для чего строят эпюры

Эпюра поперечных сил — как построить?

Привет! Сегодня будем учиться строить эпюры поперечных сил. В этой статье я расскажу, что такое поперечная сила, чем интересна и полезна при проведении расчетов на прочность и жесткость. По уже сложившейся традиции, как и с другими эпюрами, будем рассматривать три способа построения эпюры поперечных сил: подробный, упрощенный и быстрый. Для того чтобы рассчитать поперечную силу в сечении нужно уметь пользоваться уравнениями равновесия конструкции. Поэтому перед изучением данной статьи, если вы не знаете этого материала, рекомендую изучить его, перейдя по указанной ссылке выше. Ну что же перейдем непосредственно к обучению!

Эпюра поперечных сил — это график показывающий распределение поперечных сил в сечениях, загруженного элемента, работающего на поперечный изгиб.

Подробный способ построения эпюры поперечных сил

В качестве примера, возьмем балку, частично загрузим ее распределенной нагрузкой q, а часть оставим без нагрузки, чтобы рассмотреть всевозможные случаи:

Первым делом нужно определить все внешние силы, действующие на конструкцию, то есть помимо распределенной нагрузки на балку будет действовать реакции, возникающие в опорах. Если вы до сих пор не умеете их определять, то обязательно изучите этот материал. В этой статье, я подробно на этом останавливаться не буду. Вот какие значения реакций получаться для рассматриваемого примера:

Разбиваем балку на участки

После подготовительного этапа можно приступать к расчету поперечных сил. На отдельных участках балки поперечная сила будет меняться по определенному закону. Как раз, наша задача научиться определять эти законы. Зная закон изменения поперечной силы на участке, можно определить ее значения в любом сечении в пределах этого участка. Так как, поперечная сила меняется по линейному закону, для построения эпюры достаточно определить ординаты на границах участков. Границами участков служат места приложения сосредоточенных сил, а также начало и конец распределенной нагрузки, то есть для нашего случая нужно рассмотреть два участка.

Важно! Для эпюры изгибающих моментов, границей участков также служит место приложения сосредоточенного момента. На эпюру же поперечных сил моменты не оказывают никакого влияния. Однако, так как эпюры поперечных сил и изгибающих моментов строятся, обычно, вместе, то эту границу так же нужно намечать.

Метод сечений

Приступим непосредственно к расчету. Для установления закона изменения поперечной силы, будем использовать метод сечений. Мысленно рассекаем балку на две части, в пределах 1-го участка, на расстоянии x₁ от правого торца балки.

Каждую часть балки уравновешиваем путем приложения сосредоточенной силы Q_y1 и момента M_x1. Эти силовые факторы, заменяют действие частей балки друг на друга. Для определения этих величин, достаточно рассмотреть равновесие одной из рассеченных частей.

Правила знаков для поперечной силы

Очень важно на данном этапе выбрать правильное направление поперечной силы. Она должна иметь такое направление, при котором часть балки, при неподвижном (закрепленном) противоположном от рассечения месте, стремилась повернутся ПО часовой стрелке.

Также многие авторы рекомендуют просто запомнить такое правило:

Вводим систему координат для первого участка

Для удобства выберем правую часть, так как здесь меньше нагрузки, которую нужно учитывать в расчете. Также, мы можем не учитывать момент M_x1, так как в этом уроке, нас интересует только поперечная сила. В рассматриваемом сечении вводим локальную систему координат:

Записываем уравнение равновесия для первого участка и строим эпюру

Для нахождения поперечной силы на первом участке достаточно записать одно уравнение равновесия – сумму проекций все сил на вертикальную ось y. Эта сумма должна быть равна нулю:

Из полученного уравнения, следует:

Таким образом, поперечная сила в пределах первого участка равна 1 кН. Откладываем это значение на графике:

Положительное значение поперечной силы откладывается выше нулевой линии, отрицательное ниже (как в нашем случае). Эпюры штрихуются перпендикулярно нулевой линии, на каждом участке проставляются знаки, на границах участков указываются численные значения.

