Докажите что плоскость скм перпендикулярна плоскости авс
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 5 : 1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна SA.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α — прямоугольник.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
а) Пусть точка H — середина ребра BC, а плоскость α пересекает ребра SB и АС в точках L и N соответственно. Тогда медианы АН и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой BC. Следовательно, прямая SA перпендикулярна прямой BC.
Поскольку прямая SA параллельна плоскости α, прямые KL и MN параллельны прямой SA, а значит,
Следовательно, прямые LM и KN параллельны прямой BC.
Таким образом, KLMN является параллелограммом, пары противоположных сторон которого параллельны перпендикулярным прямым SA и BC соответственно, то есть KLMN — прямоугольник.
б) Прямая BC, параллельная прямой KN, перпендикулярна плоскости ASH, значит, плоскости ASH и α перпендикулярны.
Пусть плоскость ASH пересекает прямые KN и LM в точках E и F соответственно. Тогда высота пирамиды AKLMN равна расстоянию h между прямыми SA и EF.
Высота SO пирамиды SABC лежит в плоскости ASH, AO : OH = 2 : 1, откуда
Объём пирамиды AKLMN равен
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Докажите что плоскость скм перпендикулярна плоскости авс
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.
а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды CDKM.
а) Пусть SO — высота пирамиды SABCDEF. Пусть P — точка пересечения FC и DM. Треугольники ODP и CMP подобны, так как прямая OD параллельна MC. Следовательно, Однако, Тогда треугольники OSC и PKC подобны, а прямые OS и PK параллельны, следовательно, прямая PK перпендикулярна плоскости ABC. Таким образом, плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания, что и требовалось доказать.
б) С помощью теоремы Пифагора вычислим:
Далее найдем площадь треугольника MCD:
Вычислим объем пирамиды CDKM:
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Докажите что плоскость скм перпендикулярна плоскости авс
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
а) Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Рассмотрим квадрат ABCD. Треугольники MHB и CHD подобны по двум углам. Получаем:
Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Тогда, поскольку пирамида SABCD правильная, центр квадрата ABCD совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBD.
В треугольнике SOB имеем:
Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
б) Пусть h — высота пирамида ВСКМ, проведённая из вершины К. В треугольнике SOB имеем:
Площадь треугольника ВСМ равна
Объём пирамиды ВСКМ равен
Ответ: б)
Приведем решение пункта а) Ирины Шарго.
Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Пусть точка O — центр основания пирамиды. Тогда для треугольника AOB по теореме Менелая получим:
В треугольнике SOB имеем:
Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Докажите что плоскость скм перпендикулярна плоскости авс
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Тогда, поскольку пирамида SABCD правильная, центр квадрата ABCD совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBD.
В треугольнике SOB имеем:
Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
б) Пусть h — высота пирамида ВСКМ, проведённая из вершины К. В треугольнике SOB имеем:
Площадь треугольника ВСМ равна
Объём пирамиды ВСКМ равен
Ответ: б)
Приведем решение пункта а) Ирины Шарго.
Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Пусть точка O — центр основания пирамиды. Тогда для треугольника AOB по теореме Менелая получим:
В треугольнике SOB имеем:
Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Докажите что плоскость скм перпендикулярна плоскости авс
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
а) Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Из условия следует, что BK = 6, а BM = 3. Пусть K’ — точка пересечения CM и BD. В треугольнике BCM, имеем: BM = 3, BC = 4, следовательно, CM = 5. Отрезок BK’ — биссектриса в этом треугольнике, значит, откуда Пусть BK’ = x, применим теорему косинусов:
Корень является посторонним, так как то есть меньше высоты треугольника BCM. Теперь заметим, что откуда
Тогда треугольники BKK’ и BSO подобны. Таким образом, KK‘ параллельна SO, а значит, плоскость CKM cодержит прямую KK’ перпендикулярную ABC. Следовательно, плоскости CKM и ABC перпендикулярны.
б) Так как прямая KK’ перпендикулярна плоскости ABC, она является высотой пирамиды BCKM с основанием BCM. Площадь треугольника BCM равна 6. Найдем KK’:
Тогда объем пирамиды BCKM равен
Ответ: б)
Примечание: Отрезок BK’может быть найден из более простых соображений. Заметим, что треугольники BK’M и CK’D подобны с коэффициентом подобия При этом откуда
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
откуда 
Пусть BK’ = x, применим теорему косинусов:
является посторонним, так как 
то есть меньше высоты треугольника BCM. Теперь заметим, что 
откуда
При этом 
откуда 