доказать что преобразование является линейным

20.05.202321.05.2023 admin 0 Comments

Доказать, что преобразование трехмерного пространства является линейным преобразованием

Докажите, что данный геометрический оператор пространства R^3 является линейным
Найдите: 1) область значений и ранг, ядро и дефект этого оператора, исходя из геометрических.

Доказать, что множество векторов является линейным пространством
Доказать что множество n-мерных векторов, у которых координаты с нечетными номерами равны между.

Доказать, что функционал является линейным и непрерывным
Доказать, что функционал x=x(t)->\int_<0>^ <1>x(t)dt, в L1 является линейным и непрерывным, и.

Доказать, что функционал является линейным и непрерывным
Ребят, помогите решить задачу: Доказать, что функционал f: _ <2>\rightarrow C является.

Доказать, что оператор является линейным ограниченным
В пространстве C рассмотрим подпространство M функций x(t), удовлетворяющих условию x(-\pi)=x(\pi).

Доказать, что функционал является линейным непрерывным, и найти его норму
f (x) =\sum\limits_^\infty\frac, x=(x_1, x_2. )\in l_1 норма в l_1.

Доказать что функционал является линейным, ограниченным и найти его норму
Ребят, помогите пожалуйста с решением Доказать что функционал f:C->R f(x)=x(1/2) является.

Определить, является ли W линейным подпространством пространства V
помогите, что надо делать? Определить, является ли W линейным подпространством пространства V, и.

Источник

Линейные преобразования

Ортогональные преобразования.

Ортогональными называются такие преобразования плоскости, которые не меняют расстояния между любыми двумя точками, то есть преобразования $f$ ортогональное, если для любых точек $A$ и $B$ выполнено $|AB|=|f(A)f(B)|$.

Основными примерами ортогональных преобразований служат параллельный перенос, поворот и осевая симметрия.

Получим координатную запись ортогонального преобразования в декартовой прямоугольной системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$. Обозначим через $A$ и $B$ концы базисных векторов: $\boldsymbol_<1>=\overrightarrow$, $\boldsymbol_<2>=\overrightarrow$ (рис. 12.1). При ортогональном преобразовании равнобедренный прямоугольный треугольник $OAB$ перейдет в равный ему треугольник $O^<*>A^<*>B^<*>$. Рассмотрим произвольную точку $M(x, y)$. Она перейдет в точку $M^<*>$ с координатами $(x^<*>, y^<*>)$. Нам надо выразить $(x^<*>, y^<*>)$ через $(x, y)$.

Рис. 12.1. Ортогональное преобразование.

По определению координат $\overrightarrow=x\overrightarrow+y\overrightarrow$. Отсюда следует, что $\overrightarrowM^<*>>=x\overrightarrowA^<*>>+y\overrightarrowB^<*>>$. Действительно, векторы $\overrightarrowA^<*>>$ и $\overrightarrowB^<*>>$ взаимно перпендикулярны и по длине равны 1, а потому компоненты $\overrightarrowM^<*>>$ по этим векторам равны его скалярным проекциям на них. Эти проекции равны проекциям $\overrightarrow$ на $\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$, что видно из равенства соответствующих треугольников. Теперь мы можем написать
$$
\overrightarrow>=\overrightarrow>+\overrightarrowM^<*>>=\overrightarrow>+x\overrightarrowA^<*>>+y\overrightarrowB^<*>>.\label
$$

Обозначим через $\varphi$ угол между $\overrightarrowA^<*>>$ и $\boldsymbol_<1>$. Поскольку $|\overrightarrowA^<*>>|=1$, координаты этого вектора в базисе $\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$ равны $(\cos \varphi, \sin \varphi)$. Тогда перпендикулярный вектор единичной длины $\overrightarrowB^<*>>$ имеет координаты ($\mp \sin,\ \pm \cos$), причем верхние знаки берутся в том случае, когда пара векторов $\overrightarrowA^<*>>$ и $\overrightarrowB^<*>>$ ориентирована так же, как $\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$. Координаты точки $O^<*>$ обозначим через $(c_<1>, c_<2>)$.

Теперь мы можем разложить все члены равенства \eqref по базису:
$$
\begin
& x^<*>=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_<1>,\\
& y^<*>=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_<2>.
\end\label
$$

Итак, мы доказали следующее утверждение.

