Что является неизвестным при определении реакции в поступательной паре

Реакции в кинематических парах

Лекция 7

Силовой анализ механизмов аналитическим методом

Силовой расчет заключается в определении сил, действующих на звенья механизма, при известном законе движения начального звена. Силовой расчет является первой (прямой) задачей динамики.

Задачи силового расчета

1. Определение сил приложенных к звеньям механизма. Эти силы необходимы для расчета звеньев на прочность и жесткость.

2. Определение сил реакций в кинематических парах (КП). Значения полученных реакций используют для выбора типов и размеров подшипников из условия долговечности, вычисления коэффициента полезного действия механизма.

3. Определение уравновешивающего (или движущего) момента , через который определяют мощность машины

,

где –угловая скорость начального звена.

Допущения, принимаемые при силовом расчете плоских рычажных механизмов

1. Силы трения не учитываются.

2. Звенья считаются абсолютно твердыми телами.

3. Все силы действуют в одной плоскости.

4. Все звенья имеют плоскость симметрии, совпадающую с плоскостью движения.

Метод расчета

Для силового расчета обычно применяют принцип Д’Аламбера. Силовой расчет с применением этого принципа называюткинетостатическим.

Если в любой момент времени к каждой точке системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применить уравнения равновесия.

Звено является абсолютно твердым телом, к каждой точке которого приложена элементарная сила инерции. Элементарные силы инерции всех точек звена приводят к центру масс и заменяют главным вектором и главным моментом сил инерции.

При плоскопараллельном движении звена главный вектор и главный момент сил инерции определяют по следующим формулам:

,

где – ускорение центра масс звенаi; – вектор углового ускорения; звена; – масса звена; – момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.

При поступательном движении звена ,а при вращательном движении звена, у которого центр масс расположен на оси вращения – .

При аналитическом расчете плоских механизмов главный вектор сил инерции раскладывают по осям координат

а главный момент сил инерции определяют по формуле

,

где – алгебраическое значение углового ускорения звенаi.

Обычно применяют следующее правило знаков: если ,то оно направлено против часовой стрелки, в противном случае –по часовой стрелке.Для главного момента сил инерции применяют аналогичное правило. На расчетной схеме направляют в положительную сторону против часовой стрелки.

Уравнения равновесия звена с учетом сил инерции, называемыеуравнениями кинетостатики, имею вид

,

где —внешние силы, действующие на звеноi.

При аналитическом выполнении расчетов с использованием ЭВМ моменты сил удобно вычислять относительно начала координат (т.O) по формуле:

,

где – координаты точки приложения силы .

Реакции в кинематических парах

Силы взаимодействия звеньев (реакции в КП) обозначаютс двойным нижним индексом . Первая цифра индекса указывает на звено, к которому приложена сила, вторая цифра – звено, со стороны которого действует сила. Например, –сила, с которой звено 2 действует на звено 1.

Рассмотрим реакции в кинематических парах, пренебрегая силами трения.

Сила реакцииво вращательной КП лежит в плоскости относительного движения звеньев. Модуль и направление реакции зависит от сил, действующих на звено, и определяются в результате силового расчета. При выполнении силового расчета аналитическим методом реакции во вращательных КП раскладывают на две составляющие по осям координат(рис. 7.1).

Рис.7.1. Реакция во вращательной КП

На расчетных схемах показывают положительные направления сил. По 3 закону Ньютона . Следовательно, .

Во вращательной кинематической паре необходимо определять две неизвестные величины .

В поступательной КП реакция является распределенной силой (рис. 7.2, а), которая направлена перпендикулярно направляющей. Распределенную силу реакции при приведении к произвольной точке A заменяют главным вектором и главным моментом (рис. 7.2 б). Главный вектор приложен к точке приведения (т.A) и направлен перпендикулярно направляющей. Положительное направление задают произвольно, положительное направление момента – против часовой стрелки. На расчетной схеме , направляют в положительную сторону. Истинные направления определяют в результате силового расчета. При составлении уравнений равновесия учитывают, что по 3 закону Ньютона .