Расчет второго участка

Проделываем те же действия, что выполняли для первого участка. Рассекаем балку в пределах рассматриваемого участка на расстоянии z₂ от левого торца балки:

Зарисовываем отдельно расчетный элемент, отбросив правую часть и заменив ее действие Q_y2 и M_x2. Вводим локальную систему координат:

Для того чтобы рассчитать такой участок, с распределенной нагрузкой, воспользуемся хитростью, которой часто пользуются при решении задач по теоретической механике. Свернем эту нагрузку до сосредоточенной силы. Для этого умножим интенсивность q на длину действия нагрузки – z₂.

Записываем уравнение равновесия для второго участка:

Выражаем поперечную силу:

Это закон, по которому меняется поперечная сила на втором участке. Чтобы получить значения для построения эпюры, нужно в это уравнение вместо z₂ подставить координаты характерных сечений. Как и говорилось ранее, поперечная сила меняется по линейному закону (исключениями могут быть только схемы с трапециевидной нагрузкой), поэтому для построения эпюры достаточно вычислить значения на границах участка. В сечении A (при z₂=0) поперечная сила будет равна:

В середине пролета, при z₂=2м получим:

По полученным значениям, строим эпюру поперечных сил на втором участке:

Вот собственно и все! Эпюра поперечных сил построена. Согласитесь, длинное руководство получилось?! Так вот, далее я расскажу, как построить эту эпюру намного быстрее, а в конце покажу как это делается за несколько секунд.Сделайте небольшой перерыв на чай, и возвращайтесь к чтению!

Упрощенный способ построения эпюры

Итак, продолжим изучать технологии построения эпюры поперечных сил. В этом методе будем учиться рассчитывать эту эпюру без вынесения отдельных участков балки и без записи уравнений равновесия. Будем выводить сразу следствия из этих уравнений. Также как, в первом случае, балку нужно разбить на 2 участка.

Первый участок

Запишем закон изменения поперечной силы на первом участке. Для этого отметим сечение С, отстающее от правого торца балки на величину z₁. Поперечная сила в этом сечении будет равна сумме проекций всех сил на вертикальную ось, находящихся справа (или слева) от сечения. Мы ведем расчет этого участка справа-налево, так как в данном случае справа нагрузки меньше.

Для того чтобы правильно записать уравнение поперечных сил для любого участка, нужно придерживаться следующих правил:

Как видно из уравнения, поперечная сила, на первом участке, не зависит от координаты z₁, поэтому во всех сечениях она одинаковая.

Кстати, помните я писал, что нагрузку можно учитывать, как справа, так и слева? Так вот, давайте запишем уравнение, просуммировав нагрузку, находящуюся слева от сечения С и посмотрим результат.

Реакция R_A, относительно сечения С, стремится повернуть ПО часовой стрелке, в уравнение пойдет с плюсом:

Нагрузку q, сворачиваем до сосредоточенной силы, как в подробном способе. Она стремится повернуться ПРОТИВ часовой стрелке, в уравнение пойдет со знаком «минус»:

Подставляя численные значения нагрузки, получим следующий результат:

Теперь перейдем ко второму участку.

Второй участок

Здесь ситуация похожая, подробно комментировать уже не буду, приведу схему и расчет:

По выполненным расчетам двух участков, можно построить уже знакомую эпюру:

Как видите, эпюра поперечных рассчитывается достаточно просто. В последнем разделе я расскажу, как можно построить ее и вовсе устно.

Быстрый способ построения эпюры

Как вы уже, наверное, заметили, эпюра поперечных сил имеет скачки в тех местах, где прикладываются сосредоточенные усилия, а в местах где приложена распределенная нагрузка, эпюра постоянно меняется по линейному закону. Эти свойства эпюры можно использовать при построении. Давайте рассмотрим такую балку:

Определим для нее опорные реакции:

С учетом данных правил, получим вот такую эпюру поперечных сил:

Прокомментирую: в точке А, сила направлена вверх, эпюра поднимается на 4 кН, в точке С, опускается до нуля, т.к. приложенная сила направлена вниз и так далее. С сосредоточенным усилиями думаю все просто и понятно.

Там, где есть, распределенная нагрузка, эпюра меняется не скачкообразно, а постепенно. И чтобы узнать насколько эпюра измениться от действия распределенной нагрузки от ее начала и до конца, нужно умножить интенсивность q на длину ее действия:

Вот собственно и все, что хотелось рассказать об эпюрах поперечных сил! Вы можете задавать любые вопросы по материалам статьи в комментариях ниже. Также рекомендую подписаться на наши соц. сети, чтобы не пропустить новые и интересные материалы.