Произвольное ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами \eqref, где $\varphi$ — угол, на который поворачивается первый базисный вектор, a $c_<1>$ и $c_<2>$ — координаты образа начала координат. При этом выбираются верхние знаки, если образы базисных векторов ориентированы так же, как и сами эти векторы, и нижние знаки в противоположном случае.

Параллельный перенос на вектор с сопоставляет точке $M$ с координатами $(x, y)$ в некоторой декартовой системе координат точку $M^<*>$ с координатами
$$
x^<*>=x+c_<1>,\ y^<*>=y+c_<2>,\nonumber
$$
где $c_<1>$ и $c_<2>$ — координаты $c$.

Напишем уравнения поворота плоскости на угол $\varphi$ вокруг некоторой точки, приняв эту точку за начало декартовой прямоугольной системы координат. В этом случае $O=O^<*>$ и, следовательно, $c_<1>=c_<2>=0$. Должны быть выбраны верхние знаки. Итак
$$
x^<*>=x \cos<\varphi>-y \sin<\varphi>,\ y^<*>=x \sin<\varphi>+y \cos<\varphi>,\nonumber
$$

Рассмотрим осевую симметрию относительно некоторой прямой. Примем ось симметрии за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Тогда точка $M(x, y)$ переходит в точку $M^<*>$ с координатами
$$
x^<*>=x,\ y^<*>=-y.\nonumber
$$
Здесь $c_<1>=c_<2>=0$ и $\varphi=0$ при нижних знаках в формулах \eqref.

Определение линейных преобразований.

Основным объектом для нас будет более широкий класс преобразований, включающий в себя ортогональные преобразования.

Преобразование $f$ плоскости $P$ называется линейным, если на $P$ существует такая декартова система координат, в которой $f$ может быть записано формулами
$$
\begin
& x^<*>=a_<1>x+b_<1>y+c_<1>,\\
& y^<*>=a_<2>x+b_<2>y+c_<2>.
\end\label
$$
Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным преобразованием.

Подчеркнем, что в определении линейного преобразования, вовсе не требуется, чтобы коэффициенты в формулах \eqref не обращались в нуль одновременно. Они могут быть любыми. Докажем следующее утверждение.

Для того чтобы преобразование, задаваемое формулами \eqref, было взаимно однозначным, необходимо и достаточно,
$$
\begin
a_<1>& b_<1>\\
a_<2>& b_<2>
\end \neq 0.\label
$$

Таким образом, аффинное преобразование определяется формулами \eqref при условии \eqref.

Наше утверждение вытекает по существу из утверждения о существовании решения системы линейных уравнений. Нам нужно узнать, при каком условии каждая точка плоскости имеет единственный прообраз. Формулы \eqref связывают координаты $(x^<*>, y^<*>)$ точки $M^<*>$ и координаты $(x, y)$ ее прообраза. Их можно рассматривать как систему линейных уравнений для нахождения $x$ и $y$, и эта система имеет единственное решение при любых свободных членах $x^<*>-c_<1>$ и $y^<*>-c_<2>$ (а значит, при любых $x^<*>$ и $y^<*>$) тогда и только тогда, когда выполнено условие \eqref.

Как видно из доказанного утверждения, ортогональные преобразования являются линейными. Проверка условия \eqref показывает, что они аффинные. Рассмотрим другие примеры.

Рассмотрим сжатие к прямой и примем эту прямую за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Легко видеть, что в такой системе координат сжатие с коэффициентом $\lambda$ записывается формулами
$$
x^<*>=x,\ y^<*>=\lambda y.\nonumber
$$
Сжатие к прямой — аффинное преобразование.

Проектирование на прямую в такой декартовой прямоугольной системе координат, для которой эта прямая — ось абсцисс, записывается формулами
$$
x^<*>=x,\ y^<*>=0.\nonumber
$$
Это — линейное, но не аффинное преобразование.

