доказать что многочлены образуют базис в пространстве

При такой постановке вопроса, это означает, что не всякая непрерывная функция является многочленом. Это очевидно. Скорее всего, имелось в виду нечто другое.

@falcao, видимо, базис Шаудера имеется ввиду, иначе вопрос бессмысленен. Хотя и в таком случае утверждение почти очевидно.

А что могло под этим подразумеваться еще? Перечитав эту задачу несколько раз мне приходит такая же мысль, что нужно показать что непрерывная функция не всегда есть многочлен бесконечной степени.

Многочленов бесконечной степени не бывает. Вы знаете про разные виды базисов? Гамеля и Шаудера. В бесконечномерном случае писать просто «базис» нельзя, надо конкретизировать.

@KappaGolden: здесь из контекста никак не видно, какой предмет изучается. По названиям, можно подумать на линейную алгебру. Только по причине того, что в этом предположении ответ на вопрос тривиален, возникает мысль о том, что подразумевается нечто другое. Но в этом случае нужно в формулировке говорить о базисе Шаудера, а в пространстве C[a,b] указывать топологию (или норму).

1 ответ

отвечен 11 Мар 17:36

@caterpillar: можно ли здесь вместо общего рассуждения взять функцию типа |x-(a+b)/2|, и про неё доказать, что она в степенной ряд не раскладывается? Или это будет не проще?

@falcao, я в своей последней фразе именно такую функцию и подразумевал. По-моему, тут лучше общее рассуждение, тем более, что оно практически также проводится с другими системами функций, типа экспонент.

Источник

Убедиться, что многочлены составляют базис базис пространства Р2 многочленов, степени которых не превосходят 2

Образует ли система многочленов базис в линейном ространстве многочленов степени не выше 3
Образует ли система 1, t, t^2-t, t^3-t^2+t многочленов базис в линейном ространстве многочленов.

Доказать что векторы а1,а2,а3,а4 образуют базис четырехмерного пространства
Помогите пожалуйста! Доказать что векторы а1,а2,а3,а4 образуют базис четырехмерного.

Многочлены есть функции непрерывные; в пространстве непрерывных функций нулевым элементом является функция, тождественно равная нулю. Подставив вместо их выражения, получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях равенства:

К предыдущему ответу хотел бы добавить следующее.

Впрочем, алгебра многочленов над бесконечным полем (и даже бесконечным целостным кольцом) изоморфна алгебре полиномиальный функций.

И тут уважаемого Igor можно понять, он вывел задачу из алгебры в ее объемлющий анализ (причем, как вы заметили, изоморфно) доказал нечто уже на этом уровне, а потом спустился обратно по пологому спуску изоморфизма. Примерно таким же образом устроен принцип производящих рядов.

17.03.2013, 00:58 Убедиться, что многочлены составляют базис базис пространства Р2 многочленов, степени которых не превосходят 2

Неа. Как вы засунете в матанализ многочлены над конечными полями? Или, например, непонятно, как с точки зрения матанализа смотреть на изоморфизм (многочлен с рациональными коэффициентами однозначно восстанавливается по своему значению при x = π).

Конечно, операция подстановки вместо х разных вещей очень важна. Это «гомоморфизм вычисления». Однако именно благодаря универсальности понятия многочлена, благодаря тому, что никто не «заставляет» ничего подставлять, фактически можно подставлять самые разные вещи, а не только элементы кольца. Этим обусловлена применимость многочленов в разных теориях (например, многочлены от операторов или символы дифференциальных операторов в УЧПах).

Я ещё не очень уяснил, насколько тут суровая модерация, поэтому на всякий случай квалифицирую как офтоп. Забанят ведь. :jokingly:

Источник

Доказать, что множество многочленов заданного вида образует подпространство. Затуп

* Доказать, что множество многочленов L =с вещественными коэф. образует подпространство в линейном пространстве P₂ многочленов степени не выше 2.

Множество многочленов задается так: p(t) = (-a+3b)t 2 + (3a-3b)t + 2b

Буду ли я прав, если для решения первого пункта скажу, что могу данному множеству сопоставить такой вектор:
_i= <2b;3a-3b;-a+b>= a(-1;3;0) + b(1;-3;2)
Для него проверю замкнутость относительно сложения и умножения и скажу, что это л.п? Честно говоря, мне не очевидно, что так можно сделать.

Доказать, что векторы вида (a+b, b, 2a-b) образуют линейное подпространство
Доказать, что векторы вида (a+b, b, 2a-b) образуют линейное подпространство в пространстве R^3.

Доказать, что множество составляет подпространство простанства.
Добрый день. Имеется задание(см вложение). Базис я нашел, разбирая аналогичные примеры в.

Решение

Боже, сколько опечаток в одной строчке.

Конечно, многочлены можно смело заменять строчками. Общий вид строк в этом случае следует записать так (чтобы не усложнять себе жизнь на пустом месте):
(-а+3b, 3a-3b, 2b)=a(-1,3,0)+b(3,-3,2).
И тогда все будет правильно. Ваш преподаватель будем вам аплодировать, только вы ему не говорите, что консультировались здесь, а то он еще и обидится.

Источник

2. Линейные пространства

2. Линейные пространства

Аксиомы сложения:  a, b, c  L

a+b = b+a – коммутативность

(a+b) + c = a + (b+c) – ассоциативность

В пространстве существует такой элемент, который называется нуль-вектор и обозначается 0, который в сумме с любым a из L дает этот же элемент a, т.е.  0L:  aL 0 + a = a.

Следствия из аксиом сложения:

2. Для любого вектора aL противоположный элемент единственен, т.е. b + a = 0  b = (-a)

Аксиомы умножения:  ,  R  a, b  L

(a+b) = a + b – дистрибутивность (по векторам)

(+)a = a + a – дистрибутивность (по числам)

Следствия из аксиом умножения:  a  L    R

2.1 Примеры линейных пространств

1. Пространство K_n столбцов высоты n. Элементами этого пространства являются столбцы, содержащие n вещественных чисел, с операциями покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на число. Нуль-вектором в таком пространстве является столбец, состоящий из n нулей.

2. Обычные векторы в трехмерном пространстве R₃ с операциями сложения “по правилу параллелограмма” и умножением-растяжением. Предполагается, что начала всех векторов находятся в начале координат, нуль-вектор  это вектор, который и заканчивается в начале координат

3. Многочленом степени n от одной переменной 1 называется функция

Множество многочленов, степени не выше n, с обычными операциями сложения и умножения на число, образуют линейное пространство. Отметим, что множество многочленов, степени n, линейного пространства не образуют. Дело в том, что сумма двух многочленов степени, например, 3 может оказаться многочленом степени 2 (например, (x 3 + 3) + (– x 3 – 2x 2 + 7) = – 2x 2 + 10 – многочлен степени 2). Однако, операция сложения многочленов может понизить степень, но не повысить ее, поэтому множество многочленов, степени не выше n, замкнуто относительно сложения (т.е. сумма двух многочленов, степени не выше n, – всегда многочлен, степени не выше n) и образует линейное пространство.
^

2.2 Размерность, базис, координаты.

Линейной комбинацией векторов <e₁, e₂, …e_n>  называется выражение ₁e₁ + ₂e₂ + …_ne_n = Таким образом, линейная комбинация — это просто сумма векторов с числовыми коэффициентами. Если все коэффициенты _i равны 0, линейная комбинация называется тривиальной.

Система 2 векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0. Другими словами, если существуют такие n чисел  R, что не все они равны нулю, и линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нуль-вектору:

Заметим, что определению независимости векторов можно придать такую форму: векторы независимы, тогда и только тогда, когда разложение 0 по ним единственно.

Линейное пространство называется конечномерным, если существует такое целое n, что все независимые системы векторов в этом пространстве содержат не более n элементов.

Размерностью конечномерного линейного пространства L называется максимально возможное число линейно независимых векторов (обозначается dimL или dim_L). Другими словами, линейное пространство называется n–мерным, если:

1. в пространстве существует независимая система, состоящая из n векторов;

2. любая система, состоящая из n +1 вектора, линейно зависима.

Базисом линейного пространства L_n называется любая независимая система векторов , число элементов которой равно размерности пространства.

Теорема 1. Всякую независимую систему векторов можно дополнить до базиса. Т.е., если система L_k независима и содержит векторов меньше, чем размерность пространства (n 3

Теорема 2 Разложение любого вектора по базису линейного пространства всегда существует и единственно. То есть, базис является независимой и полной системой. Коэффициенты _i разложения вектора по базису <e_i> называются координатами вектора в базисе <e_i>.▄

Все координаты нуль-вектора равны 0 в любом базисе.

2.3 Примеры

2. Пространство K_n столбцов высоты n имеет размерность n. Стандарт­ный базис в пространстве столбцов образуют векторы – это столбцы, у которых на i–ой позиции стоят единицы, а остальные элементы нули:

3. Пространство многочленов, степени не выше n, имеет размерность n+1. Стандартный базис в этом пространстве:

<>. В самом деле, из определения многочлена степени n очевидно, что любой многочлен, степени не выше n, однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов , причем коэффициентами линейной комбинации являются просто коэффициенты многочлена (если степень многочлена k меньше n, то последние n-k коэффициентов равны 0).
^

2.4 Изоморфизм линейных пространств

Легко проверить, что суммирование векторов в L_n приводит к суммированию соответствующих координат в базисе ; значит сумме векторов в L_n отвечает при нашем соответствии сумма соответствующих столбцов в K_n; аналогичное правило имеет место и для умножения на число.

Теорема 3. Всякое линейное пространство размерности n изоморфно K_n, следовательно, в силу транзитивности, все линейные пространства размерности n изоморфны друг другу. ▄

Изоморфные объекты с точки зрения математики являются в сущности только разными “воплощениями” (реализациями) одного объекта, и любой факт, доказанный для некоторого пространства, справедлив и для любого другого пространства, изоморфного первому.

2.5 Подпространства

Подпространством пространства L называется подмножество ML, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т.е. x,y

M 

Каждое линейное пространство содержит два тривиальных подпространства: само пространство и нулевое подпространство <0>; прочие подпространства называются нетривиальными.

Пусть , n 8 линейно независима и содержит k элементов, следовательно, образует базис. ▄
^

2.6 Примеры подпространств.

1. В R₃ всякая плоскость, проходящая через начало координат, образует двумерное подпространство, а всякая прямая, проходящая через начало координат, образует одномерное подпространство (плоскости и прямые, не содержащие 0, подпространствами быть не могут), и других подпространств в R₃ нет.

2. В пространстве столбцов K₃ столбцы вида , т.е. столбцы, у которых третья координата равна 0, образуют подпространство, очевидно изоморфное пространству K₂ столбцов, высоты 2.

3. В пространстве P_n многочленов, степени не выше n, многочлены, степени не выше 2-х, образуют трехмерное подпространство (у них по три коэффициента).

4. В трехмерном пространстве P₂ многочленов, степени не выше 2, многочлены, обращающиеся в 0 в заданной точке х₀, образуют двумерное подпространство (докажите!).

5. Задача. В пространстве K₄ множество М состоит из столбцов, координаты которых удовлетворяют условию: ₁ 2₂ + ₃ =0 (*). Докажите, что М трехмерное подпространство K₄.

Источник