Рис. 7.2. Реакция в поступательной КП:

а – распределенная сила реакции ; б – главный вектор и главный момент распределенной реакции

Если главный вектор не равен нулю, то распределенную реакцию можно эквивалентно заменить равнодействующей силой (рис. 7.3). В этом случае величину равнодействующей и точку её приложения (плечо ) определяют из уравнений кинетостатики.

Рис.7.3. Равнодействующая распределенной реакции в поступательной КП

Следовательно, в поступательной паре КП необходимо определять две неизвестные величины (или ).

Примечание. Если точка приложения равнодействующей расположена вне поверхности соприкосновения звеньев, то на звено действуют две сосредоточенные силы, приложенные на границах поверхности соприкосновения (рис. 7.4). При этом

, .

Высшая кинематическая пара.

В высшей кинематической пареконтакт звеньев может происходить по линии или в точке. При точечном контакте сила реакции является сосредоточенной, при линейном контакте – распределенной по линии.

В высшей КП реакция направлена вдоль общей нормали (n-n), проведенной в точке касания (т. A)к двум соприкасающимся поверхностям 1 и 2 (рис. 7.5).

Рис. 7.5 Реакция в высшей кинематической паре

В высшей кинематической паре на плоскости необходимо определять одну неизвестную величину – модуль реакции.

Источник

Определение реакций в кинематических парах механизма

Для определения реакций в кинематических парах надо предварительно разложить механизм на структурные группы. Каждая структурная группа вычерчивается отдельно в масштабе μ_l и к ее звеньям прикладываются соответствующие силы. Силовой расчет механизма начинают с определения давлений в кинематических парах структурной группы, наиболее удаленной от входного звена.

Определение реакций в кинематических парах рассмотрим на следующих примерах.

Кривошипно-шатунный механизм одноступенчатого компрессора (рис.6.2, а). В рассматриваемом примере имеется одна структурная группа, состоящая из звеньев 2–3 (рис.6.2, в).

Воздействие входного звена 1 и стойки 0 на звенья отсоединенной группы 2–3 заменяем силами реакций (см.рис.6.2, в). Одну из составляющих реакций вращательных кинематических пар удобно разложить по направлению звеньев, а вторую – перпендикулярно. Например, R₁₂ представим как сумму векторов двух составляющих

. (6.7)

Первая цифра индекса показывает номер действующего звена, а вторая – номер звена, на которое производится действие. Например, R₁₂ – давление первого звена на второе, R₀₃ – действие стойки 0 на ползун 3.

В соответствии с принципом Даламбера условие равновесия структурной группы 2–3 имеет вид

. (6.8)

Это уравнение имеет три неизвестных: . Реакцию следует определить из уравнения моментов сил, действующих на звено 2, составленного относительно шарнира С.

(6.9)

Обратите внимание, если при решении уравнения (6.9) реакция будет иметь положительное значение, то её направление будет совпадать с направлением, указанным на чертеже (рис.6.2, в). Если реакция будет иметь отрицательное значение, то на расчетной схеме направления вектора следует изменить на противоположное.

Рис. 6.2. Силовой расчет кривошипно-шатунного механизма:

а – кинематическая схема механизма; б – план ускорений;

в – расчетная схема группы; г– план сил группы Ассура;

д – расчетная схема входного звена; е – план сил входного звена;

ж – рычаг Жуковского.

Величину векторов и определяем построением плана сил в масштабе μ_Р по уравнению (6.8) (рис. 6.2, г). Построение плана сил следует начинать с реакции и последовательно прикладывать все вектора сил, действующие на звено 2. К последнему вектору силы Р₂, действующему на звено 2, прикладываются вектора сил, действующие на звено 3. Через конец вектора последней силы Р_пс проводится линия действия реакции , а через начало реакции – линия действия реакции . Линии действия реакции и проводятся до их взаимного пересечения. Векторы сил и направляются так, чтобы многоугольник сил был замкнутым. При таком построении легко определить давление в промежуточном шарнире кинематической паре С по уравнению

. (6.10)

Модуль реакций R₁₂, R₀₃ и R₃₂ определяется из плана сил (рис. 6.2,г) по формулам

; ; . (6.11)

Определив реакцию R₁₂, переходим к силовому расчету входного звена. Прикладывая к шарниру В (рис.6.2, д) реакцию , определяем уравновешивающую силу из уравнения моментов относительно шарнира А

(6.12)

Реакцию R₀₁ определяем из построения плана сил (рис.6.2, е) по уравнению

(6.13)

Из плана сил находим .