Для записи уравнений гомотетии не существенно, чтобы система координат была прямоугольной, но уравнения проще, если начало координат поместить в центр гомотетии. По определению гомотетии с коэффициентом $\lambda$ вектор $\overrightarrow$ переходит в вектор $\overrightarrow>=\lambda\overrightarrow$. Если $O$ — начало координат, координаты точек $M$ и $M^<*>$ будут связаны равенствами
$$
x^<*>=\lambda x,\ y^<*>=\lambda y.\nonumber
$$
Гомотетия — аффинное преобразование.

Преобразование, сопоставляющее каждой точке плоскости одну и ту же точку $C$, записывается формулами $x^<*>=c_<1>$, $y^<*>=c_<2>$, где $c_<1>$ и $c_<2>$ — координаты точки $C$. Оно линейное, но не аффинное.

Определение аффинного преобразования содержит упоминание о некоторой определенной системе координат, и заранее не известно, будет ли преобразование записываться формулами вида \eqref в какой-либо другой системе координат. Давайте докажем следующее утверждение.

В любой декартовой системе координат, линейное преобразование задается формулами вида \eqref, то есть:
$$
\begin
& x^<*>=a_<1>x+b_<1>y+c_<1>,\\
& y^<*>=a_<2>x+b_<2>y+c_<2>.
\end\nonumber
$$

Пусть преобразование задано равенствами \eqref в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$. Перейдем к системе координат $O’, \boldsymbol’_<1>, \boldsymbol’_<2>$. Как мы знаем, старые координаты точки $M(x, y)$ выражаются через новые координаты $(x’, y’)$ по следующим формулам:
$$
x=\alpha_<1>x’+\beta_<1>y’+\gamma_<1>,\ y=\alpha_<2>x’+\beta_<2>y’+\gamma_<2>.\label
$$
Для образа $M^<*>$ точки $M$ нам нужно будет, наоборот, выразить новые координаты $(x’^<*>, y’^<*>)$ через его старые координаты $(x^<*>, y^<*>)$. Они выражаются такими же формулами, разумеется, с другими коэффициентами:
$$
x’^<*>=\lambda_<1>(x^<*>)+\mu_<1>y^<*>+\nu_<1>,\ y’^<*>=\lambda_<2>x^<*>+\mu_<2>y^<*>+\nu_<2>.\label
$$

Нам требуется найти выражение новых координат $(x’^<*>, y’^<*>)$ точки $M^<*>$ через новые координаты $(x’, y’)$ точки $M$. С этой целью подставим в равенства \eqref значения $x^<*>$ и $y^<*>$ из формул \eqref:
$$
\begin
& x’^<*>=\lambda_<1>(a_<1>x+b_<1>y+c_<1>)+\mu_<1>(a_<2>x+b_<2>y+c_<2>)+\nu_<1>,\\
& y’^<*>=\lambda_<2>(a_<1>x+b_<1>y+c_<1>)+\mu_<2>(a_<2>x+b_<2>y+c_<2>)+\nu_<2>.
\end\nonumber
$$

Для нас важно, что правые части этих равенств — многочлены степени не выше 1 относительно $x$ и $y$:
$$
x’^<*>=A_<1>x+B_<1>y+C_<1>,\ y’^<*>=A_<2>x+B_<2>y+C_<2>.\label
$$
Подставив сюда выражения $x$ и $y$ по формулам \eqref, мы найдем искомую зависимость:
$$
\begin
& x’^<*>=A_<1>(\alpha_<1>x’+\beta_<1>y’+\gamma_<1>)+B_<1>(\alpha_<2>x’+\beta_<2>y’+\gamma_<2>)+C_<1>,\\
& y’^<*>=A_<2>(\alpha_<1>x’+\beta_<1>y’+\gamma_<1>)+B_<2>(\alpha_<2>x’+\beta_<2>y’+\gamma_<2>)+C_<2>.
\end\nonumber
$$
Мы видим, что правые части этих равенств — многочлены степени не выше 1 относительно $x’$ и $y’$. Это нам и требовалось доказать.

Заметим, что аффинные преобразования выделяются из линейных требованием взаимной однозначности, которое не зависит от системы координат. Поэтому без дополнительных проверок мы можем быть уверены, что формулы, задающие аффинное преобразование в новой системе координат, удовлетворяют условию \eqref.

Произведение линейных преобразований.

Доказательство последнего утверждения было основано на том, что результат подстановки многочленов степени не выше 1 в многочлен степени не выше 1 оказывается таким же многочленом. Это же обстоятельство лежит в основе следующего утверждения.