После освоения данного урока, можете смело приступать к изучению техник построения эпюр изгибающих моментов. Данная статья является продолжением серии статей о том, как строятся эпюры для балок, работающих на поперечный изгиб.

Источник

Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.

Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.

Но всему свое время. Сначала немного о терминах.

Основные понятия

Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.

Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.

Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.

Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.

В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).

Что такое эпюра продольных сил

Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.

Как построить эпюру продольных сил

Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая.

Сопротивление рассчитывается по формуле:

F_l – действующие на участке l силы (Н);

q_l – распределенные нагрузки (Н/м).

1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;

2. Производится разделение на участки;

3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:

Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;

4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.

Рис. 1. Эпюра продольных сил

Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.

Пример построения эпюр и решения задач

Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):

Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:

Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N₂ будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.

Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l₃ и ql₃ (в масштабе). Поскольку распределение линейно.

По полученным данным строим эпюру (рис. 3).

Заключение

Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.

В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.

Источник

Построение эпюр

Вы будете перенаправлены на Автор24

Эпюру можно построить на основании следующих параметров: внутренних сил (продольных и поперечных), крутящих и изгибающих моментов, напряжений (нормальных и касательных) и перемещений.

Процесс построения эпюр

Процесс построения эпюры стандартизирован и осуществляется по определенным правилам. Это сделано для общего понимания графиков всеми участниками производственного процесса.

Затем определяются границы силовых участков, то есть таких участков, где силовой фактор (деформация) остается постоянным или изменяется в рамках одной закономерности. Зачастую, границы силовых участков представляют собой сечения с приложенной внешней нагрузкой. Обозначение границ на эпюре реализуется в виде тонких вертикальных линий.

Если брус обладает сложной объемной формой, то границы определяют аналитически.

Далее эпюра масштабируется. Масштаб выбирается в соответствии с предварительным просчетом отображаемого фактора по всем контрольным сечениям (КС) бруса.

После выбора масштаба и построения внешнего контура эпюры КС присваиваются значения фактора без указания знака (“$+$” и “$–$”). Факторы с положительными значениями чертятся над нулевой линией, а с отрицательными под.

В области с положительными значениями на самом широком участке пишется знак “$+$” и обводится кружком, а с отрицательными выполняется также операция, но указывается знак “$–$”. Можно поставить знаки справа и слева от “$0$”, при этом кружками они обводится не будут.

Готовые работы на аналогичную тему

Определение знака фактора

Знак фактора определяется направлением внутренних силовых факторов и действием деформации. Например, нагрузке продольного типа, направленной на сжатие присваивается знак “$–$”, а на растяжение “$+$”.

Пример построения

Начертим расчетную схему и укажем все нагрузки и значения:

Рисунок 1. Расчетная схема двухопорной балки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определим реакции опор ($R$) в данном случае реакция для каждой точки будет равна половине приложенной, силы, так части балки равны по длине (нагрузка распределена).

Обозначаем границы участков балки.

Рисунок 3. Границы участков балки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Произвольное сечение D. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Обозначим границы, указав значение поперечной силы на графике, и начертим эпюру.

Рисунок 5. Эпюра поперечной силы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Запишем уравнение для изгибающего момента. В данном случае момент силы направлен на растяжение, поэтому укажем знак “$+$”, поэтому уравнение имеет вид:

Изображение эпюров со стороны растянутых волокон (показано в примере) характерно для инженерно-строительной практики. В механике эпюра чертится со стороны сжатых волокон.

$Mx_1(z_1 = 0) = Ra • z_1 = 5 • 0 = 0$

$Mx_1 (z_1 = 4) = Ra • z_1 = 5 • 4 = 20$

Рисунок 6. Эпюра изгибающего момента. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Выполним расчеты для второго участка балки:

$Mx_2 (z_2 = 0) = Rb • z_2 = 5 • 0 = 0$

$Mx_2 (z_2 = 4) = Rb • z_2 = 5 • 4 = 20$

Начертим окончательную версию эпюры.

