однако часто имеют место случаи сочетания основных деформаций, при которых в поперечных сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения, распределенные по площади сечений неравномерно и по разным законам.
Для таких случаев опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно, поэтому при оценке прочности детали приходится основываться на механических характеристиках данного материала, полученных из диаграммы растяжения.

Как известно, при растяжении прочность пластичных материалов характеризуется пределом текучести, а прочность хрупких материалов – пределом прочности. Эти напряжения считаются предельными, и в зависимости от их величины вычисляют допускаемые напряжения. Для упрощения расчетов величины напряжений при сочетании деформаций вводят понятие эквивалентного (равноопасного) напряжения.

Формулы для определения эквивалентных напряжений, которые затем сопоставляют с предельно допускаемыми, выводят на основании гипотез прочности.

Гипотезы прочности – это научные предположения об основной причине достижения материалом предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.

В настоящее время при вычислении эквивалентных напряжений используют три гипотезы прочности: гипотезу наибольших касательных напряжений (или третья гипотеза прочности), гипотезу Мора (четвертая гипотеза прочности) и энергетическую гипотезу (пятая гипотеза прочности).
Применявшиеся ранее при расчетах первая (гипотеза Галилея) и вторая (гипотеза Мариотта-Сен-Венана) гипотезы прочности, основанные соответственно на наибольших нормальных напряжениях и линейных деформациях, в настоящее время не используются, поскольку плохо подтверждаются опытами.

Рассмотрим подробнее суть каждой из перечисленных гипотез прочности.

Третья теория прочности

Гипотеза наибольших касательных напряжений

Согласно этой гипотезе, предложенной в конце XVIII в., опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины.

Если рассмотреть элементарную площадку в наклонном сечении продольно растягиваемого бруса, то при помощи простых геометрических выкладок можно убедиться, что касательное напряжение в такой площадке достигает максимальной величины, когда сечение располагается под углом 45˚ к оси бруса. При этом величина касательного напряжения будет равна половине разности между максимальным и минимальным нормальным напряжением:

Решая это уравнение, получим:

(Здесь и далее знак √ обозначает квадратный корень).

Таким образом, главные напряжения в наклонных площадках в зонах точки А бруса определяют по формулам:

В результате мы получили формулу для вычисления эквивалентных напряжений:

Гипотеза наибольших касательных напряжений хорошо подтверждается опытами, в особенности для пластичных материалов.

Четвертая теория прочности

Гипотеза Мора

Гипотеза Мора, предложенная им в начале XX века может быть сформулирована так:
Опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

По сути, это усовершенствованная и обобщенная гипотеза наибольших касательных напряжений, рассмотренная ранее, тем не менее, она дает возможность определять эквивалентные напряжения в балках с меньшей степенью погрешности и применима при расчетах на прочность как пластичных, так и хрупких материалов.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений, согласно гипотезе Мора имеет вид:

Очевидно, что при k = 1 формула Мора тождественна формуле третьей теории прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений).

Пятая, или энергетическая теория прочности

Энергетическая гипотеза

При деформации элементарной частицы тела в общем случае изменяются ее форма и объем. Таким образом, полная потенциальная энергия деформации состоит из двух частей: энергии формоизменения и энергии изменения объема.
Энергетическая гипотеза прочности, предложенная в начале XX века в качестве критерия перехода материала в предельное состояние принимает только энергию формоизменения.

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений в соответствии с пятой (энергетической) теорией прочности имеет вид:

Эта формула хорошо подтверждается опытным путем для пластичных материалов и получила широкое распространение.

Источник

Применение теорий прочности для расчетов

ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ. КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Гипотезы прочности указывают критерии эквивалентности различных напряженных состояний.

Применение гипотез прочности избавляет от необходимости проведения огромного количества экспериментов. Тот или иной критерий эквивалентности может быть основой для практическихрасчетов на прочность лишь при условии, что для ряда частных случаев он проверен опытным путем, и результаты эксперимента оказались достаточно близки к результатам теоретического расчета.

Определение истинной причины разрушения материала является труднейшей задачей. Это обстоятельство не позволяет создать единую общую гипотезу прочности и повлекло за собой появление многих теорий, каждая из которых основывается на своей гипотезе о причине разрушения материала.

Обычно первую гипотезу прочности, предложенную Галилеем, называют гипотезой наибольших нормальных напряжений.

Согласно второй гипотезе прочности, называемой гипотезой наибольших линейных деформаций, причиной разрушения являются наибольшие линейные деформации. Эквивалентные напряжения вычисляются по формуле ,где – коэффициент Пуассона.

ТРЕТЬЯ ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ – НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Согласно третьей гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие Касательные напряжения. Максимальное касательное напряжение для заданного объемного напряженного состояния и эквивалентного ему линейного напряженного состояния одинаковы: .

Формула наибольшего касательного напряжения при объемном напряженном состоянии: . Эквивалентное напряжение при одноосном растяжении: .

Условие прочности по третьей гипотезе прочности:

Четвертая (энергетическая) гипотеза прочности: количество удельной потенциальной энергии изменения формы, накопленной к моменту наступления предельного состояния материала, одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом одноосном растяжении.

Условие прочности по четвертой гипотезе прочности:

Достоинство четвертой гипотезы прочности: эквивалентное напряжение определяется значениями всех трех главных напряжений.

Энергетическая гипотеза прочности согласуется с опытными данными для пластичных материалов.

ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ МОРА

Согласно гипотезе прочности Мора, предложенной Отто Мором, два напряженных состояния равноопасны, если для соответствующих главных напряжений и соблюдается соотношение: .

Условие прочности по гипотезе прочности Мора:

Гипотеза прочности Мора не учитывает влияния второго главного напряжения ( ).

Коэффициент представляет собой отношение предельных напряжений, соответствующих одноосным растяжению и сжатию, который равен для хрупких материалов: , для пластичных: .

Гипотеза прочности Мора рекомендуется для хрупких материалов. Для пластичных материалов гипотеза прочности Мора тождественна третьей гипотезе прочности.

Применение теорий прочности для расчетов

Сочетание деформаций изгиба и кручения испытывает большинство валов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения.При расчете валов мы будем учитывать только крутящий или изгибающий моменты, действующие в опасном поперечном сечении, и не будем принимать во внимание поперечные силы, так как соответствующие им касательные напряжения относительно невелики.Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по формулам:

причем для круглых валов W_р = 2W.

При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки опасного поперечного сечения вала, наиболее удаленные от нейтральной оси.Применив третью теорию прочности, получим:

Выражение, стоящее в числителе, называют эквивалентным моментом:

Тогда расчетная формула для круглых валов примет вид:

(валы обычно изготовляют из материала, у которого [σ_р] = [σ_с] = [σ]).

По этой формуле расчет круглых валов ведут, как на изгиб, но не по изгибающему, а по эквивалентному моменту. Применив энергетическую теорию прочности, получим:

т. е. по энергетической теории прочности:

Для расчетов деталей на сочетание деформаций поперечного изгиба и кручения необходимо, как правило, составить расчетную схему конструкции и построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, определить предположительно опасные сечения, после чего, применив одну из теорий прочности, произвести необходимые расчеты.На рисунке ниже представлен пример расчета трансмиссионного вала, подверженного деформациям изгиба и кручения, на прочность. На основе чертежа вала в аксонометрической проекции составлена его расчетная схема и построены эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Расчет производят в следующей последовательности:

· По эпюрам моментов определяют наиболее опасные сечения вала;

· Подсчитывают значения моментов в этих сечениях и, применяя одну из теорий прочности, рассчитывают эквивалентные напряжения;

· В соответствии с условием прочности, оценивают работоспособность вала при данных нагрузках.

Источник

Гипотезы прочности

Гипотезы прочности – предположения о причинах разрушения материала или теории прочности.

Считается очень приблизительной, не учитывает действие других главных напряжений . Данная гипотеза удовлетворяет результатам испытаний деталей из хрупких материалов: чугун, камень, кирпич.

II теория прочности –гипотеза наибольших относительныхудлинений. Была предложена Мариоттом в 1628г. Согласно этой теории опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее из относительных удлинений достигает опасной величины. В основе лежит обобщенный закон Гука.

Или для напряжений:

В настоящее время данная теория при расчётах не используется. Ряд недостатков: получается, что эквивалентное напряжение , как более опасное, чем главное напряжение , сравнивается с допускаемым . На самом деле главное напряжение — наибольшее. Также как и в предыдущей теории не учитывается действие касательных напряжений .

III теория прочности – гипотеза действия наибольших касательных напряжений. Была предложена Кулоном а 1773г. Касательные напряжения достигают величины, при которой начинается текучесть материала.

— см. ранее полученную формулу.

При ,

С учётом действия касательных напряжений (см. ранее приведённые формулы перехода к главным напряжениям):

Практически подтверждается для пластичных материалов, для хрупких нет.

Для оценки сложного напряжённого состояния для хрупких материалов выше указанная формула была дополнена Мором (V теория прочности) и переписана в следующем виде:

Теория прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материалов при растяжении и при сжатии присущее малопластичным и хрупким материалам.

IV теория прочности – гипотеза наибольшей потенциальной энергии формоизменения. Была предложена Бельтрами в 1885г. и Губером в 1904г.;

Если в данную формулу подставить главные напряжения в указанном ниже виде, приравнивая к нулю

Формулу для эквивалентного напряжения можно упростить:

В настоящее время из пяти гипотез прочности используются лишь последние три, в зависимости от материала и вида нагружения. Расчёты на прочность по гипотезам прочности во многих случаях избавляют проектировщиков и конструкторов от необходимости подвергать проектируемые конструкции и детали непосредственным испытаниям на прочность.

Источник

Научная электронная библиотека

Лекция 11. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Понятия о гипотезе прочности, об эквивалентном напряжении, о предельных напряженных состояниях. Пять теорий прочности.

Одна из важных задач сопротивления материалов состоит в создании теорий прочности, на основе которых можно проверить прочность элементов в сложном напряжённом состоянии, исходя из прочностных характеристик. Существует ряд теорий прочности; в каждом отдельном случае пользуются той из них, которая в наибольшей степени отвечает характеру нагружения и разрушения материала.

В каждой теории прочности используется определенная гипотеза прочности, которая представляет собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Эквивалентное напряжение – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным линейным, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:

.

Первая теория прочности (гипотеза наибольших нормальных напряжений).

Согласно этой теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю главное напряжений достигает предельного значения для заданного материала при простом растяжении (сжатии). Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

или

Данная теория прочности дает положительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов.

Вторая теория прочности (гипотеза наибольших линейных деформаций).

Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

Экспериментальная проверка данной гипотезы выявила ряд недостатков, поэтому она почти не применяется для расчетов.

Третья теория прочности (гипотеза наибольших касательных напряжений).

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

или .

Во многих случаях третья теория прочности дает приемлемые результаты.

Четвертая теория прочности (гипотеза энергии формоизменения).

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает предельного для данного материала значения:

Пятая теория прочности (гипотеза прочности Мора).Данная гипотеза прочности учитывает различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. Условие прочности по гипотезе Мора имеет вид:

Источник

Гипотезы прочности. Критерий эквивалентности

Применение гипотез прочности избавляет от необходимости проведения огромного количества экспериментов. Тот или иной критерий эквивалентности может быть основой для практических расчетов на прочность лишь при условии, что для ряда частных случаев он проверен опытным путем, и результаты эксперимента оказались достаточно близки к результатам теоретического расчета.

Определение истинной причины разрушения материала является труднейшей задачей. Это обстоятельство не позволяет создать единую общую гипотезу прочности и повлекло за собой появление многих теорий, каждая из которых основывается на своей гипотезе о причине разрушения материала.