Произведение линейных преобразований является линейным преобразованием. Произведение аффинных преобразований — аффинное преобразование.

Пусть заданы линейные преобразования $f$ и $g$ и выбрана система координат. Тогда координаты точки $f(M)$ выражаются через координаты точки $M$ формулами
$$
x^<*>=a_<1>x+b_<1>y+c_<1>,\ y^<*>=a_<2>x+b_<2>y+c_<2>.\label
$$
а координаты точки $g(f(M))$ через координаты точки $f(M)$ формулами
$$
x^<**>=d_<1>x^<*>+e_<1>y^<*>+f_<1>,\ y^<**>=d_<2>x^<*>+e_<2>y^<*>+f_<2>.\label
$$
Подстановка равенств \eqref в \eqref выражает координаты g(f(M)) через координаты $M$. В результате подстановки мы получаем многочлены степени не выше 1, что и доказывает первую часть предложения.

Для доказательства второй части достаточно вспомнить, что по согласно ранее доказанного утверждения произведение двух взаимно однозначных преобразований взаимно однозначно.

Преобразование, обратное аффинному преобразованию, также является аффинным.

Если преобразование $f$ записано уравнениями \eqref, то координатная запись его обратного преобразования получается решением уравнений \eqref относительно $x$ и $y$. Для того чтобы решить эти уравнения, умножим первое из них на $b_<2>$, второе — на $b_<1>$ и вычтем одно уравнение из другого. Мы получим $(a_<1>b_<2>-a_<2>b_<1>)x=b_<2>(x^<*>-c_<1>)-b_<1>(y^<*>-c_<2>)$. Из условия \eqref следует, что $x$ — линейный многочлен от $x^<*>$ и $y^<*>$. Выражение для $y$ получается аналогично.

Образ вектора при линейном преобразовании.

Рассмотрим вектор $\overrightarrowM_<2>>$. Если координаты точек $M_<1>$ и $M_<2>$ в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$ обозначить соответственно $x_<1>, y_<1>$ и $x_<2>, y_<2>$, то компоненты вектора будут равны $x_<2>-x_<1>$ и $y_<2>-y_<1>$. Пусть формулы \eqref задают преобразование $f$ в выбранной системе координат. Тогда образы $M_<2>^<*>$ и $M_<1>^<*>$ точек $M_<2>$ и $M_<1>$ имеют абсциссы
$$
x_<2>^<*>=a_<1>x_<2>+b_<1>y_<2>+c_<1>,\ x_<1>^<*>=a_<1>x_<1>+b_<1>y_<1>+c_<1>.\nonumber
$$
Следовательно, первая компонента вектора $\overrightarrow^<*>M_<2>^<*>>$ равна
$$
x_<2>^<*>-x_<1>^<*>=a_<2>(x_<2>-x_<1>)+b_<1>(y_<2>-y_<1>).\nonumber
$$
Аналогично находим вторую компоненту этого вектора
$$
y_<2>^<*>-y_<1>^<*>=a_<2>(x_<2>-x_<1>)+b_<2>(y_<2>-y_<1>).\nonumber
$$

Обратим внимание на то, что компоненты $\overrightarrow^<*>M_<2>^<*>>$ выражаются только через компоненты $\overrightarrowM_<2>>$, а не через координаты точек $M_<1>$ и $M_<2>$ по отдельности. Два равных вектора имеют одинаковые компоненты и, следовательно, при линейном преобразовании перейдут в векторы, компоненты которых также одинаковы. Итак, мы получаем ещё одно утверждение.

При линейном преобразовании равные векторы переходят в равные векторы. Компоненты $\alpha_<1>^<*>$, $\alpha_<2>^<*>$ образа вектора выражаются через его компоненты $\alpha_<1>$, $\alpha_<2>$ формулами
$$
\begin
& \alpha_<1>^<*>=a_<1>\alpha_<1>+b_<1>\alpha_<2>,\\
& \alpha_<2>^<*>=a_<2>\alpha_<1>+b_<2>\alpha_<2>.
\end\label
$$

Если быть точным, говорить об образе вектора при преобразовании $f$ неправильно: преобразование отображает точки, а не векторы. Точнее было бы сказать, что $f$ порождает преобразование $\tilde$ множества векторов. Но ниже мы, тем не менее, будем придерживаться не совсем точной, но более удобной и общепринятой терминологии — говорить, что преобразование $f$ переводит вектор $\boldsymbol$ в вектор $\boldsymbol^<*>$ и обозначать последний через $f(\boldsymbol)$.