Рисунок 7. Полноценная эпюра рассматриваемой балки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Источник

iSopromat.ru

Эпюрами внутренних поперечных сил и изгибающих моментов называют графическое представление распределения функций Q и M по длине балки при изгибе.

Эпюры строятся для визуального представления распределения внутренних силовых факторов и определения опасных (т.е. наиболее нагруженных) с точки зрения прочности участков бруса.

Рассмотрим некоторые примеры на построение эпюр в балках:

Эпюры при чистом изгибе

Для консольной балки:

имеем два силовых участка (AB и BC) и на каждом из них, применяя метод сечений, будем рассматривать, например правую от сечения часть, используя формулы и правило знаков для расчета внутренних силовых факторов.

Отсчет координаты z можно вести от единого начала координат или для каждого силового участка в отдельности.
I силовой участок (BC): 0 ≥ z₁ ≥ 2a (рис. 2 а,г)

т.е. Q(z₁)=0 на всем участке, а M(z₁)=m=const.
Ординаты эпюр Q и M со знаком плюс (+) будем откладывать вверх от нулевой (базовой) линии, при этом эпюру M будем строить на сжатых волокнах.

II силовой участок (AB): 2a ≥ z₂ ≥ 5a (рис. 2 а,д)

Откладывая на границах участков в сечениях C, B и A значения полученных ординат Q и M, строим эпюры (рис. 2 б, в).

Более нагруженным оказался участок AB, он и является опасным: M_max=|2m|.
Так как поперечные силы Q по всей длине балки равны нулю, балка испытывает чистый изгиб.

Эпюры при поперечном изгибе

Построение эпюр Q и M для балки, изображенной на рис. 3

проводим аналогично, но рассматривать будем левые от сечений части, т.к. в правые войдут реакции в заделке, что несколько усложняет вычисления.

I силовой участок (AB): 0 ≥ z₁ ≥ l₁ (рис. 4, а, г)
Q(z₁)= F=const, на всем участке постоянная величина,
M(z₁)=F×z₁, уравнение прямой, график строим по двум граничным точкам:
M(z₁=0)=F×0=0 – в сечении A;
M(z₁=l₁)=F× l₁ — в сечении B.

Опасным является сечение B, в котором действуют Q_max=F, M_max=Fl₁.

Геометрическая проверка эпюр

Геометрическая проверка правильности построения эпюр Q и M по дифференциальным зависимостям заключается в следующем:
Для всех силовых участков находим:

где α, β – углы наклона касательных к эпюрам Q и M относительно оси абсцисс (базовой линии).
На участке “AB” α₁=0 (линия эпюры Q горизонтальна), следовательно,

распределенная нагрузка отсутствует;

функция M (z₁) – возрастающая.

На участке “BC”:

Так как все дифференциальные проверки выполняются, эпюры построены верно.

Эпюры для двухопорных балок

Рассматривая расчетные схемы такого типа, как двухопорная балка (рис. 5),

необходимо вначале найти опорные реакции и только потом строить эпюры.

Обычно, рекомендуется использовать суммы моментов вокруг опорных точек, например: ∑M_A=0 и ∑M_B=0.

Записываем уравнения и находим значения реакций:

Чтобы убедиться в правильности полученных значений необходимо провести «арифметическую проверку» тождества по оставшемуся из зависимых уравнений: ∑F_Y=0 или ∑M_С=0.

Проверим через сумму сил, приложенных к балке (включая найденные опорные реакции). Она должна равняться нулю (при округлении значений, может появиться погрешность).

Для построения эпюр рассмотрим два силовых участка:

I участок (AC): 0 ≥ z₁ ≥2a (рис. 6, а, г)
Q(z₁)=R_A-qz₁ — прямая, которую строим по двум граничным точкам:

M(z₁)=R_Az₁-qz₁(z₁/2)= R_Az₁-qz₁ 2 /2 – парабола.

II силовой участок: 0 ≥ z₂ ≥ a.

следовательно, q=0.

функция M(z) – убывающая.
Все проверки выполнены, следовательно, эпюры построены верно.
По эпюрам видно, что опасных сечений два (рис. 6):
По моменту при z₁*=4/3a

По силе в сечении «A»

После построения и проверки эпюр можно приступать к расчетам балки на прочность и жесткость.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник