докажите что траектория тела брошенного под углом к горизонту парабола

10 класс

§ 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Траектория тела, брошенного под углом к горизонту.

Если сопротивление воздуха не учитывать, то эти движения представляют собой свободное падение. Изучением движения тела, брошенного под углом к горизонту, занимается наука — баллистика.

Пусть тело (будем считать его точкой) в начальный момент времени находилось на высоте h и имело скорость ₀, направленную под углом α к горизонту (рис. 2.42).

Ось Y направим вертикально вверх, а ось X — горизонтально так, чтобы векторы начальной скорости ₀ и ускорения свободного падения лежали в плоскости XOY. Так как тело движется равноускоренно, то для описания его движения можно воспользоваться уравнениями (1) и (2) из § 7 «Ускорение. Равноускоренное прямолинейное движение».

Найдём уравнение траектории тела. Для этого из первого уравнения (2) выразим время t.

Подставляя это выражение во второе уравнение (2), получим:

Из курса математики вам известно, что графиком функции y = αх 2 + bх + с является парабола. В нашем случае коэффициенты

Таким образом, траекторией тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола, проходящая через точку, из которой брошено тело. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x 2 отрицателен. Очевидно, что вершина параболы находится в наивысшей точке подъёма тела (точка В на рис. 2.42).

Время подъёма и время полёта тела.

Время подъёма тела нетрудно определить с помощью второго уравнения (1). B наивысшей точке подъёма вектор скорости параллелен оси X и перпендикулярен оси Y. Пусть t_под — время подъёма тела. Следовательно, проекция скорости на ось Y равна нулю: υ_y = 0. Отсюда

Время полёта t_под тела от точки бросания до точки падения определяется уравнением (2) для координаты у тела. В конце полёта в момент t = t_пол, координата y = 0. Тогда

Если h = 0, т. е. тело брошено с поверхности Земли (рис. 2.43), то

Время падения t_под тела по нисходящей части траектории равно:

C учётом формул (3) и (5) можно записать:

Сравнивая формулы (3), (5) и (6), приходим к выводу, что время подъёма и время падения тела при h = 0 равны между собой и в 2 раза меньше времени полёта.

Дальность полёта тела.

Найдём горизонтальную дальность полёта, т. е. длину отрезка OA (см. рис. 2.42). Для этого в уравнение (2) для координаты х тела нужно подставить время полёта (4) или (5). Если h = 0 (рис. 2.43), то дальность полёта равна:

Очевидно, что при данном модуле υ₀ начальной скорости бросания тела дальность полёта будет наибольшей, когда sin 2α = 1, т. е. при a = 45°.

Максимальная высота подъёма тела.

Максимальную высоту подъёма тела y_max можно определить из второго уравнения (2), подставив в него выражение для времени подъёма (3):

Если бросание происходит с поверхности Земли (h = 0), то

Итак, максимальная высота подъёма тела пропорциональна квадрату начальной скорости и возрастает с увеличением угла бросания.

Движение тела, брошенного горизонтально.

Если угол α = 0°, то начальная скорость движения тела направлена горизонтально вдоль оси X. Это случай движения тела, брошенного горизонтально (рис. 2.44, а). Для его описания можно использовать уравнения (1) и (2).

Траекторией движения тела является парабола с вершиной в точке бросания. Но для рассматриваемой задачи время полёта тела получается таким же, как и при свободном падении тела с той же высоты при υ₀ = 0. Действительно, из уравнения (4) для α = 0° следует:

Наглядное представление о траектории тела (например, стального шарика), брошенного горизонтально, можно получить, если сфотографировать шарик, освещая его во время падения кратковременными вспышками света, следующими друг за другом через одинаковые интервалы. Полученная таким образом картина движения шарика приведена на рисунке 2.44, б. Слева для сравнения показаны положения шарика, начавшего свободно падать вниз без начальной скорости в тот момент, когда началось движение шарика, брошенного горизонтально. Обратите внимание на то, что оба шарика в любой момент времени находятся на одной высоте. Это означает, что их координаты y меняются со временем совершенно одинаково, а на изменение координаты y не оказывает никакого влияния смещение шарика в горизонтальном направлении вдоль оси X.

Вопросы:

1. Приведите примеры движения тела, брошенного под углом к горизонту.

2. Что представляет собой траектория тела, брошенного под углом к горизонту?

3. Запишите выражения для определения:

б) дальности полёта;

в) максимальной высоты подъёма тела, брошенного под углом к горизонту.

4. Какие выводы можно сделать на основе анализа рисунка 2.44, б?

Пример решения задачи

Под каким углом к горизонту необходимо бросить тело, чтобы его максимальная высота подъёма была в 2 раза больше максимальной дальности полёта (рис. 2.45)? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Упражнения:

1. C какой высоты был брошен в горизонтальном направлении мяч со скоростью, модуль которой равен 10 м/с, если он упал на расстоянии 4,9 м от места броска? Сопротивлением воздуха пренебречь.

2. Камень брошен с горы в горизонтальном направлении со скоростью, модуль которой равен 15 м/с. Через какое время его скорость будет направлена под углом 45° к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

3. Мяч брошен под углом 30° к горизонту с начальной скоростью, модуль которой равен 10 м/с.

Определите:

а) проекции υ_0x и υ_0y начальной скорости;

г) дальность полёта мяча. Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Двое ребят играют в мяч, бросая его друг другу. На какую максимальную высоту поднимется мяч во время игры, если он от одного игрока к другому летит в течение 2 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Источник

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим тело, брошенное под углом к горизонту. Пусть сопротивление воздуха будет очень малой величиной, такой малой, что мы сможем ей пренебречь.

Благодаря силе притяжения земли тело часть пути будет подниматься над поверхностью, а часть – опускаться к поверхности. Траектория полета такого тела – это парабола (рис. 1).

Разложим скорость тела

Вместо того, чтобы рассматривать сложное движение одного тела по параболе, будем рассматривать одновременное и более простое движение двух тел. Одно тело движется по вертикали, а второе – по горизонтали. Тела одновременно стартуют и заканчивают движение.

Мы сможем сложное движение разделить на два простых, как только разложим на проекции скорость тела. Полученные скорости будем рассматривать, как скорости отдельно двигающихся тел.

Любой вектор, направленный под углом к осям, можно разложить на проекции — вертикальную и горизонтальную (рис. 2).

\[ \large \boxed < \beginv_ <0y>= v \cdot sin(\alpha) \\ v_ <0x>= v \cdot cos(\alpha) \end > \]

Вертикальная и горизонтальная проекции скорости

Обратим внимание теперь на рисунок 3.

На рисунке черным цветом обозначен вектор скорости летящего тела. Видно, что от точки к точке он изменяется не только по модулю, но и по направлению. То есть, меняются характеристики вектора.

Вектор, обозначенный синим цветом на рисунке – это горизонтальная проекция вектора скорости. Заметно, что горизонтальная часть скорости не меняется ни по длине, ни по направлению, то есть, остается постоянной (одной и той же).

Вертикальная проекция скорости обозначена на рисунке красным цветом. При движении вверх она уменьшается, а при движении вниз – растет.

В самой высокой точке траектории вертикальная проекция скорости превращается в ноль. Из-за этого в верхней точке скорость направлена только горизонтально и равна числу \( v_<0x>\). Число \( v_<0x>\) – это горизонтальная проекция начальной скорости \( v_<0>\) тела.

Упростить сложное движение тела на плоскости можно, рассматривая отдельно движение двух тел: одно тело движется по вертикали, меняя свою скорость, а второе – по горизонтали и, скорость свою не меняет.

Из рисунка 3 так же, следует, что

если тело при падении вернется на уровень, с которого оно стартовало, то:

Запишем теперь формулы, описывающие движение тела, под углом к горизонту. Разделим движение тела на две части: подъем и спуск. Вертикальное движение тела происходит под действием силы тяжести.

Подъем

Когда тело поднимается, оно проходит вертикальный путь \(h\):

Вертикальная часть скорости уменьшается – движение равнозамедленное:

Горизонтальная часть скорости остается такой же, как была в начале пути.

