докажите что треугольник abc прямоугольный
Докажите что треугольник abc прямоугольный
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 8.
а) Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 :1, считая от вершины. Значит,
Поэтому треугольники 
и 
равнобедренные, причём 
и 
Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда 
Отсюда следует, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Треугольник 
прямоугольный. Поэтому
Аналогично, из прямоугольного треугольника 
находим:
Сложим полученные равенства:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Аналоги к заданию № 505537: 509323 509344 511579 Все
Докажите что треугольник abc прямоугольный
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.
Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,
Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём ∠B1AB = ∠ABB1 и ∠B1CB = ∠CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB1 + ∠CBB1 = 90°. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.
б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
Аналогично из прямоугольного треугольника C1BC находим:
Тогда 
Приведём другое решение пункта а).
Покажем, что медиана, проведенная к стороне AC, равна половине этой стороны. Тогда угол, противолежащий стороне AC, равен 90°, что и требуется доказать. Действительно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | |||||||||||
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | |||||||||||
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Докажите что треугольник abc прямоугольныйМедианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12. а) Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,
Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём ∠B1AB = ∠ABB1 и ∠B1CB = ∠CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB1 + ∠CBB1 = 90°. Отсюда следует, что треугольник ABC прямоугольный. б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
Аналогично, из прямоугольного треугольника C1BC находим:
Сложим полученные равенства:
Аналоги к заданию № 505537: 509323 509344 511579 Все Доказать можно проще: Треугольник Значит Можно еще проще. Докажите что треугольник abc прямоугольныйЗагрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых CM и DK. а) Докажите, что CM б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины A опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно. а) Докажите, что б) Найдите AH, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB. а) Докажите, что б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D. б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2. а) Докажите, что б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O. а) Докажите, что CO = KO. б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O. а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность. б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые. а) Доказать, что MA = MD. б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции. а) Доказать, что M делит AD в отношении 2 : 1. б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC = Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, причем а) Докажите, что АM = DM. б) Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50°, а высота, проведённая из точки M к АD, равна BC. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO. а) Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности. б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB1, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°. а) Докажите, что угол ABC равен 120°. б) Найдите BH, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые. а) Докажите, что АВ = CD. б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка Е — середина стороны BС квадрата АВСD. Серединные перпендикуляры к отрезкам АЕ и ЕС пересекаются в точке O. а) Докажите, что б) Найдите Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К соответственно, причем ВР : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3 : 13. а) Докажите, что углы РDK и РСК равны. б) Пусть М — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD. а) Докажите, что ВС || AD. б) Найдите площадь треугольника АОВ, если длина перпендикуляра, опущенного из точки С на AD, равна 9, а длина отрезка ВС в два раза меньше длины отрезка AD. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Из вершин А и В тупоугольного треугольника АВС проведены высоты BQ и AH. Известно, что угол В — тупой, BC : CH = 4 : 5, BH = BQ. А) Докажите, что диаметр описанной вокруг треугольника ABQ окружности в Б) Найдите площадь четырехугольника AHBQ, если площадь треугольника HQC равна 25. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD — в точке К. Прямая КО пересекает стороны ВС и AD в точках М и N соответственно, и угол BAD равен 30°. Известно, что в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность. а) Докажите, что треугольник AKD тупоугольный. б) Найти отношение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB. а) Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов. б) Найдите площадь треугольника DMG, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков). а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков). а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём а) Докажите, что CP и СQ перпендикулярны. б) Найдите PQ, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM = BN = а) Докажите, что четырехугольник BCPM — равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь треугольника ABC, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN. а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны. б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 28, BC = 18. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм. б) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 63, ВС = 25. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны. а) Докажите, что б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника АВС вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы АВ, пересекает катет ВС в точке М. а) Докажите, б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 20 и Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN = AC. а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны. б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка Е — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересекаются в точке L. а) Докажите, что EL — медиана треугольника КСЕ. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На стороне АВ треугольника АВС взята точка Е, а на стороне ВС — точка D так, что АЕ = 2, CD = 1. Прямые AD и СЕ пересекаются в точке О. Известно, что АВ = ВС = 8, АС = 6. а) Докажите, что АО : АD = 8 : 11. б) Найдите площадь четырехугольника BDOE. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что а) Докажите, что треугольник ACD равнобедренный. б) Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Отрезки AK, BL, CN — высоты остроугольного треугольника АВС. Точки Р и Q — проекции точки N на стороны АС и ВС соответственно. а) Докажите, что прямые PQ и KL параллельны. б) Найдите площадь четырехугольника PQKL, если известно, что CN = 12, AC = 13, BC = 15. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC. б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC : AB = 5 : 4. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN. а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN. б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точки E и F расположены соответственно на стороне ВС и высоте ВР остроугольного треугольника АВС так, что AP = 3, а) Докажите, что ортогональная проекция точки Е на АС делит отрезок АС в отношении 1 : 16, считая от вершины С. б) Найдите площадь треугольника AEF. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В выпуклом четырехугольнике KLMN точки P и Q — середины сторон NK и LM соответственно. Диагональ КМ делит точкой пересечения отрезок PQ пополам. а) Докажите, что площадь четырехугольника KLMN в 4 раза больше площади треугольника PMN. б) Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника KLMN, если площадь PMN равна Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность. а) Докажите, что угол BCA равен 60°. б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 25 и IC = 4. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно. а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM. б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно. а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM. б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, AB = BM, MC = CD. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD. а) Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм или трапеция. б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM : CM = 1 : 3 и площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AM, DM, BP и CP, равна 18. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причем AM : CM = 2 : 3 и а) Докажите, что угол ABC тупой. б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM. а) Докажите, что BM = BN. б) Найдите MN, если AC = 7, Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка M, такая, что CM = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка N, что AD = AN. а) Докажите, что BM = BN. б) Найдите MN, если AC = 4, Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В равнобедренной трапеции ABCD длины оснований AD и BC соответственно равны 4 и 3. Точки M и N лежат на диагонали BD, причем точка M расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD. а) Докажите, что BN : DM = 3 : 4. б) Найдите длину отрезка CN, если известно, что BM : DN = 2 : 3. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры. а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией. б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан треугольник ABC со сторонами AB = 4, BC = 5 и AC = 6. а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне BC. б) Найдите длину биссектрисы треугольника ABC, проведенной из вершины A. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O, BC и AD — основания трапеции. а) Докажите, что б) Найдите площадь трапеции, если AD = 4BC, Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Прямые B1C1 и BC пересекаются в точке P. а) Докажите, что треугольники PBC1 и PB1C подобны. б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC, если BP = BB1, ∠ABC = 80°, Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N. а) Докажите, что б) Найдите BM, если AB = AC = 5, BC = 6. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
|
— высота треугольника 
— средняя линия треугольника 
по теореме о перпендикулярности прямой, параллельной перпендикуляру.
значит 
— центр описанной окружности, а 
— ее диаметр. Угол 
— прямой, как опирающийся на диаметр.
DK.
и 
и 
площади трапеции ABCD.
и точка M внутри трапеции, такая, что 
раз больше BQ.
и 
Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а 
Точка P — середина отрезка KN.
и 
причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
и 
Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD = 20.
BE : EC = 10 : 1, а треугольник AEF является равносторонним.
KM = 12, NL = 8.
а точка B лежит между C и P.