Из равенств \eqref следует, что при линейном преобразовании $f$ линейно зависимые векторы переходят в линейно зависимые. Действительно, как легко видеть, $f(\boldsymbol<0>)=\boldsymbol<0>$. Тогда любое соотношение вида $\lambda \boldsymbol+\mu \boldsymbol=\boldsymbol<0>$ влечет за собой $\lambda f(\boldsymbol)+\mu f(\boldsymbol)=\boldsymbol<0>$.

Следующее утверждение устанавливает геометрический смысл коэффициентов в формулах, задающих линейное преобразование.

Пусть преобразование $f$ записано в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$ формулами \eqref. Тогда $c_<1>$ и $c_<2>$ — координаты точки $f(O)$, a $a_ <1>a_<2>$ и $b_<1>, b_<2>$ — компоненты векторов $f(\boldsymbol_<1>)$ и $f(\boldsymbol_<2>)$ в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$.

Для доказательства подставим в формулы \eqref значения $x=0$ и $y=0$ координат точки $O$ и увидим, что координаты $f(O)$ равны $c_<1>$ и $c_<2>$.

Подставим в формулы \eqref координаты вектора $\boldsymbol_<1>$ $\alpha_<1>=1$, $\alpha_<2>=0$ и найдем $a_<1>^<*>=a_<1>$, $a_<2>^<*>=a_<2>$. Следовательно, $f(\boldsymbol_<1>)$ имеет компоненты $a_<1>$ и $a_<2>$. Так же доказывается, что компоненты $f(\boldsymbol_<2>)$ равны $b_<1>$ и $b_<2>$.

Каковы бы ни были три точки $L$, $M$, $N$, не лежащие на одной прямой, и три точки $L^<*>$, $M^<*>$ и $N^<*>$, существует единственное линейное преобразование $f$ такое, что $L^<*>=f(L)$, $M^<*>=f(M)$ и $N^<*>=f(N)$. Это преобразование аффинное тогда и только тогда, когда точки $L^<*>$, $M^<*>$ и $N^<*>$ также не лежат на одной прямой.

Векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ не коллинеарны. Следовательно, $L$, $\overrightarrow$, $\overrightarrow$ — декартова система координат. Пусть $c_<1>, c_<2>$ — координаты $L^<*>$, а $a_<1>, a_<2>$ и $b_<1>, b_<2>$ — компоненты векторов $\overrightarrowM^<*>>$ и $\overrightarrowN^<*>>$ в этой системе координат. Формулы
$$
x^<*>=a_<1>x+b_<1>y+c_<1>,\ y^<*>=a_<2>x+b_<2>y+c_<2>\nonumber
$$
определяют линейное преобразование $f$, которое, как легко видеть, обладает требуемым свойством. При этом согласно предложению 7, коэффициенты в формулах однозначно определены.

Условие \eqref, равносильное аффинности преобразования, необходимо и достаточно для того, чтобы векторы $\overrightarrowM^<*>>$ и $\overrightarrowN^<*>>$ были не коллинеарны, то есть $L^<*>$, $M^<*>$ и $N^<*>$ не лежали на одной прямой. Предложение доказано.

Заметим, что в том случае, когда преобразование $f$ аффинное, точка $f(O)$ и векторы $f(\boldsymbol_<1>)$ и $f(\boldsymbol_<2>)$ могут быть использованы как система координат. Для этой системы координат имеет место ещё одно утверждение.

При аффинном преобразовании $f$ образ $M^<*>$ точки $M$ в системе координат $f(O)$, $f(\boldsymbol_<1>)$, $f(\boldsymbol_<2>)$ имеет те же координаты, что и точка $M$ в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$.