Точность определения уравновешивающей силы проверяем по теореме Н.Е. Жуковского о «жестком рычаге». Для этого вычерчиваем план скоростей механизма в исследуемом положении, повернутый на 90° (рис.6.2, ж), и в точках, одноименных точкам плана механизма, прикладываем соответствующие силы. Момент М₂ представляем в виде пары сил, приложенных в точках В и С перпендикулярно звену ВС так, что

Направление векторов сил, приложенных к плану, должно совпадать с направлением этих векторов, приложенных к звеньям механизма.

Условие равновесия плана скоростей как рычага с точкой опоры в полюсе для нашего случая имеет вид

(6.14)

Отсюда определяем F_ур. Значение F_ур, полученное по теореме Н.Е. Жуковского, сравниваем со значением этой силы, полученной в результате силового расчета.

Определение реакций в кинематических парах группы Ассура II класса 1-го вида (ВВВ). Рассмотрим данный вопрос на примере соломонабивателя зерноуборочного комбайна (рис.6.3).

Рис. 6.3. Силовой расчет группы типа ВВВ:

Вычисляем силы инерции (главные векторы Р_и и главные моменты сил инерции М_и) по формулам

(6.15)

где – линейные ускорения центров масс звеньев 2 и 3, принимаем с планов ускорений (рис. 6.3, б);

– угловые ускорения звеньев 2 и 3.

Вычисленные силы инерции прикладываем в точках S₂ и S₃ (рис.6.3, а) противоположно векторам (рис.6.3, б). Моменты от пар сил инерции М₂ и М₃ направляем противоположно угловым ускорениям .

Реакции во внешних парах А и О₃ разложим на две составляющие, направленные по осям звеньев 2 и 3 и перпендикулярно к этим осям, и

обозначим их соответственно через . Тангенциальные составляющие находим из уравнений моментов всех сил относительно точки В для каждого звена в отдельности. Для звена 2 имеем:

(6.16)

Из этого уравнения находим . Аналогично составляем уравнение моментов для звена 3:

(6.17)

Отсюда находим . Все плечи в уравнения моментов подставляем в миллиметрах, взяв их непосредственно с чертежа.

Нормальные составляющие определяем, решая графически векторное уравнение равновесия структурной группы (звенья 2,3),

(6.18)

В этом уравнении все силы, кроме , известны и по величине и по направлению. Реакции известны только по направлению.

Уравнение (6.18) решаем графически, строя план сил в некотором масштабе (рис.6.3, в). Для этого последовательно откладываем все известные силы, перенося их из плана группы на план сил параллельно самим себе. Затем из начала вектора и конца вектора проводим прямые, параллельные соответственно звеньям 2 и 3. Точка пересечения этих прямых определит длины векторов .

Для определения реакций в шарнире В решаем графически векторное уравнение сил, приложенных к одному из звеньев, например, к звену 2. Отбрасываем звено 3 и его действие заменяем реакцией , которую определяем из графического решения уравнения.

(6.19)

Определение реакций в кинематических парах групп Ассура II класса 4-го вида. Этот вопрос рассмотрим на примере механизма строгального станка (рис.6.4). Данный механизм состоит из двух групп Ассура II класса 4-го вида (звенья 4–5) и 3-го вида (звенья 2–3).

Рассмотрим особенности силового расчета группы Ассура, состоящей из звеньев (4–5) (рис.6.4, г). Это группа образована двумя ползунами, соединенными между собой поступательной кинематической парой. На данную структурную группу действуют следующие силы: тяжести звена 5G₅, полезного сопротивления Р_ПС и инерции звена 5Р₅. Масса звена 4 мала по сравнению с массами остальных звеньев и ею можно пренебречь. Значит, G₄ = 0 и Р₄ = 0.