Поэтому вдоль горизонтали движение равномерное, т. е. происходит с неизменной скоростью

Эти формулы можно записать в виде системы:

На максимальной высоте траектории скорость имеет только горизонтальную проекцию (вертикальной скорости нет, скорость только горизонтальная).

Спуск

При спуске, вертикальная проекция скорости растет – движение равноускоренное

Тело спускается, вертикальное перемещение можно найти из соотношения

Горизонтальная часть скорости – все так же, меняться не будет. Поэтому движение вдоль горизонтали происходит с неизменной скоростью и тело проходит вторую часть горизонтального пути

Объединим эти формулы в систему

После того, как мы найдем время подъема и время спуска, можем найти общий путь по горизонтали:

Источник

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

теория по физике 🧲 кинематика

Когда тело бросают вверх под углом к горизонту, оно сначала равнозамедленно поднимается, а затем равноускорено падает. При этом оно перемещается относительно земли с постоянной скоростью.

Важные факты! График движения тела, брошенного под углом к горизонту:

α — угол, под которым было брошено тело

Кинематические характеристики

Модуль мгновенной скорости в момент времени t можно вычислить по теореме Пифагора:

Минимальной скорости тело достигает в верхней точке траектории. Она выражается формулой:

Максимальной скоростью тело обладает в момент начала движения и в момент падения на землю. Начальная и конечная скорости движения тела равны:

Время подъема — время, которое требуется телу, чтобы достигнуть верхней точки траектории. В этой точке проекция скорости на ось ОУ равна нулю: v_y = 0. Время подъема определяется следующей формулой:

Полное время — это время всего полета тела от момента бросания до момента приземления. Так как время падения равно времени подъема, формула для определения полного времени полета принимает вид:

Дальность полета — перемещение тела относительно ОХ. Обозначается буквой l. Так как относительно ОХ тело движется с постоянной скоростью, для вычисления дальности полета можно использовать формулу перемещения при равномерном прямолинейном движении:

Подставляя в выражение формулу полного времени полета, получаем:

Горизонтальное смещение тела — смещение тела вдоль оси ОХ. Вычислить горизонтальное смещение тела в любой момент времени t можно по формуле координаты x:

Учитывая, что x₀ = 0, и проекция ускорения свободного падения на ось ОХ тоже равна нулю, а проекция начальной скорости на эту ось равна v₀ cosα, данная формула принимает вид:

Мгновенная высота — высота, на которой находится тело в выбранный момент времени t. Она вычисляется по формуле координаты y:

Учитывая, что начальная координата равна 0, проекция начальной скорости на ось ОУ равна v₀ sinα, а проекция ускорения свободного падения на эту ось равна –g, эта формула принимает вид:

Наибольшая высота подъема — расстояние от земли до верхней точки траектории. Наибольшая высота подъема обозначается h и вычисляется по формуле:

Пример №1. Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. На какую максимальную высоту поднялся камень, если ровно через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально?

Скорость направляется горизонтально в верхней точке полета. Значит, время подъема равно 1 с. Из формулы времени подъема выразим произведение начальной скорости на синус угла, под которым было брошено тело:

Подставим полученное выражение в формулу для определения наибольшей высоты подъема и сделаем вычисления:

Тело, брошенное под углом к горизонту с некоторой высоты

Когда тело бросают под углом к горизонту с некоторой высоты, характер его движения остается прежним. Но приземлится оно дальше по сравнению со случаем, если бы тело бросали с ровной поверхности.

График движения тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты:

Время падения тела больше времени его подъема: t_пад > t_под.

Полное время полета равно:

Уравнение координаты x:

Уравнение координаты y:

Пример №2. С балкона бросили мяч под углом 60 градусов к горизонту, придав ему начальную скорость 2 м/с. До приземления мяч летел 3 с. Определить дальность полета мяча.