Независимо от принятой гипотезы прочности, условие прочности после определения эквивалентного напряжения представляется в виде одного из неравенств: или, при заданном коэффициенте запаса,

Первая гипотеза прочности основывается на предположении, что причиной разрушения материала являются наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения.

Обычно первую гипотезу прочности, предложенную Галилеем, называют гипотезой наибольших нормальных напряжений.

Условие прочности по первой гипотезе прочности: .

Если наибольшим по значению будет сжимающее главное напряжение , условие прочности по первой гипотезе прочности: .

Существенный недостаток первой гипотезы прочности: при определении эквивалентного напряжения совершенно не учитываются два других главных напряжения, оказывающих влияние на прочность материала.

Первая гипотеза прочности подтверждается экспериментальными данными только для хрупкого материала при растяжении, когда напряжения значительно меньше .

При всестороннем сжатии, например, цементного кубика, первая гипотеза прочности приводит к ошибочным результатам, поскольку кубик выдерживает напряжения, во много раз превышающие предел прочности при одноосном сжатии.

В настоящее время первая гипотеза прочности не применяется и имеет лишь историческое значение.

Недостатки первой гипотезы прочности привели к появлению второй гипотезы прочности, предложенной Мариоттом и развитой Сен-Венаном.

Считается, что для пластичных материалов закон Гука выполняется вплоть до предела текучести, а для хрупких – до предела прочности, что является грубым допущением.

Достоинством второй гипотезы прочности является то, что при вычислении эквивалентного напряжения она учитывает все три главных напряжения.

С помощью гипотезы наибольших линейных деформаций можно объяснить разрушение хрупких материалов при простом сжатии. Однако вторая гипотеза прочности недостаточно подтверждается опытами и не применяется.

Третья гипотеза прочности – наибольших касательных напряжений

Согласно третьей гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие Касательные напряжения. Максимальное касательное напряжение для заданного объемного напряженного состояния и эквивалентного ему линейного напряженного состояния одинаковы: .

Формула наибольшего касательного напряжения при объемном напряженном состоянии: . Эквивалентное напряжение при одноосном растяжении: .

Условие прочности по третьей гипотезе прочности:

Третья гипотеза прочности не учитывает второго главного напряжения (). Однако, опыты показывают, что для пластичных материалов гипотеза наибольших касательных напряжений дает удовлетворительные результаты. Ошибка от пренебрежения влиянием не превышает 10 – 15 %.

Четвертая (энергетическая) гипотеза прочности: количество удельной потенциальной энергии изменения формы, накопленной к моменту наступления предельного состояния материала, одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом одноосном растяжении.

В четвертой гипотезе прочности речь идет не обо всей удельной потенциальной энергии деформации, а лишь ее части, которая накапливается за счет изменения формы кубика с ребром равным единице.

В общем случае полная удельная потенциальная энергия деформации может быть представлена как сумма энергий, связанных с изменением объема кубика и изменением его формы.

Условие прочности по четвертой гипотезе прочности:

Достоинство четвертой гипотезы прочности: эквивалентное напряжение определяется значениями всех трех главных напряжений.

Энергетическая гипотеза прочности согласуется с опытными данными для пластичных материалов.

Гипотеза прочности Мора

Согласно гипотезе прочности Мора, предложенной Отто Мором, два напряженных состояния равноопасны, если для соответствующих главных напряжений и соблюдается соотношение: .

Условие прочности по гипотезе прочности Мора:

Гипотеза прочности Мора не учитывает влияния второго главного напряжения ().

Коэффициент представляет собой отношение предельных напряжений, соответствующих одноосным растяжению и сжатию, который равен для хрупких материалов: , для пластичных: .

Гипотеза прочности Мора рекомендуется для хрупких материалов. Для пластичных материалов гипотеза прочности Мора тождественна третьей гипотезе прочности.

Источник