Направление реакции R₃₄ установим, рассмотрев равновесие звена 4 (рис.6.4, е). Так как это звено невесомое, то оно будет находиться в равновесии под действием двух сил – R₃₄ и R₅₄. Значит, эти силы равны и противоположно направлены. R₅₄ – это сила действия направляющей звена 5 на звено 4. Известно, что без учета сил трения направление реакции R₅₄ перпендикулярно к направляющим ползуна 4, следовательно и реакция R₃₄ во вращательной кинематической паре будет иметь такое же направление.

Уравнение равновесия структурной группы 4–5 имеет вид

(6.20)

В данном векторном уравнении неизвестными являются только две силы R₀₅ и R₃₄, поэтому его решение выполним графически методом построения плана сил (рис.6.4, д).

Определение реакций в кинематических парах групп Ассура II класса 3-го вида (рис.6.4, ж).Эта группа находится в равновесии под действием внешних сил: R₄₃ = –R₃₄, величина и направление которой

Рис. 6.4. Силовой расчет кривошипно-кулисного механизма:

а – кинематическая схема механизма; б – план скоростей;

в – план ускорений; г – расчетная схема группы 4–5;

д – план сил группы 4–5; е – расчетная схема ползуна 4;

ж – расчетная схема группы 2–3; з – план сил группы 2–3.

определены из предыдущих расчетов; силы тяжести G₃ звена 3; силы инерции и момента сил инерции звена 3, определение которых выполняются по зависимостям (6.21). Масса звена 2 мала по сравнению с массами остальных звеньев и ею можно пренебречь. Значит, G₂ = 0, Р₂ = 0. Реакции, подлежащие определению: R₁₂, приложенная в центре шарнира А, и R₀₃, приложенная в центре шарнира О₃.

Вычисляем силы инерции, действующие на звено 3,

(6.21)

где – ускорение центра масс звена 3, берем с плана ускорений (рис.6.5, б), (м/с 2 );

– угловое ускорение звена 3.

Составим уравнение равновесия всех сил, действующих на звенья 2,3,

. (6.22)

Зная направление R₁₂, найдем её модуль из уравнения моментов всех сил относительно точки О₃

, (6.23)

откуда находим R₁₂.

Уравнение (6.22) решаем графически методом построения плана сил. Реакция R₀₃ замыкает силовой многоугольник, построенный по уравнению (6.22).

Указания к силовому расчету механизмов с разветвленными кинематическими цепями (рис.6.5). Механизмы целого ряда двигателей и рабочих машин представляют собой не простые, а разветвленные кинематические цепи. Например, кривошипно-ползунные механизмы двухцилиндровых двигателей внутреннего сгорания. При силовом расчете этих механизмов нужно рассмотреть вначале группу Ассура, состоящую из звеньев 4–5, а затем – из звеньев 2–3 аналогично примеру (рис.6.2, а). В результате этих расчетов определяем реакции в кинематических парах А (2–1) и А (4–1) шатун – кривошип, т.е. R₂₁ и R₄₁. После этого производим силовой расчет ведущего звена.

Запишем уравнение сил, действующих на звено 1 (рис.6.5,б) механизма V-образного двигателя,

, (6.24)

где G₁+G_М – вес кривошипа (коленчатого вала) с маховиком, P_и1= 0 так как а_s1 = 0.

Рис. 6.5. Расчетные схемы: а – простого кривошипа;

б, г – планы сил; в – разветвленного.

Векторное уравнение решаем построением плана сил (рис. 6.5,б), из которого находим величину и направление R₀₁ в кинематической паре О₁. Величину уравновешивающего момента М_ур, приложенного к звену 1, определяем из уравнения моментов сил, составленного относительно точки О₁.

(6.25)

Уравнение сил, действующих на звено 1 (рис. 6.5,в), механизма двухцилиндрового двигателя с вертикальным расположением цилиндров, имеет вид

. (6.26)

Из плана сил, построенного по уравнению (6.22) (рис. 6.5,г) определяем реакцию R₀₁ в паре кривошип 1 – стойка О. Величину уравновешивающего момента, приложенного к звену 1, определяем из уравнения моментов сил, составленного относительно точки О₁,

(6.27)

Источник