Косинус 60 градусов равен 0,5. Подставляем известные данные в формулу:

x = v₀ cosα t = 2 ∙ 0,5 ∙ 3 = 3 м.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Построим чертеж и укажем на нем все необходимое:

Нулевой уровень — точка D.

Закон сохранения энергии:

Потенциальная энергия шарика в точке А равна:

Кинетическая энергия шарика в точке А равна нулю, так как скорость в начале свободного падения нулевая.

В момент перед упругим ударом с плитой в точке В потенциальная энергия шарика минимальна. Она равна:

Перед ударом кинетическая энергия шарика равна:

Согласно закону сохранения энергии:

E p A = E p B + E k B

Отсюда высота H равна:

Относительно точки В шарик поднимется на высоту h – l₁. Но данный участок движения можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. В таком случае высота полета определяется формулой:

Шарик падал в течение времени t, поэтому мы можем рассчитать высоту шарика над плитой и его скорость в точке В:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В момент t=0 мячик бросают с начальной скоростью v₀ под углом α к горизонту с балкона высотой h (см. рисунок).

Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение мячика в процессе полёта, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. (Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия мячика отсчитывается от уровня y=0).

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите выбранные цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

Решение

Исходя из условия задачи, мячик движется неравномерно. Этот случай соответствует движению тела, брошенного под углом к горизонту.

Записываем формулы для физических величин из таблицы, учитывая, что речь идет о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

Координата x меняется согласно уравнению координаты x:

Так как начальная координата нулевая, а проекция ускорения свободного падения тоже равна нулю, это уравнение принимает вид:

Проекция скорости мячика на ось ОХ равна произведению начальной скорости на время и косинус угла, под которым мячик был брошен. Поэтому уравнение координаты x принимает вид:

В этом уравнении начальная скорость и угол α — постоянные величины. Меняется только время. И оно может только расти. Поэтому и координата x может только расти. В этом случае ей может соответствовать график, представляющий собой прямую линии, не параллельную оси времени. Но графики А и Б не могут описывать изменение этой координаты.

Формула проекции скорости мячика на ось ОХ:

Начальная скорость и угол α — постоянные величины. И больше ни от чего проекция скорости на ось ОХ не зависит. Поэтому ее может охарактеризовать график в виде прямой линии, параллельной оси времени. Такой график у нас есть — это Б.

Кинетическая энергия мячика равна половине произведения массы мячика на квадрат его мгновенной скорости. По мере приближения к верхней точке полета скорость тела уменьшается, а затем растет. Поэтому кинетическая энергия также сначала уменьшается, а затем растет. Но на графике А величина наоборот — сначала увеличивается, потом уменьшается. Поэтому он не может быть графиком зависимости кинетической энергии мячика от времени.

Остается последний вариант — координата y. Уравнение этой координаты имеет вид:

Это квадратическая зависимость, поэтому графиком зависимости координаты y от времени может быть только парабола. Так как мячик сначала движется вверх, а потом — вниз, то и график должен сначала расти, а затем — убывать. График А полностью соответствует этому описанию.

Теперь записываем установленные соответствия в порядке АБ: 42.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Мальчик бросил стальной шарик вверх под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, как меняются по мере приближения к Земле модуль ускорения шарика и горизонтальная составляющая его скорости?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Решение

Модуль ускорения шарика |g| — величина постоянная, так как ускорение свободного падения не меняет ни направления, ни модуля. Поэтому модуль ускорения не меняется (выбор «3»).

Горизонтальная составляющая скорости шарика определяется формулой:

Угол, под которым было брошено тело, поменяться не может. Начальная скорость броска тоже. Больше ни от каких величин горизонтальная составляющая скорости не зависит. Поэтому проекция скорости на ось ОХ тоже не меняется (выбор «3»).

Ответом будет следующая последовательность цифр — 33.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник

Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.

Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли ( g ) – вдоль вертикальной оси ( y ), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.

Движение тела, брошенного горизонтально.

Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.

Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y:

— между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.

Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):

.

Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.

Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение

Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:

Дальность полета:

Из этой формулы следует, что:

— максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 45 0 ;

— на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.

Тогда:

Максимальная высота:

Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна

Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:

Источник