Равенство $\overrightarrow=x \boldsymbol_<1>+y \boldsymbol_<2>$ означает, что $x$, $y$ — координаты $M$ в системе координат $O, \boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>$. Подействовав преобразованием $f$ на обе части этого равенства, мы получаем $\overrightarrow=x f(\boldsymbol_<1>)+y f(\boldsymbol_<2>)$, которое означает, что $x$ и $y$ — координаты $M^<*>$ в системе координат $f(O)$, $f(\boldsymbol_<1>)$, $f(\boldsymbol_<2>)$.

Источник

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Линейный оператор

Примеры линейных операторов

Бóльшую часть примеров пункта ☞ ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ представляют именно линейные операторы. Укажу еще несколько, к которым буду часто обращаться.

Пример 4. Задачу интерполяции можно интерпретировать как построение некоторого отображения. В интерполяционной таблице

По аналогии с задачей алгебраической интерполяции, можно поставить и задачу тригонометрической интерполяции. Имеем здесь «точку входа» в теорию дискретного преобразования Фурье. ♦

Основные определения

Теорема 2. Имеет место равенство:

Не всякий оператор обратим.

Показать, что обратным для оператора

Сформулируем еще один результат, являющийся частным случаем приведенного в пункте ☞ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.

Матрица оператора

Как изменяется матрица оператора при переходе к новому базису?

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Иными словами: «физический» смысл определителя оператора заключается в том, что модуль его значения представляет коэффициент расширения 4) объема (в настоящем примере — площади) тела (соответственно, плоской фигуры) под воздействием этого оператора.

Теорема 5. Оператор обратим тогда и только тогда, когда когда его определитель отличен от нуля.

Теорема 7. В любом базисе пространства

б) матрица произведения операторов совпадает с произведением матриц этих операторов 5) ;

в) коммутирующим операторам соответствуют коммутирующие матрицы;

Матрица оператора и матрица перехода от базиса к базису

«Физический» смысл этих понятий различен. Образно говоря, если рассматривать оператор как процесс (точнее: установленную связь между входными и выходными значениями процесса), то выбор базиса можно интерпретировать как выбор точки зрения на этот процесс (можно трактовать эти слова как формализацию выражения «рассмотрим этот процесс под другим углом»).

Матрица оператора проецирования

Настоящий пункт может быть пропущен при первоначальном чтении.

Матрица оператора отражения (оператора Хаусхолдера)

Настоящий пункт может быть пропущен при первоначальном чтении.

Инвариантное подпространство

Нас будут интересовать нетривиальные инвариантные подпространства.

Пример. Оператор

Доказать, что сумма двух инвариантных подпространств является инвариантным подпространством.

Собственное число и собственный вектор

Задача. Найти одномерные инвариантные подпространства оператора.

Пример. Оператор

Анимация процесса ☞ ЗДЕСЬ (1500 Kb, gif).

Теорема. Любой собственный вектор оператора порождает его одномерное инвариантное подпространство, и обратно: любой ненулевой вектор одномерного инвариантного подпространства оператора является собственным вектором.

Задача. Для произвольного оператора выяснить условия существования его собственного числа и разработать конструктивный метод его нахождения.

Теорема. В комплексном линейном пространстве любой оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.

Пример. Применим полученный результат для получения альтернативного решения предыдущего примера.

Теорема. Характеристические полиномы подобных матриц одинаковы.

Теорема [Гамильтон, Кэли]. Результатом подстановки оператора в собственный характеристический полином будет нулевой оператор.

Пример. Для рассмотренного в предыдущих примерах оператора

Диагонализуемость матрицы оператора

Теорема 1. Собственные векторы оператора, принадлежащие различным собственным числам, линейно независимы.

Теорема позволяет сформулировать достаточное условие диагонализуемости.

Теорема 3. Если характеристический полином оператора не имеет кратных корней, то матрица оператора диагонализуема.

В случае наличия у характеристического полинома оператора кратного корня, анализ оператора на возможность диагонализуемости его матрицы усложняется.

Теорема 5. Матрица оператора диагонализуема тогда и только тогда, когда для каждого ее собственного числа алгебраическая кратность равна геометрической кратности:

Диагонализуемость матрицы оператора над полем вещественных чисел

Жорданова нормальная форма

Задачи

Источники

[1]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.

[2]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ.1960

[3]. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.Мир.1989

[4]. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.Наука. 1965